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Une barre uniforme 𝐴𝐵 de poids 10 newtons et de longueur 12,5 mètres est au repos avec son extrémité 𝐴 sur un plan horizontal rugueux et le point 𝐶, entre 𝐴 et 𝐵, reste sur un clou horizontal lisse, qui se trouve à 5,7 mètres au-dessus du plan horizontal. Si la barre est sur le point de glisser lorsqu’elle est inclinée par rapport à l’horizontale d’un angle dont la tangente est de trois quarts, déterminez le coefficient de frottement entre la barre et le plan horizontal.
On peut appeler le coefficient de frottement entre la barre et le plan horizontal 𝜇. Dans notre énoncé, on nous dit que la barre a un poids - nous pouvons l’appeler 𝑊 - de 10 newtons et que sa longueur, que nous pouvons appeler 𝐿, est de 12 mètres et demi. On nous dit que cette barre s’appuie sur un clou au point 𝐶, qui est à une distance que nous pouvons appeler 𝑑 au-dessus du plan horizontal. 𝑑 est donné comme 5,7 mètres.
Si nous appelons l’angle entre la surface horizontale et la barre 𝜃, on nous dit que la tangente de 𝜃 est égale aux trois quarts. Et sur la base de toutes ces informations, nous voulons calculer 𝜇, le coefficient de frottement entre la barre et le plan.
Lorsque nous commençons à travailler vers notre solution, notez que la barre est stationnaire. Malgré les forces qui agissent dessus, il n’est pas en mouvement. Cela signifie que nous pouvons écrire que la somme de toutes les forces agissant sur la barre s’ajoute à zéro. Et encore plus, la somme de tous les moments de force par rapport à un point de la barre s’ajoute à zéro. Ce sont ces deux conditions et leur élaboration qui nous donneront les informations dont nous avons besoin pour résoudre 𝜇.
Concentrons-nous d’abord sur les informations que nous pouvons trouver en utilisant le fait que la somme des forces sur la barre est nulle. Nous allons commencer par schématiser toutes les forces qui agissent sur la barre alors qu’elle est dans cette position. Premièrement, si nous plaçons un point au centre de la barre qui est au milieu de sa longueur, alors puisque la barre est uniforme sur toute sa longueur, le poids pointe vers le bas à partir de ce point.
Le clou exerce également une force sur la barre. Et la direction de cette force est perpendiculaire à la barre. Nous pouvons appeler cette force 𝐹 indice 𝑟. En bas de la barre, au point 𝐴, il y a une force normale que nous appellerons 𝐹 indice 𝑁 qui pointe vers le haut. Et il y a aussi une force de frottement que nous pouvons appeler 𝐹 indice 𝑓 qui pointe vers la droite dans la direction horizontale. Ce sont toutes les forces qui agissent sur la barre.
Si nous définissons les sens positifs comme étant vers le haut et vers la droite, alors nous pouvons écrire deux équations d’équilibre des forces, une pour les forces horizontales et une pour les forces verticales agissant sur la barre. Avant d’écrire ces équations, nous remarquons que trois de nos quatre forces sont déjà pointées entièrement dans la direction horizontale ou verticale. La seule exception est 𝐹 𝑟. Nous allons donc vouloir décomposer cette force en ses composantes horizontale et verticale. Si nous traçons une droite horizontale à partir du point 𝐶, alors l’angle entre cette droite et la barre doit être égal à 𝜃.
Cela signifie que l’angle entre le vecteur de force 𝐹 𝑟 et cette droite horizontale doit être égal à 90 degrés moins 𝜃. Sachant cela, nous pouvons commencer à écrire nos deux équations d’équilibre des forces. Dans la direction verticale, nous pouvons écrire que la force normale, 𝐹 𝑁, ajoutée à 𝐹 𝑟 fois le sin de 90 degrés moins 𝜃 moins le poids 𝑊 est égale à zéro. En raison de la relation de phase particulière entre sin et cos de 𝜃, sin de 90 degrés moins 𝜃 est simplement égal au cos de 𝜃. Ce sont nos forces dans la direction verticale.
Dans la direction horizontale, nous pouvons écrire que 𝐹 𝑓, la force de frottement, moins 𝐹 𝑟 fois le cos de 90 degrés moins 𝜃 est égale à zéro. Encore une fois, notre fonction trigonométrique peut basculer en fonction de la relation de phase entre cosinus et sinus. Nous avons donc deux équations indépendantes, mais nous avons trois inconnues : 𝐹 𝑁, 𝐹 𝑟 et 𝐹 𝑓. Nous aurons besoin d’une troisième équation indépendante pour nous aider à résoudre ces valeurs. Nous pouvons trouver cette équation en utilisant le fait que le moment total de forces sur cette barre est également égal à zéro.
Si nous décidons que la rotation dans le sens des aiguilles d’une montre est positive et que nous choisissons également comme point de rotation le centre géométrique de la barre, alors nous sommes presque prêts à commencer à écrire notre équation de moment total de force égal à zéro. Avant d’écrire cette équation, nous voulons trouver les composantes perpendiculaires de 𝐹 𝑁 et de 𝐹 𝑓 qui agissent comme des bras de levier. Et nous voudrons aussi calculer une distance - nous pouvons l’appeler ℎ - entre le point 𝐶 et le milieu de la barre. Pour la composante de la force normale 𝐹 𝑁, nous pouvons écrire que le moment dû à cette force est 𝐹 𝑁 fois le sin de 90 degrés moins 𝜃 multiplié par la longueur de la barre sur deux, 𝐿 sur deux.
Et comme précédemment, nous pouvons réécrire ce sinus comme simplement cos de 𝜃. Ensuite, pour le moment par rapport au milieu dû à 𝐹 𝑟, c’est simplement égal à 𝐹 𝑟 fois ℎ. Mais nous voulons calculer la valeur ℎ. Nous pouvons dessiner un triangle qui montre les informations que nous connaissons pour nous aider à calculer la longueur ℎ. En considérant ce triangle rectangle, on nous dit que la tangente de l’angle 𝜃 est égale à trois sur quatre. Et ce triangle doit donc être un triangle 3: 4: 5.
En regardant ensuite notre triangle supérieur, cela doit signifier que le sin de l’angle 𝜃, qui est égal aux trois cinquièmes, sur la base de notre découverte de notre triangle en tant que triangle de 3: 4: 5 doit être égal à 𝑑, la hauteur à partir du sol au point 𝐶, divisé par 𝐿 sur deux plus ℎ. Donc, en travaillant avec cette équation, nous sommes en mesure de réorganiser et de calculer ℎ. ℎ est égal à cinq 𝑑 sur trois moins 𝐿 sur deux. Et en substituant les valeurs données pour 𝑑 et pour 𝐿, et calculant cette valeur avec 𝑑 et 𝐿, nous constatons que ℎ est égal à treize quarts mètres.
C’est la distance que nous pouvons utiliser pour multiplier 𝐹 𝑟 dans notre équation du moment. Avec les moments dû à 𝐹 𝑁 et 𝐹 𝑟 pris en compte, nous avons maintenant 𝐹 𝑓, la force de frottement, à considérer. Nous pouvons écrire ce moment comme 𝐹 𝑓 fois le sin de 𝜃 multiplié par 𝐿 sur deux. Et ces trois moments additionnés totalisent zéro. Nous avons trois équations indépendantes et trois inconnues. Si nous résolvons d’abord pour 𝐹 𝑟, la force qui est créée sur la barre par le clou, alors nous pouvons utiliser notre équation d’équilibre des forces horizontales pour trouver un substitut à 𝐹 𝑓 en fonction de 𝐹 𝑟 pour l’introduire dans l’équation du moment.
Lorsque nous effectuons cette substitution, le nouveau terme devient 𝐹 𝑟 fois le sin de 𝜃 au carré. Ensuite, nous chercherons à remplacer 𝐹 𝑁 par quelque chose en termes de 𝐹 𝑟. Pour ce faire, nous allons voir notre équation d’équilibre des forces verticales. Lorsque nous réorganisons cette équation, nous voyons que 𝐹 𝑁 est égal à 𝑊 moins 𝐹 𝑟 cos 𝜃. Nous pouvons ensuite insérer ce terme pour remplacer 𝐹 𝑁 dans notre équation du moment total. Lorsque nous le faisons, nous avons une expression entièrement en fonction d’une variable inconnue, 𝐹 𝑟, et de constantes connues : 𝐿, 𝜃 et 𝑊.
Lorsque nous substituons 10 newtons pour 𝑊 et 12,5 mètres pour 𝐿 et remplaçons les termes cos 𝜃 par quatre cinquièmes et sin 𝜃 par trois cinquièmes, et après avoir mis et calculé 𝐹 𝑟, nous constatons que c’est égal à 100 sur 19 newtons. Nous prenons ensuite cette valeur pour 𝐹 𝑟 et l’insérons dans notre équation d’équilibre des forces verticales, en plaçant également 10 newtons pour 𝑊 et quatre cinquièmes pour le cos de 𝜃. Lorsque nous calculons cette différence, nous constatons que 𝐹 𝑁, la force normale, est de 110 sur 19 newtons.
Nous pouvons également utiliser 𝐹 𝑟 pour calculer 𝐹 𝑓, la force de frottement. Si nous prenons notre valeur pour 𝐹 𝑟 et la substituons dans notre équation, 𝐹 𝑓 est égal à 𝐹 𝑟 sin de 𝜃 où sin de 𝜃 peut être écrit comme la fraction trois cinquièmes, alors quand nous multiplions ces deux fractions, nous constatons que la force de frottement est 60 sur 19 newtons. Ensuite, il y a une dernière équation à considérer pour calculer 𝜇.
En général, la force de frottement 𝐹 𝑓 est égale au coefficient de frottement multiplié par la force normale. Et si nous réorganisons cette expression pour calculer 𝜇, nous trouvons que c’est 𝐹 𝑓 sur 𝐹 𝑁. Nous avons calculé ces deux forces et nous pouvons les insérer maintenant. Lorsque nous le faisons, nous voyons que les facteurs de un sur 19 s’annulent et que l’expression se réduit à six divisé par 11. C’est le coefficient de frottement qui existe entre la barre et le sol horizontal.