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Vidéo de question : Détermination des paramètres de fonctions à partir de leurs courbes Mathématiques

On a tracé la courbe d’équation 𝑦 = (𝑘 / (𝑥 − 3)) − 2. Les asymptotes se croisent en (3 ; −2). Les points de coordonnées (0,5 ; −1,5) et (1,5 ; −1) se situent respectivement au-dessous et au-dessus de la courbe. Déterminez l’intervalle auquel appartient 𝑘.

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Transcription de vidéo

On a tracé la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑘 divisé par 𝑥 moins trois, moins deux. Les asymptotes se croisent en trois, moins deux. Les points de coordonnées 0,5, moins 1,5 et 1,5, moins un se situent respectivement au-dessous et au-dessus de la courbe. Déterminez l’intervalle auquel appartient 𝑘.

Nous avons deux asymptotes : une en 𝑥 égale trois et l’autre en 𝑦 égale moins deux. L’asymptote 𝑥 égale trois est verticale et cela parce que si nous regardons le dénominateur, il ne peut pas être égal à zéro. Et la valeur qui le rend égal à zéro est trois, donc nous ne pouvons pas avoir de points sur 𝑥 égale trois.

L’autre asymptote provient de la transformation de ce moins deux à la fin de notre expression ; il déplace toute la courbe de deux vers le bas. Ainsi, au lieu d’avoir une asymptote horizontale normale en 𝑦 égale zéro, elle est déplacée vers le bas en 𝑦 égale moins deux. Afin de déterminer ce que vaut réellement 𝑘, nous utilisons les points qui sont au-dessus et au-dessous de notre courbe. Si nous savons qu’un point sur la courbe se situe entre ces deux points, nous pouvons utiliser des inégalités pour déterminer ce que vaut 𝑘.

Plus précisément, nous examinons cette petite section rose. En considérant ce que sont les valeurs possibles de 𝑥, la valeur de 𝑥 au-dessous de la courbe est 0,5 et la valeur de 𝑥 au-dessus de la courbe est 1,5. Donc une valeur entre cela, qui serait facile à utiliser, serait un. En reprenant notre équation, substituons un pour 𝑥. Alors nous avons un moins trois en bas, ce qui est égal à moins deux.

Maintenant, en ce qui concerne les valeurs 𝑦, elles se situent entre moins un et demi et moins un. Donc nous pouvons utiliser ces valeurs pour créer un intervalle. Nous voulons donc que notre expression pour 𝑦 corresponde aux points entre moins un et demi et moins un, donc strictement supérieur à moins un et demi, mais strictement inférieur à moins un.

Donc pour résoudre, ajoutons d’abord deux des deux côtés. Maintenant, nous devons multiplier les deux côtés par moins deux. Cependant, lorsque nous multiplions par un nombre négatif, nous devons inverser le sens des inégalités. Donc 𝑘 est inférieur à moins un, mais supérieur à moins deux. Et une façon plus courante d’écrire cela est moins deux strictement inférieur à 𝑘 strictement inférieur à moins un.

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