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Déterminez la valeur de cosinus de 60 degrés fois sinus de 30 degrés moins sinus de 60 degrés fois tangente de 60 degrés plus tangente au carré de 30 degrés sans utiliser de calculatrice.
Considérons un triangle rectangle qui a un angle de 30 degrés et un angle de 60 degrés. On l’appelle parfois triangle 30-60-90. Et dans tous les triangles 30-60-90, les longueurs des côtés ont pour rapport un pour racine carrée de 3 pour deux. Deux est le côté le plus long. Il s’agit de l’hypoténuse, juste en face de l’angle droit. Racine carrée de trois est le deuxième côté le plus long et est en face de l’angle de 60 degrés. Et en face de l’angle de 30 degrés, nous avons le côté de longueur un. Ces informations peuvent nous aider à définir des rapports pour le sinus, le cosinus et la tangente.
En nous souvenant du moyen mnémotechnique SOHCAHTOA, le sinus est l’opposé sur l’hypoténuse. Le cosinus est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Et la tangente est égale au côté opposé sur le côté adjacent. En commençant par l’expression qui nous est donnée, remplaçons par ce que nous connaissons. Notre premier terme cosinus de 60 degrés : le cosinus de 60 degrés est la longueur du côté adjacent sur l’hypoténuse. La longueur du côté adjacent est un et l’hypoténuse est deux. Le cosinus de 60 degrés est un demi.
En passant au terme suivant, nous essayons de calculer le sinus de 30 degrés, qui est la longueur du côté opposé sur l’hypoténuse. La longueur du côté opposé est un, et l’hypoténuse est encore deux. Le cosinus de 60 degrés fois le sinus de 30 degrés est un demi fois un demi. Le sinus de 60 degrés est l’opposé sur l’hypoténuse. Si nous utilisons l’angle de 60 degrés, son opposé est racine carrée de trois et l’hypoténuse est deux. Pour tangente de 60 degrés, nous devrons prendre la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent. Le côté opposé est racine carrée de trois, et le côté adjacent est un.
Pour le deuxième terme, nous devons multiplier la racine carrée de trois sur deux par la racine carrée de trois sur un. Au dernier terme, nous devons calculer le carré de tangente de 30 degrés. En commençant par l’angle de 30 degrés, son côté opposé est un et son côté adjacent est racine carrée de trois. À ce stade, nous devons simplifier toutes les opérations. Et nous devons faire particulièrement veiller à bien simplifier le carré de tangente de 30 degrés.
En suivant l’ordre des opérations, nous allons multiplier ces fractions. Un demi fois un demi égale un quart. La racine carrée de trois sur deux fois la racine carrée de trois sur un, eh bien la racine carrée de trois fois elle-même égale trois et deux fois un égale deux. Nous devons prendre le carré de un sur la racine carrée de trois, soit un au carré sur la racine carrée de trois au carré. Un au carré égale un. Et la racine carrée de trois au carré égale juste trois.
Nous simplifions de nouveau ces opérations. À ce stade, nous devons additionner ces trois fractions. Mais nous ne pouvons ajouter que des fractions de même dénominateur. Le plus petit commun multiple de quatre, deux et trois est 12. Si nous voulons réécrire un quart avec un dénominateur de 12, nous savons que quatre fois trois égale 12. Par conséquent, nous devons également multiplier le numérateur par trois. Un quart est égal à trois douzièmes.
On simplifie la soustraction. Pour passer de deux à 12, nous multiplions par six. Si nous multiplions par six au dénominateur, nous devons multiplier par six au numérateur. Trois fois six égale 18. Trois demis écrit sous forme de fraction avec un dénominateur de 12 est égal à dix-huit douzièmes. On simplifie l’addition pour réécrire un tiers avec un dénominateur de 12. Trois fois quatre égale 12. Et un fois quatre égale quatre.
Une fois que nous avons un dénominateur commun, nous pouvons additionner et soustraire les numérateurs. Nous avons trois moins 18 plus quatre douzièmes. Trois moins 18 vaut moins 15, plus quatre égale moins 11. La valeur de cette expression est moins onze douzièmes.
