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Vidéo de la leçon : Médianes des triangles Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les médianes d’un triangle et à utiliser leurs propriétés de proportionnalité pour déterminer une longueur inconnue.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les médianes d’un triangle et, en utilisant leurs propriétés de proportionnalité, à déterminer une longueur inconnue. Tout d’abord, pensons à ce qu’est une médiane dans un triangle. Les médianes d’un triangle sont les trois segments allant de chaque sommet au milieu du côté opposé. Nous allons voir si nous pouvons visualiser cela.

Si nous commençons par un triangle, les médianes sont les segments allant du sommet au milieu du côté opposé. Le milieu du côté opposé sera le point qui divise ce segment en deux. Le milieu est ici car il divise ce segment en deux, ce qui en fait notre première médiane. Pour notre deuxième sommet, nous trouvons le milieu du côté opposé, puis nous traçons une droite du sommet à ce milieu. Et nous avons une deuxième médiane dans ce triangle. Et voici la troisième médiane.

Et à ce stade, vous remarquerez peut-être quelque chose à propos de ces trois médianes. Les médianes de ce triangle se coupent en un point. Et cela est vrai pour chaque triangle ; les trois médianes se coupent en un seul point. Elles sont concourantes. Le point de concours est l’intersection des trois droites, et ce point a un nom spécial. Il s’appelle le centre de gravité. Le centre de gravité est toujours situé à l’intérieur du triangle.

Nous allons maintenant examiner certaines propriétés que nous trouvons avec ces médianes et le centre de gravité. Nous avons le théorème du centre de gravité, qui nous dit que la distance entre chaque sommet et le centre de gravité est de deux tiers de la longueur de la médiane à partir de ce sommet. Essayons de visualiser cela. Dans ce triangle, les trois médianes ont été divisées en tiers, et le centre de gravité est 𝑃. La distance de chaque sommet au centre de gravité est de deux tiers. Et le tiers restant est la distance entre le centre de gravité et le milieu. Cela signifie que le segment AP est deux tiers de la médiane, et le segment 𝑃𝐸 est un tiers de la médiane.

Nous pouvons voir ici que le segment AP est le double du segment 𝑃𝐸. Essayons d’écrire cela algébriquement. Le segment 𝐴𝑃 est égal à deux tiers de la médiane entière 𝐴𝐸, et le segment 𝑃𝐸 est égal à un tiers de la médiane entière 𝐴𝐸. Si nous prenons notre deuxième équation et que nous multiplions par trois, nous voyons que trois fois 𝑃𝐸 est égal à 𝐴𝐸.

Puisque nous avons trouvé que le segment 𝐴𝐸 est égal à trois fois le segment 𝑃𝐸, dans notre première équation, nous pouvons substituer notre nouvelle valeur au segment AE. Si le segment 𝐴𝑃 est égal à deux tiers le segment 𝐴𝐸 et le segment 𝐴𝐸 est égal à trois fois le segment 𝑃𝐸, deux tiers fois trois est égal à deux. Et nous avons confirmé que ce que nous avons vu intuitivement était vrai, que le segment AP est égal à deux fois le segment 𝑃𝐸. De même, il serait juste de dire que le segment PE est égal à la moitié du segment 𝐴𝑃, car un tiers fois deux est égal à deux tiers, et deux tiers fois un demi est égal à un tiers. En utilisant ces informations, considérons quelques exemples.

Dans un triangle 𝐴𝐵𝐶, 𝑀 est le point de concours de ses médianes. Si le segment AD est une médiane, alors 𝐴𝑀 est égal à (espace vide) de 𝑀𝐷.

Tout d’abord, nous savons que le point de concours de ses médianes dans un triangle est son centre de gravité. Si nous voulions tracer un triangle pour essayer de comprendre ce qui se passe ici, nous aurions besoin du triangle 𝐴𝐵𝐶 et nous pourrions alors tracer un centre de gravité. Nous savons que le point de concours, le centre de gravité, est le point 𝑀 et que la droite 𝐴𝐷 est une médiane. Le théorème du centre de gravité nous dit que la distance du sommet au centre de gravité est de deux tiers de la médiane, et que la distance du centre de gravité au milieu est d’un tiers de la médiane. Et nous voulons comparer la relation entre 𝑀𝐷 et 𝐴𝑀. Pour passer de 𝑀𝐷 à 𝐴𝑀, pour passer d’un tiers à deux tiers, on multiplie par deux. 𝐴𝑀 vaut le double de 𝑀𝐷, ce qui signifie que nous trouverions 𝐴𝑀 en multipliant 𝑀𝐷 par deux.

Dans notre exemple suivant, nous utiliserons les propriétés des médianes pour trouver une longueur de côté manquante.

Quelle est la longueur du segment 𝐶𝐷 ?

Sur cette figure, nous pouvons aller de l’avant et identifier le segment 𝐶𝐷 comme ici. À partir de là, il pourrait être utile d’écrire ce que nous savons en nous basant sur cette figure. Nous savons que le segment 𝐵𝐸 est égal au segment 𝐸𝐶. Nous savons également que le segment 𝐵𝐹 est égal au segment 𝐹𝐴. Nous savons que les segments 𝐵𝐷, 𝐴𝐸 et 𝐶𝐹 se coupent tous en un point. Et nous savons que la mesure du segment 𝐴𝐶 est de 13,8 centimètres.

Que pouvons-nous dire en fonction de ces informations ? Parce que le point 𝐸 divise la droite 𝐵𝐶 en deux, il s’agit d’un milieu et la distance d’un sommet à un milieu est une médiane. Cela signifie que nous pouvons dire que le segment 𝐴𝐸 est une médiane. Pour la même raison, le point 𝐹 est un milieu, et nous pouvons donc dire que le segment 𝐶𝐹 est une médiane parce que 𝐴𝐸 et 𝐶𝐹 sont des médianes et que le segment 𝐵𝐷 coupe au même point que les deux autres médianes. Ils ont un point de concours, ce qui fait du segment 𝐵𝐷 également une médiane et nous indique que le segment 𝐴𝐷 sera de longueur égale au segment 𝐷𝐶.

Ensuite, nous savons que pour trouver la valeur du segment 𝐶𝐷, elle sera égale à la moitié de 13,8. Et 13,8 fois un demi est égal à 6,9. Donc nous disons que le segment 𝐶𝐷 a une longueur de 6,9 centimètres.

Dans notre exemple suivant, on nous donne la longueur d’une médiane et nous devrons utiliser cette valeur pour déterminer la longueur de la distance entre un sommet et le centre de gravité.

Trouvez la longueur du segment 𝐴𝑀, étant donné que 𝐴𝐸 est égal à 54.

Voyons ce que nous pouvons dire à partir de la figure. Le point 𝐷 divise le segment 𝐴𝑀 en deux, et le point 𝐸 divise le segment 𝐵𝐸 en deux. Nous avons donc deux milieux. Et nous savons que 𝐴 et 𝐶 sont des sommets de ce triangle, ce qui signifie que le segment 𝐴𝐸 et le segment 𝐶𝐷 sont des médianes de ce triangle. L’endroit où les médianes se coupent à l’intérieur d’un triangle est appelé le point de concours ou le centre de gravité. Et nous savons, selon le théorème du centre de gravité, que la distance du sommet au centre de gravité est de deux tiers de la médiane, et que la distance du centre de gravité au milieu est d’un tiers de la médiane.

Cela signifie que le segment 𝐴𝑀 est égal à deux tiers de la médiane 𝐴𝐸. Et puisque nous savons que 𝐴𝐸, la médiane, est égal à 54, nous pouvons dire que la longueur du segment 𝐴𝑀 sera égale à deux tiers de 54. Si nous voulons simplifier cela, nous savons que 54 divisé par trois est égal à 18 et deux fois 18 est égal à 36. On peut donc dire que le segment 𝐴𝑀 mesure 36.

Dans notre exemple suivant, on nous donne la distance d’un sommet à un centre de gravité, et nous devons trouver la distance d’un centre de gravité à un milieu.

Dans le triangle 𝐽𝐾𝐿, 𝐽𝑃 est égal à six centimètres. Déterminez la longueur du segment 𝑃𝑆.

Nous devons connaître la longueur du segment 𝑃𝑆, et on nous a dit que 𝐽𝑃 est égal à six centimètres. Tout d’abord, nous devons noter que le point 𝑆 divise le segment 𝐾𝐿 en deux, ce qui fait de 𝑆 un milieu. Puisque 𝐽 est un sommet de ce triangle, nous savons que la distance entre un sommet et le milieu est appelée la médiane. Et nous pouvons donc dire que 𝐽𝑆 est une médiane. De la même manière, 𝑇 divise le segment 𝐽𝐿 et 𝑅 divise le segment 𝐽𝐾, ce qui signifie que 𝐾𝑇 est une médiane et 𝐿𝑅 est une médiane. Puisque 𝐽𝑆, 𝐾𝑇 et 𝐿𝑅 se rencontrent tous en un point 𝑃, 𝑃 est le point de concours ou le centre de gravité.

Ceci est important car nous savons quelque chose sur le centre de gravité. Pour une médiane, la distance entre le sommet et le centre de gravité vaut les deux tiers de la médiane. Et la distance entre le centre de gravité et le milieu est un tiers de la distance de cette médiane. Pour passer des deux tiers à un tiers, nous multiplions par un demi. Un tiers correspond à la moitié des deux tiers. On peut donc dire que le segment 𝑃𝑆 sera égal à la moitié du segment 𝐽𝑃. Puisque 𝐽𝑃 était égal à six centimètres, nous en prenons la moitié et nous disons que le segment 𝑃𝑆 est égal à trois centimètres.

Dans notre dernier exemple, on nous donnera à nouveau la distance d’un sommet à un centre de gravité. Et nous allons essayer de résoudre une variable manquante dans la distance entre le centre de gravité et le milieu.

Dans le triangle 𝐾𝑀𝐻, 𝐾𝑄 égale deux et 𝑄𝑃 égale cinq 𝑥 moins sept. Déterminez 𝑥.

Tout d’abord, nous voulons regarder notre figure et voir ce que nous savons. Nous voyons que les points 𝐽, 𝑃 et 𝐿 divisent chaque côté des triangles en deux. Et puis nous avons des droites de chacun des sommets à ces points. La distance d’un sommet à un milieu est la médiane. Et cela signifie que 𝐻𝐿, 𝑀𝐽 et 𝐾𝑃 sont toutes des médianes de ce triangle. Et nous savons que le point de concours pour trois médianes est le centre de gravité. Nous pouvons également écrire d’autres informations que nous connaissons, que 𝐾𝑄 est égal à deux et que 𝑄𝑃 est égal à cinq 𝑥 moins sept. Comme le point 𝑄 est le centre de gravité, 𝐾𝑄 est égal aux deux tiers de 𝐾𝑃. C’est-à-dire que la distance du sommet au centre de gravité vaut les deux tiers de la distance de la médiane. Puis 𝑄𝑃 est égal à un tiers de la distance de 𝐾𝑃.

Donc nous pouvons dire que 𝐾𝑄 est égal à deux fois 𝑄𝑃. Ou nous pouvons dire que 𝑄𝑃 est égal à la moitié de 𝐾𝑄 parce que deux tiers sont égaux à un tiers fois deux ou un tiers est égal à deux tiers fois un demi. En utilisant la formule 𝑄𝑃 est égale à un demi fois 𝐾𝑄, nous insérons les valeurs que nous connaissons pour 𝑄𝑃 et 𝐾𝑄. Et nous obtenons cinq 𝑥 moins sept égale un demi fois deux. Un demi fois deux est un, donc nous avons cinq 𝑥 moins sept égale un. Et nous ajoutons sept aux deux côtés. Cinq 𝑥 est égal à huit, et 𝑥 sera égal à huit divisé par cinq, soit 1,6.

À ce stade, il vaut probablement la peine de réinsérer 𝑥 dans notre cinq 𝑥 moins sept pour vous assurer que cette réponse semble raisonnable. Nous savons que 𝑄𝑃 sera égal à cinq fois 𝑥 moins sept. Cinq fois 1,6 est égal à huit ; huit moins sept est égal à 𝑄𝑃. Et cela signifie que 𝑄𝑃 est égal à un. Il est vrai qu’un est la moitié de deux et que deux est un fois deux. Cela confirme la proportionnalité de notre médiane et confirme que 𝑥 est égal à 1,6.

Avant de terminer, passons en revue nos points clés. Les médianes d’un triangle sont les trois segments allant de chaque sommet au milieu du côté opposé. Les trois médianes se coupent en un seul point. Ce point de concours est appelé le centre de gravité. Le théorème du centre de gravité indique que la distance entre chaque sommet et le centre de gravité est deux tiers de la longueur de la médiane de ce sommet. Cela signifie que le segment entre le sommet et le centre de gravité est le double du segment entre le centre de gravité et le milieu du côté opposé.

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