Lesson Video: Évaluation des fonctions Mathematics

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Dans cette vidéo, nous apprendrons à calculer la valeur ou la sortie d’une fonction en utilisant son équation ou sa courbe. Nous commencerons par rappeler ce que nous entendons par fonction. Et puis nous expliquerons comment nous pouvons les évaluer.

La notation de fonction la plus populaire est 𝑓 de 𝑥. La notation 𝑓 de 𝑥 est une autre façon de représenter la valeur 𝑦 dans une fonction telle que 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥. Au lieu d’écrire 𝑦 est égal à trois 𝑥 plus sept, nous écrirons 𝑓 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 plus sept. Le l’axe des 𝑦 peut être étiqueté comme l’axe des 𝑓-de-𝑥 lors de la représentation graphique de la fonction. L’étiquetage d’une fonction de cette manière évite la confusion lorsque nous avons affaire à plusieurs fonctions.

Nous allons maintenant voir comment évaluer une fonction. Pour évaluer une fonction, nous substituons l’entrée ou le nombre donné pour la variable de la fonction, généralement 𝑥. Par exemple, considérons que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à trois 𝑥 plus sept. Si on nous demandait d’évaluer 𝑓 de quatre, alors quatre est l’entrée. Nous substituons cela dans l’expression. Dans ce cas, nous avons trois multiplié par quatre plus sept. Ceci est égal à 19, qui est connu comme la sortie. Lorsque l’entrée à la fonction est de quatre, la sortie est 19. Cela peut être écrit sous la forme d’une paire ordonnée ou coordonnées quatre, 19, où quatre est la valeur 𝑥 et 19 est le 𝑓-de-𝑥 ou la valeur 𝑦.

Nous allons maintenant examiner quelques questions qui impliquent l’évaluation des fonctions.

En utilisant la fonction 𝑦 est égal à 𝑥 au carré plus trois, calculez la sortie correspondante pour une entrée de deux.

La sortie de toute fonction dans ce format est la valeur 𝑦. L’entrée est la valeur 𝑥. Nous devons remplacer 𝑥 est égal à deux dans la fonction. Comme 𝑦 est égal à 𝑥 au carré plus trois, lorsque 𝑥 vaut deux, 𝑦 est égal à deux au carré plus trois. Deux au carré est égal à quatre. Donc 𝑦 est égal à quatre plus trois. Comme cela est égal à sept, la sortie qui correspond à une entrée de deux est sept.

Nous pourrions écrire ceci comme une paire ordonnée avec les coordonnées deux, sept. Le point avec les coordonnées deux, sept se trouve sur la parabole d’équation 𝑦 est égal à 𝑥 au carré plus trois. Lorsqu’il s’agit de fonctions, le 𝑦 est souvent remplacé par le 𝑓 de 𝑥. Ils sont interchangeables et correspondent tous deux à la sortie.

Notre prochaine question consiste à remplir un tableau de valeurs pour une fonction.

Remplissez le tableau des valeurs de la fonction 𝑦 est égal à trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥.

Dans cette question, on nous donne une fonction 𝑦 égale à trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥 et cinq valeurs entières de 𝑥 de moins deux à deux. Afin de compléter le tableau, nous devons substituer chacune de ces valeurs tour à tour dans la fonction. Commençons par plus deux. Lorsque notre valeur 𝑥 ou entrée est égale à deux, alors notre valeur 𝑦 ou sortie sera égale à trois multipliée par deux au carré moins deux multipliée par deux. En utilisant notre ordre d’opérations, trois multiplié par deux au carré est égal à 12. Nous devons mettre au carré les deux puis multiplier par trois. Deux multiplié par deux est égal à quatre. Nous avons donc 12 moins quatre. C’est égal à huit. Lorsque 𝑥 est égal à deux, 𝑦 est égal à huit.

Nous pouvons répéter ce processus lorsque 𝑥 est égal à un. Trois multiplié par un au carré est égal à trois et deux multiplié par un à deux. Comme trois moins deux est égal à un, lorsque 𝑥 est égal à un, 𝑦 est égal à un.

Lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 est égal à trois multiplié par zéro au carré moins deux multiplié par zéro. Les deux parties de ce calcul sont égales à zéro. Et zéro moins zéro est égal à zéro.

Nous devons maintenant considérer quand 𝑥 est négatif, ce qui est un peu plus compliqué. La quadrature d’un nombre négatif donne une réponse positive, car la multiplication de moins un par moins un est plus un. Cela signifie que trois multiplié par moins un au carré est égal à trois. Deux multiplié par moins un donne moins deux. Mais comme nous soustrayons cela, nous nous retrouvons avec plus deux. Trois plus deux est égal à cinq. Ainsi, lorsque 𝑥 est égal à moins un, 𝑦 est égal à cinq.

Trois multiplié par moins deux au carré est égal à 12, comme moins deux au carré est égal à quatre. Comme deux multiplié par moins deux est moins quatre, nous devons ajouter quatre à 12. Encore une fois, nous soustrayons un nombre négatif. Cela nous donne une sortie ou une valeur 𝑦 de 16 lorsque 𝑥 est égal à moins deux.

Les cinq valeurs manquantes dans le tableau sont 16, cinq, zéro, un et huit. Nous pourrions utiliser ces paires de coordonnées moins deux, 16 ; moins un, cinq ; et ainsi de suite pour représenter graphiquement la fonction 𝑦 égale trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥. Comme notre fonction est quadratique et que le coefficient de 𝑥 au carré est positif, nous aurons une parabole en U.

Dans notre prochaine question, nous devrons identifier quel point satisfait une fonction donnée.

Lequel des ensembles de coordonnées suivants se trouve sur la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 est égal à moins 19𝑥 moins 16 ? Est-ce (A) 10, moins 16 ; (B) 10, moins 206 ; (C) moins 206, 10 ; ou (D) moins 206, moins 16 ?

Nous avons l’habitude d’écrire n’importe quelle paire de coordonnées sous la forme 𝑥, 𝑦. La première coordonnée est la valeur 𝑥, et la seconde est la valeur 𝑦. La fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à moins 19𝑥 moins 16 est identique à 𝑦 est égal à moins 19𝑥 moins 16. Comme 𝑦 et 𝑓 de 𝑥 sont interchangeables, nous pouvons écrire la paire de coordonnées comme 𝑥, 𝑓 de 𝑥. La première valeur est connue comme l’entrée et la deuxième valeur la sortie.

Nous devons déterminer laquelle des quatre options satisfait la fonction. Nous remarquons que l’option (A) et l’option (B) ont une entrée ou une valeur 𝑥 de 10. Cela signifie que pour calculer la sortie, nous devons calculer 𝑓 de 10. La substitution de 𝑥 égale 10 nous donne un résultat moins 19 multiplié par 10 moins 16. La multiplication d’un nombre négatif par plus un donne une réponse négative. Donc, le moins 19 multiplié par 10 est moins 190. Soustraire 16 de cela nous donne le moins 206. Cela signifie que la paire de coordonnées 10, moins 206 se trouve sur la courbe. Comme l’option (A) était 10, moins 16, c’est incorrect. L’option (B), en revanche, était 10, moins 206. C’est donc la bonne réponse.

Nous pourrions vérifier si les options (C) et (D) sont correctes en substituant le moins 206 à 𝑥. 𝑓 de moins 206 est égal à moins 19 multiplié par moins 206 moins 16. Nous pouvons clairement voir que cela ne satisfera aucune de nos options, car notre valeur est trop grande. Une entrée de moins 206 donne une sortie de 3898. La paire de coordonnées moins 206, 3898 se trouve sur la courbe. Cela ne correspond pas à l’option (C) ou (D). Ce sont donc tous les deux incorrects. La bonne réponse est l’option (B).

Notre exemple suivant est une question en plusieurs parties impliquant la signification d’une fonction.

Étant donné la fonction 𝑓, la signification de 𝑓 de 𝑎 moins un est la sortie lorsque l’entrée est inférieure de un à 𝑎. Interprétez ce qui suit. 𝑓 de 𝑏 plus trois, 𝑓 de 𝑠 moins trois, 𝑓 de trois moins 𝑥, 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎, 𝑓 de trois 𝑡, et 𝑓 de 𝑎 à la puissance 𝑏.

Avant de commencer cette question, il convient de rappeler ce que nous entendons par une fonction 𝑓. Si nous avons une fonction 𝑓 de 𝑥, alors 𝑥 est l’entrée et 𝑓 de 𝑥 est la sortie. Un nombre à l’intérieur des parenthèses affecte l’entrée, tandis qu’un nombre à l’extérieur des parenthèses affecte la sortie. Cela peut être vu dans l’exemple, car 𝑎 moins un signifie un de moins que 𝑎.

Notre première fonction, 𝑓 de 𝑏 plus trois, est très similaire à l’exemple. Au lieu de soustraire un de 𝑎, nous en ajoutons trois à 𝑏. Cela signifie que 𝑓 de 𝑏 plus trois calcule la sortie lorsque l’entrée est supérieure de trois à 𝑏.

Notre deuxième fonction, 𝑓 de 𝑠 moins trois, est légèrement différente. Cette fois, les trois soustraits sont en dehors des parenthèses. 𝑓 de 𝑠 sera la sortie lorsque l’entrée est 𝑠. Par conséquent, 𝑓 de 𝑠 moins trois est inférieur de trois à la sortie lorsque l’entrée est 𝑠.

Notre troisième fonction, 𝑓 de trois moins 𝑥, est très similaire à la première et aussi à l’exemple. Cette fois, notre fonction nous donne la sortie lorsque l’entrée est 𝑥 retirée à trois. Nous soustrayons 𝑥 de trois et élaborons ensuite la sortie.

Notre quatrième fonction a deux variables, 𝑏 et 𝑎. Nous avons 𝑓 de 𝑏 moins 𝑓 de 𝑎. Cela signifie que nous soustrayons la valeur de 𝑓 de 𝑎 à la valeur de 𝑓 de 𝑏. Voilà la différence entre elles. Par conséquent, la réponse correspond à la variation de sortie lorsque l’entrée passe de 𝑎 à 𝑏.

L’avant-dernière fonction est 𝑓 de trois 𝑡. Nous multiplions notre valeur de 𝑡 par trois. C’est encore une fois une idée similaire à notre première fonction, 𝑓 de 𝑏 plus trois, et aussi à notre troisième fonction, 𝑓 de trois moins 𝑥. Cette fois, elle correspond à la sortie lorsque l’entrée est trois fois 𝑡.

Notre fonction finale implique des exposants ou des puissances. Nous avons 𝑓 de 𝑎 à la puissance 𝑏. Comme le 𝑏 est en dehors de la parenthèse ou des parenthèses, cela résulte de l’augmentation de la sortie à l’entrée 𝑎 à la 𝑏 ème puissance. Si la puissance 𝑏 était à l’intérieur des parenthèses, nous augmenterions l’entrée à la 𝑏 ème puissance. Interpréter et souvent dessiner des fonctions de ce type est une partie importante du sujet.

Notre dernière question consiste à évaluer une fonction à partir d’un graphique.

Déterminez 𝑓 de un.

Nous pouvons voir sur le graphique que nos axes sont étiquetés 𝑥 et 𝑓 de 𝑥. Toute fonction écrite sous la forme 𝑓 de 𝑥 a une entrée 𝑥 et une sortie 𝑓 de 𝑥. Dans cette question, notre valeur de 𝑥 ou notre entrée est un. Nous devons trouver la valeur de 𝑓 de 𝑥 dans le graphique lorsque 𝑥 est égal à un. Nous faisons cela en traçant une ligne verticale à partir de un sur l’axe des 𝑥. Une fois que nous atteignons notre courbe, nous traçons une ligne horizontale à travers l’axe des 𝑦 ou des 𝑓-de-𝑥. C’est égal à huit. Par conséquent, la valeur de 𝑓 de un est huit. Nous pourrions calculer la valeur de 𝑓 de moins deux jusqu’à 𝑓 de huit en utilisant ce graphique.

Nous allons maintenant terminer cette vidéo en résumant les points clés. Comme mentionné au début de la vidéo, la notation 𝑓 de 𝑥 est une autre façon de représenter la valeur 𝑦 d’une fonction telle que 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥. Si nous considérons que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à cinq 𝑥 moins deux, alors notre valeur 𝑥 est l’entrée. La valeur de cinq 𝑥 moins deux est la valeur de sortie. Pour évaluer une fonction, nous substituons l’entrée à la variable de la fonction. Par exemple, pour calculer 𝑓 de trois, nous substituons trois à 𝑥. Cinq multiplié par trois moins deux est 13. Par conséquent, l’entrée de trois donne une sortie de 13.

Nous avons vu dans cette vidéo que nous pouvons calculer une sortie à l’aide d’équations, parfois sous la forme d’un tableau, ou alternativement à partir de graphiques.