Transcription de la vidéo
Deux forces d’intensités de 15 kilogrammes-poids et de sept kilogrammes-poids agissent comme indiqué sur le schéma. Déterminez 𝑅, l’intensité de la résultante, et trouvez 𝜃, la mesure de l’angle entre la résultante et l’Est.
On a un schéma qui montre les deux forces et l’angle entre elles. Commençons donc par nous rappeler ce que l’on veut dire lorsque l’on parle de la résultante d’une paire de forces. Supposons que l’on ait deux forces définies par les vecteurs 𝐅 indice un et 𝐅 indice deux. La résultante de ces deux forces est simplement leur somme vectorielle. Et penser à cela en termes de vecteurs peut vraiment nous aider à planifier ce qu’il faut faire ensuite.
Définissons la force de 15 kilogrammes-poids pour être le vecteur 𝐅 indice un et l’autre force pour être le vecteur 𝐅 indice deux. La somme de ces deux vecteurs peut être représentée avec le vecteur d’intensité 𝑅 comme indiqué. C’est un triangle de forces. Et on peut utiliser la trigonométrie du triangle rectangle et non rectangle pour nous aider à trouver les longueurs manquantes.
Commençons par trouver la mesure de l’angle que l’on va étiqueter 𝛼 entre la force de sept kilogrammes-poids et la force de 15 kilogrammes-poids. On sait que la somme des angles 𝛼 et 30 degrés est de 90 degrés. Donc, si l’on soustrait 30 des deux côtés, on obtient que 𝛼 est égal à 60. Ensuite, on a un triangle non rectangle pour lequel on connait deux de ses côtés et l’angle entre ceux-ci. On peut donc utiliser la loi des cosinus pour trouver la longueur du troisième côté. Autrement dit, 𝑎 carré est égal à 𝑏 carré plus 𝑐 carré moins deux 𝑏𝑐 cos 𝐴. On étiquète ensuite le côté que l’on essaie de trouver 𝑎 minuscule et l’angle opposé, l’angle de 60 degrés, 𝐴 majuscule. Donc, 𝑅 au carré est sept au carré plus 15 au carré moins deux fois sept fois 15 fois cos 60. Sept au carré plus 15 au carré est 274, et cos de 60 est un demi. La deuxième partie est donc sept fois 15, soit 105. 274 moins 105 est 169. Donc, notre équation est 𝑅 au carré égale 169.
Puisque 𝑅 est une intensité, elle doit être positive. On peut donc résoudre cette équation en prenant la racine positive de 169, qui est 13. L’intensité de la résultante dans ce cas est donc de 13 kilogrammes-poids.
Eh bien, on est prêts à calculer l’angle 𝜃. Sur notre schéma, c’est la mesure de l’angle entre la résultante et l’Est. Eh bien, dans notre diagramme, la force de 15 kilogrammes-poids agit vers l’Est. Donc, l’angle 𝜃 est l’angle que le côté que l’on a calculé comme étant de 13 fait avec le côté de 15. On peut utiliser la loi des sinus pour calculer cet angle. Dans ce cas, sin 𝐴 sur 𝑎 est égal à sin 𝐵 sur 𝑏. On vient d’obtenir la valeur de 𝑅, c’est-à-dire 13. Donc, sin 60 divisé par 13 est égal à sin 𝜃 sur sept. Le sinus de 60 est la racine de trois sur deux. Ainsi, lorsque l’on multiplie par sept, on obtient que sin 𝜃 est sept fois racine de trois sur 26.
Pour calculer 𝜃, on prend la réciproque du sinus ou l’arc sin des deux côtés de l’équation. Donc 𝜃 est l’arc sin de sept fois racine de trois sur 26, soit 27,795 et cetera. Ensuite, on va multiplier la partie décimale par 60 afin que l’on puisse l’obtenir à la minute près. Cela nous donne une partie minute de 47,7, ce qui est 48 à la minute près. Finalement on a trouvé 𝑅 et 𝜃. 𝑅 est 13 kilogrammes-poids, et 𝜃 est 27 degrés et 48 minutes.