Vidéo : Ça fait quoi d’inventer les maths ?

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Ça fait quoi d’inventer les maths ?

15:07

Transcription de vidéo

Prenez un plus deux plus quatre plus huit et continuez à ajouter la puissance suivante de deux, jusqu’à l’infini. Cela peut vous paraître fou, mais en un certain sens, cette somme infinie est égale à moins un.

Si vous êtes comme moi, cela vous semblera bizarre ou visiblement faux lorsque vous le verrez pour la première fois. Mais je vous promets qu’à la fin de cette vidéo, vous et moi donnerons à cela un sens. Pour ce faire, nous devons revenir en arrière. Et vous et moi allons voir ça pourrait faire quoi de découvrir des sommes infinies convergentes. Celles qui au moins semblent être logiques. Pour définir ce qu’elles veulent vraiment dire. Ensuite, nous découvrirons cette équation insensée et tomberons sur de nouvelles formes de mathématiques où elle a un sens.

Imaginez que vous êtes un mathématicien débutant en train de découvrir qu’un demi plus un quart plus un huitième plus un seizième, jusqu’à l’infini, quoi que cela signifie, égale un. Et imaginez que vous deviez définir ce que signifie additionner une infinité de choses pour que vos camarades vous prennent au sérieux.

À quoi cela ressemblerait-il ? Franchement, je n’ai aucune idée. Et j’imagine que plus que tout, on a l’impression de se tromper ou de rester coincé la plupart du temps. Mais je vais tenter de deviner, d’une façon ou d’autre, que les parties les plus réussies pourraient aller. Un jour, vous réfléchissez à la nature des distances entre les objets. Et peu importe combien deux choses sont proches l’une de l’autre, elles semblent pouvoir toujours se rapprocher sans se toucher.

Vous êtes passionnés par les mathématiques, et vous voulez capturer ce sentiment paradoxal avec les chiffres. Vous imaginez placer les deux objets sur la droite numérique, le premier à zéro, le second à un. Ensuite vous dirigez le premier objet vers le second de telle sorte que la distance entre eux soit réduite de moitié. Vous gardez une trace des chiffres que cet objet touche au cours de sa marche. Écrivons un demi, un demi plus un quart, un demi plus un quart plus un huitième, et ainsi de suite. C’est-à-dire que chaque nombre est naturellement écrit comme une somme légèrement plus longue avec une puissance de deux en plus.

Ainsi, vous êtes tenté de dire que si ces chiffres s’approchent de quelque chose, nous devrions pouvoir l’écrire comme une somme qui contient la réciproque de chaque puissance de deux. D’autre part, nous pouvons voir géométriquement que ces nombres se rapprochent de un. Donc, ce que vous voulez dire c’est que un est la même chose qu’une somme infinie quelconque. Si votre éducation était trop formelle, vous auriez jugé cette affirmation ridicule. De toute évidence, vous ne pouvez pas additionner une infinité de choses. Aucun humain, ordinateur ou n’importe quelle chose physique ne pourrait jamais accomplir une telle tâche.

Cependant, si vous abordez les mathématiques avec une irrévérence équilibrée, vous ferez preuve de courage face au ridicule. Et essayez de donner un sens à cette absurdité que vous avez notée, puisque ça a l’impression que la nature vous l’a donnée. Alors, comment, chers mathématiciens, définissez-vous exactement des sommes infinies ? Ayant bien pratiqué les maths, vous savez que trouver les bonnes définitions consiste à moins générer de nouvelles pensées qu’à disséquer de vieilles pensées. Donc, vous revenez à la façon à partir de laquelle vous êtes tombés sur cette découverte floue.

À aucun moment vous n’avez réellement effectué une infinité d’opérations. Vous aviez une liste de chiffres, une liste qui pourrait continuer indéfiniment si vous aviez le temps. Et chaque nombre provenait d’une somme finie parfaitement raisonnable. Vous avez remarqué que les chiffres de cette liste se rapprochent de un. Mais qu’entendez-vous par « se rapprocher » ? Ce n’est pas seulement que la distance entre chaque nombre et un devient plus petite. Parce que, d’ailleurs, la distance entre chaque nombre et deux devient également plus petite.

Après avoir réfléchi à la question, vous vous rendez compte que ce qui rend le un spécial, c’est que vos chiffres peuvent se rapprocher arbitrairement de un. C’est-à-dire, quelle que soit la distance que vous désirez — un centième, un millionième ou un sur le plus grand nombre que vous puissiez écrire — si vous avancez suffisamment dans votre liste, les chiffres termineront par tomber dans cette minuscule distance de un. Rétrospectivement, cela peut sembler le moyen le plus simple de renforcer ce que vous entendez par « se rapprocher ». Mais pour un premier effort, c’est incroyablement intelligent.

Maintenant sortez votre stylo et rédigez la définition de ce que signifie une somme infinie égale un certain nombre, disons 𝑋. Cela signifie que lorsque vous générez une liste de nombres en décomposant votre somme en points finis, les nombres de cette liste s’approchent de 𝑋 en ce sens que, quelle que soit la distance que vous choisissez en un point donné de la liste, tous les nombres commencent à tomber dans cette distance de 𝑋. En faisant cela, vous venez d’inventer des mathématiques. Mais vous n’avez jamais eu l’impression que vous créiez des choses à partir de rien. Vous vouliez juste justifier ce que l’univers vous a donné en premier lieu.

Vous pourriez vous demander si vous pouvez trouver d’autres vérités plus générales sur ces sommes infinies que vous venez d’inventer. Pour ce faire, vous recherchez l’endroit où vous avez pris des décisions arbitraires. Par exemple, lorsque vous réduisiez la distance entre vos objets, coupiez l’intervalle en parties de taille un demi, un quart, etc., vous auriez pu choisir une proportion autre qu’un demi. Vous auriez pu plutôt couper votre intervalle en morceaux de neuf dixièmes et d’un dixième. Et ensuite, coupez la partie la plus à droite dans les mêmes proportions, vous donnant ainsi de plus petites parties de taille neuf centièmes et un centième. Ensuite, coupez cette petite partie de la taille un centième de la même manière. Continuez encore et encore, vous constaterez que neuf dixièmes plus neuf centièmes plus neuf millièmes jusqu’à l’infini égale un. Un fait plus communément écrit sous la forme .9 périodique égale un.

À tous vos amis qui insistent que cela n’est pas égal à un et que ça s’en approche seulement, vous pouvez maintenant sourire. Parce que vous savez qu’avec des sommes infinies, approcher et égaler signifient la même chose. Pour être général, disons que vous coupez votre intervalle en parties de taille 𝑝 et un moins 𝑝. Où 𝑝 représente un nombre quelconque compris entre zéro et un. En coupant la partie de taille 𝑝 dans les mêmes proportions, nous obtenons maintenant des parties de taille 𝑝 fois un moins 𝑝 et 𝑝 au carré.

En continuant de cette manière, en découpant toujours le morceau le plus à droite dans ces mêmes proportions, vous constaterez qu’on a un moins 𝑝 plus 𝑝 fois un moins 𝑝 plus 𝑝 au carré fois un moins 𝑝, continuellement, en ajoutant toujours 𝑝 à la puissance suivante fois un moins 𝑝, égale un. En divisant les deux côtés par un moins 𝑝, nous obtenons cette belle formule. Dans cette formule, l’univers a offert une forme étrange d’absurdité. Même si la façon dont vous l’avez découverte n’a de sens que pour des valeurs de 𝑝 comprises entre zéro et un. Le membre de droite a toujours du sens lorsque vous remplacez 𝑝 par n’importe quel nombre, sauf peut-être un.

Par exemple, en remplaçant par moins un, l’équation est un moins un plus un moins un, ainsi de suite en alternant entre les deux, égale un demi. Ce qui semble à la fois stupide et un peu comme la seule chose qui pourrait arriver. En remplaçant par deux, l’équation est un plus deux plus quatre plus huit, ainsi de suite jusqu’à l’infini, égale moins un. Quelque chose qui ne semble même pas raisonnable. D’une part, la rigueur voudrait que vous les ignoriez, puisque la définition des sommes infinies ne s’applique pas dans ces cas-là. La liste des nombres que vous générez en découpant la somme en des points finis ne s’approche de rien.

Mais vous êtes un mathématicien, pas un robot. Donc, vous ne laissez pas le fait que quelque chose soit absurde vous arrêter. Je laisserai cette somme pour un autre jour. Pour que nous puissions sauter directement vers ce monstre. Premièrement, pour mettre un peu d’ordre, notez ce que vous obtenez lorsque vous découpez la somme en des points finis : un, trois, sept, 15, 31. Ils sont tous de moins un qu’une puissance de deux. En général, lorsque vous additionnez les premières 𝑛 puissances de deux, vous obtenez deux à la puissance 𝑛 plus un moins un. J’espère que cette animation représente cela clairement.

Vous décidez d’amuser l’univers et de faire croire que ces chiffres, qui sont tous inférieurs d’une unité à une puissance de deux, s’approchent vraiment de moins un. Cela se révélera plus clair si nous ajoutons un à tout, et disons que les puissances de deux s’approchent de zéro. Y a-t-il moyen que cela puisse avoir un sens ? En fait, ce que vous essayez de faire, c’est de généraliser cette formule en disant qu’elle s’applique à tous les nombres, pas seulement à ceux compris entre zéro et un. Encore une fois, pour rendre les choses plus générales, vous recherchez un endroit où vous avez fait un choix arbitraire. Ici, cet endroit s’avère être très sournois. Si sournois, en fait, que les mathématiciens ont mis jusqu’au 20ème siècle pour le trouver. C’est ainsi que nous définissons la distance entre deux nombres rationnels.

C’est-à-dire que les organiser sur une droite peut ne pas être le seul moyen raisonnable de les organiser. La notion de distance est essentiellement une fonction qui prend deux nombres et produit un nombre indiquant leur distance. Vous pourriez arriver à une notion complètement aléatoire de distance. Là où deux est de sept unités loin de trois, et un demi est de quatre cinquièmes loin de 100, et toutes sortes de choses. Mais si vous souhaitez utiliser réellement une nouvelle fonction de distance de la même manière que vous utilisez la fonction de distance habituelle, elle devrait avoir certaines propriétés communes. Par exemple, la distance entre deux nombres ne devrait pas changer si vous les décalez de la même valeur. Donc zéro et quatre doivent être à la même distance que un et cinq, ou deux et six. Même si cette même distance est autre chose que quatre comme nous en avons l’habitude.

En gardant les choses générales, la distance entre deux nombres ne devrait pas changer si vous ajoutez la même valeur aux deux. Appelons cette propriété invariance par décalage. Il y a également d’autres propriétés que votre notion de distance doit avoir, comme l’inégalité des triangles. Mais avant que nous ne commencions à nous soucier de ces problèmes, commençons par imaginer quelle notion de distance pourrait éventuellement amener des puissances de deux à s’approcher de zéro. Et qui soit invariante au décalage.

Au début, vous aurez peut-être du mal à trouver un état d’esprit où cela ne vous semble pas complètement absurde. Mais, avec assez de temps et un peu de chance, vous pourriez penser à organiser vos nombres dans des pièces, sous-pièces, sous-sous-pièces, etc. Vous pensez que zéro se situe dans la même pièce que toutes les puissances de deux strictement supérieures à un, dans la même sous-pièce que toutes les puissances de deux strictement supérieures à deux, dans la même sous-sous-pièce que les puissances de deux strictement supérieures à quatre, et ainsi de suite, avec une infinité de pièces de plus en plus petites.

C’est assez difficile de dessiner une infinité de choses. Je ne vais donc dessiner que quatre tailles de pièce. Mais gardez à l’esprit que ce processus devrait pouvoir continuer jusqu’à l’infini. Si nous pensons que chaque nombre se situe dans une hiérarchie de pièces, pas seulement zéro, l’invariance par décalage nous dira où tous les nombres doivent tomber. Par exemple, le nombre un devrait être aussi loin de trois que deux l’est de zéro. De même, la distance entre zéro et quatre devrait être la même que celle entre un et cinq, deux et six, et trois et sept.

En continuant ainsi, vous verrez dans quelles pièces, sous-pièces, sous-sous-pièces, etc., doivent figurer les numéros successifs. Vous pouvez également en déduire où les nombres négatifs doivent tomber. Par exemple, moins un doit se trouver dans la même pièce que un, dans la même sous-pièce que trois, la même sous-sous-pièce que sept et ainsi de suite. Toujours dans des salles de plus en plus petites avec des nombres avec un de moins qu’une puissance de deux. Parce que zéro est dans des salles de plus en plus petites avec les puissances de deux. Alors, comment transformer cette idée générale de proximité basée sur des pièces et des sous-pièces en une véritable fonction de distance ?

Vous ne pouvez pas prendre ce dessin trop à la lettre, car il donne l’impression que un est très proche de 14, et zéro très loin de 13. Même si l’invariance par décalage devrait impliquer qu’ils sont à la même distance. Encore une fois, dans le processus de découverte, vous risquez peiner en gribouillant de nombreuses feuilles de papier. Mais si vous avez l’idée que la seule chose qui importe dans la détermination de la distance entre deux objets est la taille de leur plus petite pièce commune, vous pouvez trouver ce qui suit. Tous les nombres situés dans de différentes grandes salles jaunes sont distants les uns des autres de un. Ceux qui se trouvent dans la même grande pièce, mais pas dans la même sous-pièce orange, sont distants de un demi. Ceux qui se trouvent dans la même sous-pièce orange, mais pas dans la même sous-sous-pièce, sont distants l’un de l’autre d’un quart. Et vous continuez ainsi en utilisant les inverses des puissances de plus en plus grandes de deux pour indiquer la proximité.

Nous ne le ferons pas dans cette vidéo. Mais voyons si vous pouvez raisonner sur quelles pièces devraient figurer les autres nombres rationnels, comme un tiers et un demi. Et voyons si vous pouvez prouver pourquoi cette notion de distance satisfait à un bon nombre de propriétés que nous attendons d’une fonction de distance. Comme l’inégalité du triangle. Ici, je dirai simplement que cette notion de distance est parfaitement légitime. Nous l’appelons la métrique 2-adique. Et elle fait partie d’une famille générale de fonctions de distance appelées métriques 𝑝-adique, où 𝑝 est un nombre premier. Ces métriques engendrent chacune un type de nombre tout à fait nouveau, ni réel ni complexe, et sont devenues une notion centrale dans la théorie moderne des nombres.

En utilisant la métrique 2-adique, le fait que la somme de toutes les puissances de deux soit égale à moins un a du sens. Parce que les nombres un, trois, sept, 15, 31, etc. s’approchent effectivement de moins un. Cette parabole ne représente pas vraiment la trajectoire historique des découvertes. Néanmoins, je pense toujours que c’est une bonne illustration d’un modèle récurrent dans la découverte des mathématiques.

Premièrement, la nature vous tend quelque chose mal définie, voire illogique. Ensuite, vous définissez de nouvelles idées qui donnent un sens à cette découverte vague. Et ces nouvelles idées ont tendance à produire des mathématiques véritablement utiles et à élargir votre esprit au sujet des notions traditionnelles. Donc pour répondre à l’éternelle question de savoir si les mathématiques sont une invention ou une découverte, ma conviction personnelle est que la découverte de vérités non rigoureuses est ce qui nous conduit à la construction de termes rigoureux qui sont utiles, ouvrant la porte à des découvertes plus confuses, continuant le cycle.

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