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Sachant que 𝚨 est égal à trois 𝐢 plus 𝐣 plus 𝑚 𝐤 et que 𝚩 est un vecteur unitaire égal à un cinquième de 𝚨, déterminez les valeurs possibles de 𝑚.
Pour résoudre ce problème, il est nécessaire de connaître les caractéristiques d’un vecteur unitaire et de savoir comment multiplier le vecteur 𝚨 par le scalaire un cinquième. Comme suggéré par l’adjectif unitaire, la caractéristique qui définit les vecteurs unitaires est le fait d’avoir une norme égale à un. On peut en déduire que le vecteur 𝚩, qui est défini comme étant égal à un cinquième de 𝚨, a une norme de un. On rappelle qu’une norme se note avec deux barres verticales et que la norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Dans cette formule, 𝑉 indice 𝑛 est la 𝑛-ième composante du vecteur 𝐕, où la composante en 𝐢 est généralement la première, celle en 𝐣 chapeau la deuxième et celle en 𝐤 la troisième.
Pour multiplier un vecteur par un scalaire, où dans notre cas 𝑎 est le scalaire et 𝐕 est le vecteur, il suffit de multiplier chaque composante par le scalaire. En utilisant notre formule de la norme d’un vecteur, on peut établir une relation très utile pour la norme d’un vecteur multiplié par un scalaire. Si 𝑎 est un scalaire, alors la norme du vecteur 𝑎 fois 𝐕 est égale à la valeur absolue de 𝑎 fois la norme de 𝐕. On peut le vérifier algébriquement en remplaçant 𝑉𝑛 par 𝑎 fois 𝑉𝑛 dans notre formule de la norme. 𝑉𝑛 au carré devient alors 𝑎 au carré fois 𝑉𝑛 au carré. Puis on peut factoriser par le facteur commun 𝑎 au carré, qui apparaît dans tous les termes de notre somme, et on obtient la racine carrée de 𝑎 au carré, soit la valeur absolue de 𝑎, multipliée par notre formule d’origine de la norme de 𝐕.
Cela se tient d’un point de vue géométrique, puisque le scalaire a pour effet de modifier la taille du vecteur. Ainsi, multiplier un vecteur par le scalaire deux aura pour effet de doubler la longueur de ce vecteur, tandis que le multiplier par un demi aura pour effet de diviser sa longueur par deux. On utilise la valeur absolue de 𝑎 car multiplier un vecteur par un scalaire négatif ne change pas seulement sa norme mais aussi son sens. Mais la norme d’un vecteur est indépendante de son sens. Quoi qu’il en soit, on peut voir que la relation qu’on a établie est très utile pour répondre à la question qui nous est posée. Au lieu de déterminer le produit de 𝚨 par le scalaire un cinquième, puis d’appliquer la formule de la norme, on va simplement calculer la norme de 𝚨 et la multiplier par un cinquième.
En effet, la norme d’un cinquième de 𝚨 est égale à un cinquième de la norme de 𝚨. Pour déterminer la norme de 𝚨, on doit calculer la racine carrée de la somme des carrés des composantes du vecteur 𝚨. D’après l’énoncé, ses composantes sont trois, un et 𝑚. Donc la norme de 𝚨 est égale à la racine carrée de trois au carré plus un au carré plus 𝑚 au carré. Trois au carré plus un au carré est égal à neuf plus un, qui est égal à 10. On a maintenant trois résultats qu’on peut combiner pour former une équation d’inconnue 𝑚. On sait que un est égal à la norme d’un cinquième de 𝚨, que la norme d’un cinquième de 𝚨 est égale à un cinquième de la norme de 𝚨, et que la norme de 𝚨 est égale à la racine carrée de 10 plus 𝑚 au carré.
En combinant tout cela, on obtient que un cinquième fois la racine carrée de 10 plus 𝑚 au carré est égal à un, où le membre de gauche est la norme de un cinquième de 𝚨. Pour résoudre l’équation, on commence par multiplier les deux membres par cinq. Puis on élève les deux membres au carré pour éliminer la racine du membre de gauche. On obtient 10 plus 𝑚 au carré égale 25. On remarquera qu’on vient de prendre le carré d’une racine carrée. Par conséquent, le membre de gauche de notre équation devrait plutôt être la valeur absolue de 10 plus 𝑚 au carré.
Mais puisque 𝑚 est un réel, 𝑚 au carré est toujours supérieur ou égal à zéro. Donc 10 plus 𝑚 au carré est toujours positif et il serait redondant de noter la valeur absolue. On peut maintenant soustraire 10 des deux côtés. Cela nous donne 𝑚 au carré égale 15. À ce stade, on pourrait être tenté de conclure que 𝑚 est égal à la racine carrée de 15. Mais il faut faire attention au signe de cette valeur.
N’oublions pas que 𝑚 au carré égale 15 a deux solutions, la racine carrée de 15 et moins la racine carrée de 15. Rien dans l’énoncé n’implique que 𝑚 doit être positif ou négatif. Les composantes d’un vecteur peuvent aussi bien être positives que négatives. En fait, une conséquence importante de la façon dont on calcule la norme d’un vecteur est que la norme ne dépend pas du signe des composantes du vecteur.
Ainsi, la racine carrée de 15 et moins la racine carrée de 15 sont toutes deux des valeurs possibles de 𝑚. Et comme l’ont montré nos calculs, ce sont les seules valeurs possibles de 𝑚.
