Vidéo : Circonférences des cercles

La définition de la circonférence d’un cercle. Trouver la circonférence d’un cercle en fonction de son rayon ou de son diamètre. Trouver le diamètre ou le rayon d’un cercle en fonction de sa circonférence. Donner un certain nombre de décimales ou donner des réponses en fonction de 𝜋.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment calculer la circonférence d’un cercle.

Faisons d’abord en sorte que nous sachions exactement ce que signifie cette circonférence de terme. Ainsi, la circonférence d’un cercle est la distance tout autour du bord du cercle. C’est donc cette distance que j’ai marquée en vert sur la figure ici. C’est ce que vous appelleriez une autre figure générale 2D comme périmètre. Mais dans le cas des cercles, nous avons un nom spécifique, la circonférence, que nous lui donnons.

Avant de regarder comment calculer la circonférence, il faut connaître quelques autres termes. Et le premier de ceux-ci est le nom donné à une ligne telle que celle que j’ai dessinée ici. Cette ligne passe donc d’un côté à l’autre de la circonférence et passe par le centre du cercle. Et toute ligne qui fait cela s’appelle le diamètre du cercle. Ceci est souvent représenté par la lettre 𝑑 quand nous faisons des calculs avec des cercles. C’est donc le premier mot que nous devons connaître.

Le second mot est utilisé pour décrire la ligne qui commence sur la circonférence du cercle et la relie au centre du cercle. Donc, une ligne comme celle que j’ai dessinée en orange ici. Et ce type de ligne s’appelle le rayon du cercle. Nous utilisons donc la lettre 𝑟 lorsque nous utilisons le rayon dans les calculs relatifs aux cercles.

Vous réalisez probablement qu’il existe une relation entre le diamètre et le rayon d’un cercle. Si le diamètre commence à la circonférence et va tout à fait du côté opposé alors que le rayon ne va qu’au centre, alors le diamètre est deux fois plus long que le rayon. Donc, nous avons cette relation que le diamètre est égal à deux fois le rayon, ou le rayon est égal au diamètre divisé par deux si vous préférez penser de cette façon.

Bon, maintenant, nous sommes prêts à regarder comment calculer la circonférence d’un cercle. Et il y a une formule que nous pouvons utiliser pour faire cela. Et c’est cette formule ici. 𝑐, ou circonférence, est égal à 𝜋 multiplié par 𝑑, où 𝑑, rappelez-vous, représente le diamètre du cercle. Maintenant, si vous ne l’avez pas rencontré ce symbole avant, il est la lettre grecque 𝜋, et il est utilisé pour représenter un nombre très spécial en mathématiques. C’est un nombre spécial à cause de cette relation qui existe entre la circonférence et le diamètre d’un cercle.

Si vous deviez dessiner un cercle, quelle que soit sa taille, et si vous deviez mesurer avec précision la circonférence, en utilisant peut-être un morceau de ficelle, et le diamètre du cercle, vous constateriez qu’ils sont toujours liés de la même manière. Donc, ce symbole 𝜋 représente un nombre. C’est un nombre très spécial. C’est ce que nous appelons un nombre irrationnel.

Ce qui signifie que si vous l’écriviez dans sa représentation décimale, il aurait une chaîne de chiffres infiniment longue après le point décimal. Et il n’y aurait jamais de motif qui se répète en eux. Ainsi, il continuerait sans cesse, sans motif répété dans ses chiffres. Maintenant, votre calculatrice a un bouton 𝜋 pour que vous puissiez l’utiliser dans les calculs. Mais parfois, il est suffisant de savoir que 𝜋 est approximativement égal à 3.14. Et vous pouvez simplement l’utiliser à ce niveau de précision dans les calculs.

Donc, voici notre formule. La circonférence d’un cercle est égale à 𝜋 multipliée par le diamètre. Vous pouvez également préférer avoir la formule en fonction du rayon. Donc, si vous vous rappelez que le diamètre est le double du rayon, nous pouvons remplacer 𝑑 dans cette formule par deux 𝑟. Et cela nous donnera une seconde formule pour la circonférence. Circonférence égal à deux multiplié par 𝜋 multiplié par 𝑟. Vous pouvez donc utiliser l’une ou l’autre de ces deux versions de la même formule. Alors, regardons quelques exemples.

Nous avons un cercle ici. Et on voudrait calculer la circonférence de ce cercle.

Ainsi, en regardant la figure, nous pouvons voir que le diamètre du cercle a été tracé et qu’il nous a été donné long de 10 centimètres. Nous devons donc rappeler notre formule pour la circonférence d’un cercle. Et je vais utiliser cette version, que la circonférence est égale à 𝜋 multipliée par le diamètre. Il suffit donc de substituer la valeur 10, qui est la longueur du diamètre, à cette formule. Donc, j’ai que la circonférence est égale à 𝜋 fois 10.

Maintenant, vous verrez souvent écrit plutôt que 𝜋 fois 10, vous verrez écrit 10𝜋. Et parfois, il vous sera demandé de laisser vos réponses dans cette forme-ci. Maintenant, c’est une valeur exacte pour laquelle vous n’avez pas à arrondir. Et cela signifie aussi que vous pouvez effectuer des calculs avec des cercles lorsque vous n’avez pas fait une calculatrice si vous laissez votre réponse en fonction de 𝜋 comme celui-ci ici. Mais pour cette question, nous irons plus loin. Nous allons en fait évaluer cela.

Donc, sur ma calculatrice, je vais taper 10 multiplié par 𝜋. Et cela me donnera cette réponse de 31.415926, et ainsi de suite. Donc, je l’arrondirai à une décimale. Et cela me donne une réponse de 31.4 centimètres, à une décimale près. Notez juste les unités que nous utilisons ici. La circonférence est juste une longueur, donc les unités, centimètres, sont les mêmes que celles que nous avions pour le diamètre. Ok, regardons un deuxième exemple.

Donc, nous aimerions calculer la circonférence de ce cercle ici.

Et en regardant attentivement la figure, nous pouvons voir que nous n’avons pas reçu le diamètre cette fois-ci. Nous avons reçu le rayon, car cette ligne n’atteint que le centre du cercle. Donc, je vais utiliser la version de la formule qui implique le rayon. Et la voici. La circonférence est égale à deux fois 𝜋 fois 𝑟. Donc, je dois juste substituer 7.2 comme rayon dans cette formule.

Nous avons donc la circonférence est égal à deux multiplié par 𝜋 multiplié par 7.2. Maintenant, je peux exprimer cela de différentes manières. Je pourrais exprimer comme 14.4𝜋. Ou je pourrais l’exprimer en utilisant une fraction de 72𝜋 sur cinq. L’un ou l’autre serait absolument parfait. Mais je vais continuer et l’évaluer comme un nombre décimal. Et donc, cela me donne une réponse de 45.2 millimètres, encore arrondie à une décimale. Les unités, rappelez-vous, parce que c’est une longueur, sont en millimètres, identiques aux unités que nous utilisions pour donner le rayon.

Ainsi, lorsque vous calculez la circonférence d’un cercle, vous devez tout d’abord être clair. Ai-je reçu le diamètre ? Ai-je reçu le rayon ? Et selon ce que vous avez, cela affectera alors la version de la formule que vous allez utiliser. Maintenant, examinons un type de question différent.

Ainsi, la question dit, la circonférence d’un cercle, avec une décimale près, est de 32.7 centimètres. Trouvez le rayon du cercle, corrigez-le également à une décimale.

Donc, ceci est un exemple du type de question pour laquelle nous travaillons en arrière après avoir déjà reçu la circonférence, en revenant à la mesure du rayon. Nous aurons donc besoin de la formule pour la circonférence d’un cercle. Et voyant que la question porte sur le rayon, je vais commencer par cette version, qui était que la circonférence était égal à deux 𝜋𝑟.

Maintenant, il me dit dans la question que la circonférence est également égale à 32.7, donc je peux écrire une relation entre ces deux choses. Donc, je sais que deux 𝜋𝑟 doivent être égaux à 32.7. Maintenant, il faut travailler à l’envers pour déterminer le rayon. Ainsi, 𝑟 est de ce côté de l’équation, mais il est actuellement multiplié par deux 𝜋. Si je veux juste un 𝑟, alors je dois diviser les deux côtés de cette équation par deux 𝜋. Donc, ça va me donner 𝑟 est égal à 32.7 sur deux 𝜋. Ensuite, je peux continuer et évaluer cela en utilisant ma calculatrice.

Et ça me donne 𝑟 est égal à 5.2043 et ainsi de suite. La question demandait cette valeur à une décimale, je dois donc l’arrondir à une décimale. Donc, j’ai 𝑟 est égal à 5.2 centimètres, à une décimale. Parce que 𝑟 représente le rayon, il représente la longueur, j’ai des unités de centimètres, qui sont les mêmes que les unités de la circonférence du cercle. Il s’agit donc d’un type de question assez courant dans lequel on pourrait vous donner la circonférence et vous demander de travailler en arrière, soit pour calculer le rayon, soit pour calculer le diamètre du cercle. Ok, regardons une autre question.

Cette question dit qu’en utilisant 3.14 comme approximation de 𝜋, calculez le périmètre total de la figure donnée.

Donc, la première chose à noter est que nous n’utilisons pas la valeur décimale complète de 𝜋, nous utilisons simplement 3.14 comme approximation. Ainsi, dans nos calculs, chaque fois que nous avions utilisé 𝜋 avant, nous allons utiliser cette valeur 3.14 à sa place. Maintenant, la figure que nous examinons n’est pas un cercle. Il est composé de demi-cercles. Donc, on ne nous demande pas la circonférence, on nous demande le périmètre. Nous devons donc nous assurer que nous examinons attentivement la composition du périmètre.

Donc, si nous commençons en un point et traçons autour de la figure, nous avons d’abord un demi-cercle, puis un deuxième demi-cercle. Nous avons ensuite une partie droite ici, un troisième demi-cercle et ensuite une autre partie droite ici. Nous devons donc nous assurer d’inclure toutes ces parties dans notre calcul du périmètre.

Alors, pensons d’abord aux demi-cercles. On nous donne cette mesure de 18 centimètres, qui est la distance totale à travers cette forme. Donc, cette distance, si nous regardons cette partie ici, cette distance est le double du diamètre de chacun des demi-cercles, ce qui signifie que le diamètre des demi-cercles doit être de neuf centimètres. Regardons d’abord le calcul de la longueur des parties incurvées. Maintenant, ces parties courbes ne représentent pas la totalité de la circonférence du cercle. Elles ne sont pas appelés une circonférence. Elles sont désignées à la place par un arc, nous allons donc utiliser le terme longueur d’arc pour faire référence à celles-ci.

Ainsi, la circonférence d’un cercle serait 𝜋 multiplié par le diamètre, mais chacun d’entre eux ne sont que la moitié d’un cercle. Donc, nous allons faire 𝜋 multiplié par neuf, mais nous allons réduire de moitié, comme nous avons seulement la moitié de cette circonférence. Donc, nous avons 𝜋 fois neuf sur deux, ce qui signifie que chacun de ces arcs est égale à 4.5𝜋. Ainsi, chacune de ces longueurs est égale à 4.5𝜋. Cependant, rappelez-vous la question a dit que nous devrions utiliser 3.14 comme une approximation de 𝜋. Donc, en fait, au lieu de 𝜋, je devrais faire en utilisant cela.

Donc, j’ai 4.5 multiplié par 3.14, ce qui donne une valeur de 14.13 centimètres pour chacune de ces longueurs d’arc. Maintenant, rappelez-vous, il y en a trois, donc dans mon calcul final, je devrai utiliser cette valeur trois fois. Maintenant, je ne dois pas oublier ces deux parties droites ici. Chacun de ceux-ci ont la moitié du diamètre du cercle, ils mesurent donc quatre centimètres et demi. Mais comme il y en a deux, la contribution totale de cette partie est de neuf centimètres.

Donc, maintenant, je dois mettre tout cela ensemble pour pouvoir calculer le périmètre. Le périmètre total est donc de trois fois 14.13, pour ces trois arcs distincts semi-circulaires, puis de quatre et demi et quatre et demi pour chacune des deux parties droites. Cela me donne donc un périmètre total de 51.39 centimètres pour l’ensemble de la figure. Donc, deux choses dans cette question. Si vous êtes confronté à une figure plus complexe qu’un cercle, assurez-vous de bien tracer le pourtour afin de connaître toutes les différentes parties du périmètre. Et d’autre part, si vous êtes invité à utiliser 3.14 comme une approximation de 𝜋, alors chaque fois que vous avez 𝜋 dans votre calcul, vous pouvez simplement le remplacer par 3.14 au lieu.

D’accord, la dernière question alors dans cette vidéo. Une roue de bicyclette a un rayon de 35 centimètres. À quelle distance Alice fait-elle du vélo si la roue tourne 250 fois ?

Donc, je pense toujours qu’il est utile de dessiner une figure très rapide pour comprendre la situation en premier. Ainsi, le vélo d’Alice est représenté par un cercle. Et on m’a dit a un rayon de 35 centimètres. Donc, pour répondre à cette question, nous devons d’abord déterminer la circonférence de la roue de vélo et ensuite, nous devons la multiplier par 250, car sur ce trajet, elle tourne 250 fois.

Ainsi, la circonférence, rappelez-vous, est égal à deux 𝜋𝑟. Nous allons donc substituer la valeur de 35 po au rayon ici. Ainsi, nous avons la circonférence est égal à deux multiplié par 𝜋 multiplié par 35, ce qui nous donne une valeur de 70𝜋 pour la circonférence de la roue de bicyclette. Maintenant, je vais le laisser comme ça pour le moment car c’est une valeur exacte.

Maintenant, nous devons calculer la distance totale parcourue. Donc, si les roues tourne 250 fois, alors nous devons multiplier cette valeur par 250. Ainsi, 250 fois 70𝜋, ce qui nous donne 17500𝜋. Maintenant, je vais travailler sur ce que c’est comme une valeur décimale. 54977.8 centimètres. Maintenant, étant donné qu’il s’agit d’une distance et que nous parlons d’une personne voyageant à bicyclette, il est peut-être logique de convertir cette valeur en unités plus raisonnables que des centimètres. Donc, je vais le convertir en mètres en divisant par 100. Nous avons donc une réponse de 549.7787 mètres. Et si j’arrondis cela, peut-être au mètre près, alors j’ai une réponse de 550 mètres, au mètre près.

Donc là vous l’avez. Nous avons vu comment calculer la circonférence d’un cercle à partir du rayon ou du diamètre. Nous avons vu comment travailler à l’envers après avoir reçu la circonférence pour calculer le rayon ou le diamètre. Nous avons vu comment utiliser 3.14 comme approximation pour 𝜋. Et nous avons vu comment donner des réponses en multiples de 𝜋, ou comme valeurs décimales.

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