Vidéo : Le Brachistochrone, avec Steven Strogatz

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Le Brachistochrone, avec Steven Strogatz

16:01

Transcription de vidéo

Pour cette vidéo, je fais quelque chose d’un peu différent. J’ai eu la chance de m’asseoir avec Steven Strogatz et d’enregistrer une conversation. Pour ceux qui ne le savent pas, Steve est mathématicien à Cornell. Il est l’auteur de plusieurs livres de mathématiques populaires et contribue fréquemment, entre autres, à Radiolab et au New York Times. Pour le dire clairement, il est l’un des grands vulgarisateurs mathématiques à notre époque.

Dans notre conversation, nous avons parlé de beaucoup de choses. Mais tout était centré autour de ce problème très célèbre dans l’histoire des mathématiques, le brachistochrone. Et pour les deux premiers tiers environ de la vidéo, je vais rediffuser une partie de cette conversation. Nous exposons le problème, parlons de son histoire et examinons la solution de Jean Bernoulli au XVIIe siècle. Après ça, je vais montrer cette preuve que Steve m’a montrée. C’est un mathématicien moderne, Mark Levi. Et cela donne une certaine idée géométrique à la solution originale de Jean Bernoulli. Et à la toute fin, j’ai un petit défi pour vous.

Grant : Nous devrions probablement commencer par définir le problème lui-même.

Steve : D’accord, d’accord, vous voulez que je m’occupe de ça ?

Grant : Oui, vas-y.

Steve : D’accord, ouais, c’est donc ce mot compliqué, tout d’abord, brachistochrone, qui vient de deux — ah, je dois vérifier. S’agit-il de mots latins ou grecs, je pense ?

Grant : Je suis à peu près sûr qu’ils sont grecs.

Steve : D’accord, donc des mots grecs pour « le temps le plus court ». Et cela renvoie à une question posée par l’un des frères Bernoulli, par Jean Bernoulli. Si vous imaginez une chute et qu’une particule descend le long de cette chute, tirée par la gravité. Quelle est la trajectoire de la goulotte qui relie deux points de sorte qu’elle passe du point A au point B dans le temps le plus court ?

Grant : Je pense que ce que j’aime le plus dans ce problème, c’est qu’il est relativement facile de décrire qualitativement ce que vous cherchez. Vous savez, vous voulez que le chemin soit court, quelque chose comme une ligne droite. Mais vous voulez que l’objet aille vite, ce qui nécessite un démarrage rapide. Et cela ajoute de la longueur à votre ligne. Mais rendre cela quantitatif et trouver réellement l’équilibre avec une courbe spécifique ? Ce n’est pas du tout évident et constitue un problème vraiment intéressant.

Steve : C’est ça ! C’est une chose vraiment intéressante. Je veux dire que la plupart des gens, lorsqu’ils entendent cela, supposent que le chemin le plus court donne le temps le plus court, que la ligne droite est la meilleure. Mais, mais comme vous le dites, il peut aider à accumuler de la vapeur en roulant vers le bas tout d’abord, ou pas nécessairement en roulant. Je veux dire, vous pouvez l’imaginer en train de glisser. Cela n’a pas d’importance, comment nous le formulons. Mais Galilée y avait donc pensé beaucoup plus tôt que Jean Bernoulli en 1638. Et Galilée pensait qu’un arc de cercle serait la meilleure chose à faire. Il a donc eu l’idée qu’un peu de courbure pourrait aider.

Grant : Et il s’avère que l’arc de cercle n’est pas la bonne réponse. C’est bien, mais il y a de meilleures solutions. Et l’histoire des solutions réelles commence avec Jean Bernoulli qui pose ce défi.

Steve : C’est donc en juin 1696. Il l’a présenté comme un véritable défi pour le monde mathématique à cette époque. Pour lui, cela signifiait les mathématiciens européens. Et en particulier, il était très soucieux de montrer qu’il était plus intelligent que son frère, vous savez. Il avait donc un frère, Jacob. Et les deux étaient en fait des rivaux plutôt amers, tous deux d’énormes mathématiciens. Mais Jean Bernoulli se voulait le plus grand mathématicien de son époque, pas seulement meilleur que son frère. Mais, vous savez, je pense qu’il pensait qu’il pourrait être meilleur que Leibniz, qui était en vie à l’époque, et Isaac Newton, qui était alors en quelque sorte un vieil homme. Je veux dire, plus ou moins retraité des maths. Newton était le gardien de la Monnaie, soit quelque chose comme le secrétaire du Trésor de nos jours.

Grant : Et Newton le montre, non ? Il reste éveillé toute la nuit et résout le problème même s’il a fallu deux semaines à Jean Bernoulli pour le résoudre.

Steve : C’est vrai. C’est la belle histoire, que Newton ait été mis au courant du problème, n’était pas vraiment ravi d’être mis au défi, en particulier par quelqu’un qu’il considérait comme inférieur à lui. Je veux dire, il considérait à peu près tout le monde sous lui. Mais, mais oui, Newton est resté éveillé toute la nuit, a résolu le problème, puis l’a envoyé anonymement à The Philosophical Transactions, le journal de l’époque. Et cela a été publié anonymement. Et ainsi, Newton s’est plaint dans une lettre à un de ses amis. Il a déclaré : « Je n’aime pas être surpris par les étrangers au sujet de questions mathématiques ». Il n’a donc pas aimé ce défi, mais il l’a résolu. La célèbre légende raconte que Jean Bernoulli, en voyant cette solution anonyme, a déclaré : « Je reconnais le lion par sa griffe ». Je ne sais pas si c’est vrai, mais c’est une belle histoire. Tout le monde aime raconter cette histoire.

Grant : Et je soupçonne qu’une des raisons pour lesquelles Jean était si désireux de défier d’autres mathématiciens comme Newton est qu’il savait secrètement que sa propre solution était inhabituellement intelligente. Peut-être devrions-nous commencer à aller dans ce qu’il fait.

Steve : Oui, il imagine que pour résoudre le problème, vous laissez la lumière s’en occuper pour vous. Parce que Fermat au début des années 1600 avait montré que vous pouviez, vous pouvez indiquer le mode de déplacement de la lumière, qu’elle soit renvoyée par un miroir ou réfractée de l’air à l’eau. Où elle se courbe ou passe à travers une lentille. Tous les mouvements de la lumière pourraient être compris en disant que la lumière suit le chemin qui la conduit du point A au point B dans les meilleurs délais.

Grant : Ce qui est une perspective vraiment impressionnante quand on y pense. Parce que vous pensez généralement très localement en ce qui concerne ce qui arrive à une particule à chaque point spécifique. Elle fait un pas en arrière et regarde tous les chemins possibles et dit, la nature choisit le meilleur.

Steve : Oui c’est ça. Comme vous le dites, c’est un changement de mentalité impressionnant et magnifique. Pour certaines personnes, cela inspire littéralement en ce sens qu’il avait une connotation religieuse, que la nature est imprégnée de cette propriété de faire la chose la plus efficace.

Grant : Oh, intéressant !

Steve : Mais en laissant cela de côté, vous savez, vous pouvez simplement dire que c’est un fait empirique que c’est ainsi que se comporte la lumière. L’idée de Jean Bernoulli était donc d’utiliser le principe de Fermat. Et disons, supposons qu’au lieu qu’une particule glisse dans une goulotte, sa lumière voyage à travers des milieux d’indice de réfraction différent. Ce qui veut dire que la lumière irait à différentes vitesses au fur et à mesure qu’elle descendait, en quelque sorte, dans la chute.

Grant : Et — et je pense qu’avant de plonger dans cette affaire, nous devrions envisager quelque chose de plus simple, où...

Donc, à ce stade de la conversation, nous avons parlé pendant un moment de la loi de Snell. C’est un résultat en physique qui décrit comment la lumière se plie quand elle passe d’un matériau à un autre, où sa vitesse change. J’ai créé une vidéo séparée à partir de cela, expliquant comment nous pouvons le prouver en utilisant le principe de Fermat, ainsi que l’argument très soigné qui utilise des ressorts de tension constante imaginaires. Mais pour l’instant, tout ce que vous avez besoin de savoir, c’est la déclaration de la loi de Snell elle-même.

Lorsqu’un faisceau de lumière passe d’un milieu à un autre, vous tenez compte de l’angle qu’il forme avec une ligne perpendiculaire à la limite entre ces deux matériaux. Le sinus de cet angle divisé par la vitesse de la lumière reste constant lorsque vous vous déplacez d’un support à l’autre. Alors, que Jean Bernoulli fait est de trouver une belle façon de profiter de cette propriété, sin-de-𝜃-sur-𝑣-reste-constante, le problème du brachistochrone.

Steve : Quand il pense à ce qui se passe avec la particule qui glisse le long de la chute. Il remarque que, par conservation d’énergie, la vitesse de la particule sera proportionnelle à la racine carrée de la distance depuis le sommet.

Grant : Et pour préciser un peu plus, la perte d’énergie potentielle est sa masse multipliée par la constante gravitationnelle multipliée par 𝑦, cette distance depuis le sommet. Et lorsque vous définissez cette égale à l’énergie cinétique, une fois et demi 𝑚𝑣 au carré, et vous réorganisez, la vitesse 𝑣 sera en effet finir par être proportionnelle à la racine carrée de 𝑦.

Steve : Oui, ce qui lui a donné l’idée de créer, imaginons, un verre de plusieurs couches différentes, chacune ayant une caractéristique différente pour la vitesse de la lumière. La vitesse dans la première est 𝑣 un et la suivante est 𝑣 deux et la suivante est 𝑣 trois. Et elles sont toutes proportionnelle à la racine carrée de 𝑦 un ou 𝑦 deux ou 𝑦 trois.

Grant : Et, en principe, vous devriez penser à un processus limitant dans lequel vous avez une infinité de couches infiniment minces. Et ceci est une sorte de changement continu pour la vitesse de la lumière.

Steve : Et couci-couça alors sa question est, si la lumière obéit instantanément la loi de Snell, comme elle va d’un milieu à l’autre, de sorte que 𝑣 sur le sin 𝜃 est toujours une constante, lorsque je passe d’une couche à l’autre. Quel est ce chemin où, vous savez, ces lignes tangentes obéissent toujours instantanément à la loi de Snell ?

Grant : Et pour la vidéo, nous devrions probablement simplement préciser la nature exacte de cette propriété.

Steve : D’accord.

Grant : Donc, la conclusion que Jean a tirée est que si vous regardez la courbe qui minimise le temps, vous prenez n’importe quel point sur cette courbe. Sinus de l’angle entre la ligne tangente en ce point et la verticale divisé par la racine carrée de la distance verticale entre ce point et le début de la courbe. Ce sera une constante indépendante du point que vous avez choisi. Et quand Jean Bernoulli a vu cela pour la première fois, corrigez-moi si je me trompe, il l’a simplement reconnue comme l’équation différentielle pour une cycloïde, la forme tracée par le point situé sur la jante d’une roue qui roule.

Mais il est pas évident, certainement pas évident pour moi, pourquoi cette propriété sin-de- 𝜃 -sur-racine-carré-𝑦 est liée à des roues en action.

Steve : Ce n’est pas évident du tout, mais c’est encore le génie de Mark Levi à la rescousse.

Grant : Vous voulez dire quelques mots sur Mark Levi ?

Steve : Oui, et bien, Mark Levi est un homme très intelligent et très sympathique qui est un de mes amis et un mathématicien formidable à Penn State qui a écrit un livre intitulé Mathematical Mechanic. Dans lequel il utilise des principes de mécanique et, plus généralement, de physique pour résoudre toutes sortes de problèmes de mathématiques. Ce n’est pas les mathématiques au service de la science, mais plutôt la science au service des mathématiques. Et comme exemple du genre de choses intelligentes qu’il fait, il a récemment publié une petite note, très courte. Montrer que si vous regardez la géométrie d’une cycloïde, en dessinant les lignes correctes aux bons endroits, ce qui est le principe de la vitesse sur le sin 𝜃 égale constante, est intégré au mouvement de la cycloïde lui-même.

Donc, dans cette conversation, nous n’avons jamais vraiment parlé des détails de la preuve elle-même. C’est un peu difficile à faire sans visuel. Mais je pense que beaucoup d’entre vous aiment regarder les mathématiques et ne pas parler que de mathématiques. C’est aussi un petit morceau de géométrie vraiment élégant. Donc, je vais passer à travers ici.

Imaginez une roue roulant au plafond. Et imaginez un point 𝑃 sur le bord de cette roue. Le premier aperçu de Mark Levi était que le point où la roue touche le plafond, que je vais appeler 𝐶, agit comme ce centre instantané de rotation pour la trajectoire de 𝑃. Il est comme si, pour ce moment, 𝑃 est à l’extrémité d’un pendule dont la base est en 𝐶. Étant donné que la ligne tangente d’un cercle est toujours perpendiculaire au rayon, la ligne tangente de la trajectoire de cycloïde 𝑃 est perpendiculaire à la ligne 𝑃𝐶. Cela nous donne un angle droit à l’intérieur du cercle. Et tout triangle rectangle inscrit dans un cercle doit avoir l’hypoténuse pour diamètre. Vous pouvez donc en déduire que la tangente coupe toujours le bas du cercle. Soit maintenant 𝜃 l’angle entre cette ligne tangente et la verticale. Nous obtenons une paire de triangles similaires, que je montrerai simplement à l’écran.

Vous pouvez voir que la longueur de 𝑃𝐶 est le diamètre fois sin de 𝜃. En utilisant le deuxième triangle semblable, cette longueur fois le sin de 𝜃 donne à nouveau la distance entre 𝑃 et le plafond. La distance que nous appelions 𝑦 plus tôt. Réorganiser, nous voyons que le sin de 𝜃 divisé par la racine carrée de 𝑦 est égale à un divisé par la racine carrée du diamètre. Étant donné que le diamètre d’un cercle, bien sûr, reste constante tout au long de la rotation, ce qui implique que le sin de 𝜃 divisé par la racine carrée de 𝑦, il est constant sur une cycloïde. Et c’est exactement la propriété de la loi de Snell que nous recherchons. Ainsi, lorsque vous combinez les connaissances de Jean Bernoulli avec cette petite preuve de géométrie, vous obtenez la solution la plus intelligente du brachistochrone que je n’ai jamais vue.

Et je pourrais appeler cela propriété ici. Mais étant donné que toute l’histoire de ce problème a commencé avec un défi que Jean Bernoulli a posé, je veux terminer avec un petit défi de mon côté. Quand je jouais avec les équations d’une cycloïde, quelque chose d’intéressant est apparu. Considérons un objet glissant dans la cycloïde en raison de la gravité. Et réfléchissez à sa position dans la courbe en fonction du temps. Pensez maintenant à la définition de la courbe, à cette trajectoire du point situé sur la jante d’une roue en rotation. Comment pouvez-vous modifier le taux de rotation de la roue de sorte que, lorsque l’objet commence à glisser, le point marqué sur la jante de la roue reste toujours fixé sur cet objet en train de glisser ?

Commencez-vous à le tourner lentement et à augmenter sa vitesse ? Si oui, selon quelle fonction ? Il s’avère que la roue tourne à un rythme constant, ce qui est surprenant. Cela signifie que la gravité vous entraîne le long de la cycloïde exactement comme le ferait une roue en rotation constante. La partie échauffement de ce défi est juste, confirmez-le vous-même. C’est assez amusant de voir comment ça résout des équations.

Mais cela m’a fait réfléchir. Si nous regardons notre problème initial de brachistochrone, en nous interrogeant sur le chemin de la descente la plus rapide entre deux points donnés, il existe peut-être un moyen astucieux de reformuler notre pensée. Que diriez-vous de cela si, au lieu de décrire la trajectoire d’un objet glissant en fonction de ses coordonnées 𝑥 et 𝑦, nous la décrivions en fonction de l’angle que fait le vecteur vitesse en fonction du temps. Je veux dire, vous pouvez imaginer définir une courbe en faisant glisser un objet puis en tournant un bouton pour déterminer l’angle selon lequel il glisse à chaque instant, en étant toujours entraîné par la gravité.

Si vous décrivez l’angle du bouton en fonction du temps, vous décrivez en fait uniquement une courbe. Vous utilisez essentiellement une équation différentielle, car ce qui est donné est la pente en fonction d’un autre paramètre. Dans ce cas, le temps. Alors, ce qui est intéressant est que lorsque vous regardez la solution du problème de brachistochrone, pas dans le plan 𝑥𝑦 mais dans le plan 𝑡𝜃 — où 𝑡 est le temps, 𝜃 est l’angle du chemin — toutes les solutions de brachistochrone sont des lignes droites. C’est-à-dire 𝜃 augmente à un taux constant par rapport à 𝑡. Lorsque la solution d’un problème de minimisation de courbe est une ligne droite, il est fortement suggéré qu’il existe un moyen de le voir comme un problème de chemin le plus court.

Ici, ce n’est pas si simple. Étant donné que les conditions aux limites que votre objet a commencé au point A et a fini au point B dans l’espace 𝑥𝑦 ne regarde pas comme aller d’un point à un autre dans l’espace 𝜃𝑡. Néanmoins, le défi que je vous lance est le suivant. Pouvez-vous trouver une autre solution au problème de brachistochrone en expliquant pourquoi le cas d’une trajectoire minimisant le temps, lorsqu’elle est représentée dans l’espace 𝑡𝜃, ressemble à une droite ?

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