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Un solénoïde est formé d’un fil qui transporte un courant constant de 0,16 ampère. Le champ magnétique au centre du solénoïde est mesuré à 3,8 fois 10 puissance moins quatre tesla. Calculez le nombre de spires de fil par centimètre de la longueur du solénoïde, en arrondissant au nombre entier de spires près. Utilisez une valeur de quatre 𝜋 fois 10 puissance moins sept tesla par ampère pour 𝜇 zéro.
Cette question nous interroge sur un solénoïde, qui est un fil formé d’une série de boucles ou de spires à espacement égal, comme illustré ici. On nous dit que le fil qui forme ce solénoïde porte un courant constant de 0,16 ampère, que nous avons appelé 𝐼. En raison de ce courant, il y a un champ magnétique à l’intérieur du solénoïde. On nous dit que l’intensité du champ magnétique, que l’on a appelé 𝐵, mesurée au centre du solénoïde, est 3,8 fois 10 puissance moins quatre tesla. L’intensité du champ magnétique 𝐵 à l’intérieur d’un solénoïde dépend du courant 𝐼 dans le fil, mais dépend également de la longueur totale du solénoïde, L majuscule, et aussi de N majuscule, le nombre total de spires de fil formant le solénoïde.
Plus précisément, l’intensité du champ magnétique 𝐵 est égale à une constante 𝜇 zéro, la perméabilité de l’espace libre, multipliée par 𝑁 majuscule, le nombre total de spires de fil, multiplié par le courant 𝐼 divisé par la longueur du solénoïde, 𝐿 majuscule. Alors, dans cette équation, nous connaissons la valeur de l’intensité du champ magnétique 𝐵, et on nous donne également le courant 𝐼 dans le fil. 𝜇 zéro est une constante dont la valeur est donnée. Cela nous laisse avec le nombre de spires, 𝑁 majuscule, et la longueur du solénoïde, 𝐿 majuscule. On ne nous donne aucune valeur pour l’une ou l’autre de ces deux quantités, et aucune d’elles n’est la quantité que l’on nous demande de trouver dans la question.
On nous demande le nombre de spires de fil par centimètre de la longueur du solénoïde. Appelons 𝑛 minuscule le nombre de spires de fil par unité de longueur du solénoïde. Nous pouvons voir que le nombre de spires par unité de longueur doit être égal au nombre total de spires, 𝑁 majuscule, divisé par la longueur totale, L majuscule. On peut alors utiliser cette relation pour remplacer 𝑁 majuscule divisé par L majuscule dans cette équation par 𝑛 minuscule. En effectuant cela, nous avons 𝐵 égal à 𝜇 zéro multiplié par n minuscule multiplié par 𝐼. Ensuite, nous connaissons l’intensité du champ magnétique 𝐵 et le courant 𝐼, et nous avons une valeur pour la perméabilité de l’espace libre, 𝜇 zéro.
Dans cette équation, nous cherchons 𝑛 minuscule, le nombre de spires de fil par unité de longueur. Pour écrire l’équation en fonction de 𝑛 minuscule, nous divisons les deux côtés par 𝜇 zéro et 𝐼. Ensuite, sur le côté droit, les 𝜇 zéro et les 𝐼 annulent au numérateur et au dénominateur. En échangeant les côtés gauche et droit de l’équation, nous pouvons alors réécrire l’équation car 𝑛 minuscule est égal à 𝐵 divisé par 𝜇 zéro 𝐼. Nous pouvons maintenant prendre les valeurs qui nous sont données pour l’intensité du champ magnétique 𝐵 et le courant 𝐼 ainsi que la valeur qui nous est donnée pour 𝜇 zéro et les utiliser dans cette équation. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons ici cette expression pour 𝑛 minuscule, le nombre de spires par unité de longueur. Cela fait 3,8 fois 10 puissance moins quatre tesla divisé par quatre 𝜋 fois 10 puissance moins sept tesla par ampère et 0,16 ampère.
Si nous regardons maintenant les unités des quantités du côté droit, nous pouvons voir qu’au dénominateur de la fraction, les ampères et le par ampère s’annulent. Ensuite, les unités teslas numérateur s’annulent avec les unités teslas au dénominateur. Cela signifie que les seules unités restantes sont les unités des mètres au dénominateur de la fraction. Cela signifie qu’en utilisant ces valeurs, nous allons calculer une valeur pour 𝑛 minuscule avec des unités de mètres puissance moins un ou des unités de par mètre. C’est-à-dire que la valeur pour 𝑛 minuscule que nous trouverons sera le nombre de spires de fil par mètre de la longueur du solénoïde. L’évaluation de l’expression donne alors un résultat pour 𝑛 minuscule de 1,88996… fois 10 puissance trois par mètre.
Il faut cependant noter qu’on ne nous a pas demandé le nombre de spires de fil par mètre, mais plutôt le nombre de spires de fil par centimètre. Autrement dit, nous devons convertir cette valeur que nous avons trouvée pour 𝑛 minuscule en mètres puissance moins un en centimètres puissance moins un. Pour ce faire, nous pouvons commencer par rappeler qu’un mètre est égal à 100 centimètres. Si nous divisons les deux côtés de cette équation par un mètre et par 100 centimètres de sorte que les termes d’un mètre à gauche s’annulent et les termes de 100 centimètres à droite s’annulent, nous avons un sur 100 centimètres est égal à un sur un mètre.
Puisque le chiffre un sur des unités de centimètres représente des centimètres puissance moins un et un sur des unités de mètres représente des mètres puissance moins un, alors un sur 100 centimètres puissance moins un est égal à un mètre puissance moins un. Ce que cette équation signifie ici, c’est que pour convertir une quantité de mètres puissance moins un en centimètres puissance moins un, nous devons diviser par un facteur de 100.
Laissons-nous maintenant un peu plus d’espace afin de pouvoir utiliser cela pour calculer une valeur de 𝑛 minuscule en centimètres puissance moins un. Nous savons que 𝑛 minuscule est égal à 1,88996… fois 10 puissance trois mètres puissance moins un. Et nous savons également que pour convertir des mètres puissance moins un en centimètres puissance moins un, nous divisons par 100. En divisant par un facteur 100 et en calculant l’expression, on obtient que 𝑛 minuscule est égal à 18,8996… centimètres puissance moins un. Autrement dit, le nombre de spires de fil par centimètre de ce solénoïde est égal à 18,8996...
La dernière étape à faire est de remarquer qu’on nous demande notre réponse au nombre de spires le plus proche. L’arrondi au nombre entier près, nous obtenons qu’il y a 19 spires de fil par centimètre de la longueur du solénoïde.
