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Un touriste errant dans une ville marche 965 mètres à l’est, puis 244 mètres au sud, puis 139 mètres à l’ouest, puis 760 mètres au nord, puis 826 mètres à l’ouest, puis enfin 44 mètres au sud avant de s’arrêter. À quelle distance le touriste s’est-il déplacé par rapport au point où il a commencé à marcher ?
Alors dans cette question, nous avons un touriste errant dans une ville, et on nous donne des informations sur les différentes parties du voyage qu’il entreprend. Commençons par utiliser cette information de la question pour dessiner un schéma du chemin qu’ils suivent. Le touriste commence à une certaine position et la première chose qu’il fait est de marcher 965 mètres à l’est. Si nous notons les sens indiqués par une boussole comme ceci, alors nous pouvons ajouter cette partie du voyage à notre croquis comme suit. Notre touriste a parcouru une distance de 965 mètres dans le sens que nous avons indiqué à l’est. La prochaine partie du voyage du touriste est de marcher 244 mètres au sud. Puis il marche 139 mètres à l’ouest, suivis de 760 mètres au nord, puis de 826 mètres à l’ouest et enfin de 44 mètres au sud. Ce croquis montre maintenant le voyage complet effectué par le touriste.
La question nous demande dans quelle mesure le touriste est déplacé du point où il a commencé à marcher. Nous devons donc calculer le déplacement de sa position finale par rapport à sa position de départ. Rappelons que le déplacement est la distance en ligne droite entre deux positions. Et puisque le déplacement est une grandeur vectorielle, il a un sens ainsi qu’une amplitude.
Notre touriste marche le long des sens de la boussole vers le nord, le sud, l’est et l’ouest. En général, une personne qui marche suivant ces quatre sens finira par être déplacée à la fois suivant la direction nord-sud et est-ouest. Nous pouvons voir de notre ensemble d’axes de la boussole que le sud est l’opposé du nord et l’ouest est l’opposé de l’est. Donc, nous pouvons dire que le déplacement vers le nord, que nous avons appelé 𝑑 indice N, est égal à la somme de toutes les distances parcourues vers le nord moins la somme de toutes les distances parcourues vers le sud et de même pour le déplacement vers l’est, que nous avons étiqueté 𝑑 indice E. Il s’agit de la somme de toutes les distances parcourues vers l’est moins la somme de toutes les distances parcourues vers l’ouest.
Dans le cas général où une personne est déplacée à la fois vers l’est et vers le nord, son déplacement global sera donné par cette flèche orange. L’intensité de ce déplacement global est donnée par la règle de Pythagore, qui dit que la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est donnée par la racine carrée de la somme des carrés des deux autres côtés. Afin de spécifier complètement ce déplacement global, nous devrions également calculer cet angle ici afin de pouvoir donner le sens. En revenant à la question, nous pouvons voir que nous allons devoir calculer le déplacement du touriste dans la direction nord-sud et aussi dans la direction est-ouest.
Alors, déterminons les valeurs de 𝑑 indice N, le déplacement au nord, et 𝑑 indice E, le déplacement à l’est, pour le voyage de notre touriste. Pour le déplacement vers le nord, nous devons commencer par trouver toutes les distances parcourues par notre touriste vers le nord. Donc, ce sont toutes les flèches pointant vers le nord sur notre schéma. Dans ce cas, il ne s’agit que de la flèche d’une distance de 760 mètres. Ensuite, nous devons soustraire toutes les distances parcourues vers le sud. Donc, ce sont toutes les flèches pointant vers le sud sur notre schéma.
Nous avons cette flèche d’une longueur de 244 mètres et celle-ci d’une longueur de 44 mètres. Ensuite, il suffit de calculer cette expression. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons un résultat de 472 mètres. Comme cette valeur est positive, cela signifie que le déplacement suivant la direction nord-sud est en effet vers le nord. Rappelez-vous que puisque le sud est l’opposée du nord, alors si notre valeur était négative, cela indiquerait que le déplacement était en fait vers le sud.
Alors, calculons maintenant 𝑑 indice E. C’est le déplacement vers l’est. Nous devons commencer par trouver toutes les distances parcourues à l’est. Donc, ce sont toutes les flèches pointant vers l’est sur notre schéma. Nous avons juste une flèche pointant vers l’est, et elle a une longueur de 965 mètres. Ensuite, nous devons soustraire à cela toutes les distances parcourues à l’ouest. Donc, ce sont toutes les flèches pointant vers l’ouest sur notre schéma. Dans ce cas, c’est cette flèche d’une longueur de 139 mètres et celle-ci d’une longueur de 826 mètres.
Et puis, nous avons juste besoin de calculer cette expression ici. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons un résultat de zéro mètre. Cela signifie que le touriste ne se retrouve pas du tout déplacé suivant la direction est-ouest par rapport à sa position de départ. En d’autres termes, le résultat net est que les distances qu’il a parcourues vers l’est compensent parfaitement les distances qu’il a parcourues vers l’ouest. Cela signifie que notre situation s’avère être beaucoup plus simple dans ce cas général que nous avons décrit ici. Puisque notre valeur de 𝑑 indice E est zéro, alors le déplacement global de notre touriste n’est que son déplacement vers le nord puisque c’est le seul sens dans lequel il est déplacé.
Puisque nous savons que le déplacement est un vecteur, alors pour le spécifier complètement, nous devons donner son amplitude et son sens. Donc, on pourrait dire que le déplacement global du touriste, que nous avons noté 𝑑, est de 472 mètres au nord. Mais si nous revenons à la question, nous voyons qu’on nous ne demande pas réellement de trouver le déplacement du touriste, mais plutôt dans quelle mesure il est déplacé. Puisque la question nous demande seulement jusqu’où, cela signifie que nous devons donner l’amplitude du déplacement pour notre réponse plutôt que le déplacement lui-même. Donc, ce n’est que l’amplitude de cette distance en ligne droite entre sa position de départ et sa position finale, que nous avons calculée comme étant de 472 mètres.
Et donc notre réponse finale à la question de savoir jusqu’où le touriste est déplacé par rapport au point où il a commencé à marcher est de 472 mètres.
