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Vidéo de question : Déterminer l’aire d’un parallélogramme à partir de deux vecteurs qui représentent deux côtés consécutifs Mathématiques

On considère les vecteurs 𝐀 =(−2;7) et 𝐁 =(3;−8). Déterminez l’aire du parallélogramme dont deux de ses côtés consécutifs sont représentés par 𝐀 et 𝐁.

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Transcription de vidéo

Sachant que le vecteur 𝐀 est égal à moins deux, sept et 𝐁 est égal à trois, moins huit, déterminez l’aire du parallélogramme dont deux de ses côtés consécutifs sont représentés par 𝐀 et 𝐁.

Nous commençons par rappeler que nous pouvons utiliser le produit vectoriel pour trouver l’aire d’un parallélogramme. Elle est égale à la norme du produit vectoriel. Mais qu’entendons-nous par le produit vectoriel de deux vecteurs ? Eh bien, le produit vectoriel n’est qu’un moyen de multiplier deux vecteurs. Il est tout à fait différent du produit scalaire dans le sens où le produit scalaire donne un scalaire alors qu’un produit vectoriel donne un autre vecteur.

Ainsi, étant donné deux vecteurs 𝑎 égal à 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois et 𝑏 égal à 𝑏 un, 𝑏 deux, 𝑏 trois, le produit vectoriel de ces deux vecteurs est 𝑎 deux 𝑏 trois moins 𝑎 trois 𝑏 deux, 𝑎 trois 𝑏 un moins 𝑎 un 𝑏 trois, et 𝑎 un 𝑏 deux moins 𝑎 deux 𝑏 un. Commençons donc par déterminer le produit vectoriel de nos vecteurs 𝐀 et 𝐁. Nous posons 𝑎 un égal à moins deux. C’est le premier élément de ce vecteur. L’élément 𝑎 deux est égal à sept. C’est le deuxième élément. Puis le troisième élément est en fait zéro. L’élément 𝑏 un est le premier élément du vecteur 𝐁. Il est égal à trois. L’élément 𝑏 deux est moins huit. Et 𝑏 trois est également nul.

Alors, 𝑎 deux 𝑏 trois moins 𝑎 trois 𝑏 deux est égal à sept fois zéro moins zéro fois moins huit. Ensuite, 𝑎 trois 𝑏 un moins 𝑎 un 𝑏 trois est égal à zéro multiplié par trois moins moins deux multiplié par zéro. Enfin, nous avons 𝑎 un 𝑏 deux moins 𝑎 deux 𝑏 un. Cela est égal à moins deux multiplié par moins huit moins sept multiplié par trois. Les deux premiers éléments de notre produit vectoriel sont nuls. Ensuite, le troisième élément est égal à 16 moins 21, soit moins cinq.

Maintenant, bien sûr, nous recherchons la norme du produit vectoriel. Nous avons donc besoin de ces barres verticales. Et nous pourrions être en mesure de trouver la norme du produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁. Mais si ce n’est pas le cas, utilisons la formule. C’est la racine carrée de la somme des carrés de chacune des composantes individuelles. C’est-à-dire ici la racine carrée de zéro au carré plus zéro au carré plus moins cinq au carré. Zéro carré plus zéro carré plus moins cinq au carré égale 25. Et donc la norme du produit vectoriel est la racine carrée de 25, soit cinq.

Puisque l’aire du parallélogramme est égale à la norme du produit vectoriel, nous pouvons dire que l’aire du parallélogramme que nous avons est de cinq unités carrées.

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