Vidéo de la leçon: Équation d’une droite : forme générale

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Dans cette vidéo, nous allons examiner la simplification des expressions, en particulier les expressions contenant des exposants négatifs et fractionnaires.

Tout d’abord, nous pouvons aborder ce qu’est la simplification d’une expression. En simplifiant, nous entendons écrire une expression de la manière la plus compacte ou la plus efficace sans changer la valeur de cette expression. Le processus de simplification consiste à supprimer les parenthèses en multipliant les facteurs, en combinant des termes semblables ou, comme nous le considérerons aujourd’hui, en simplifiant les exposants. Nous pourrions aussi nous demander pourquoi nous ferions ce processus de simplification.

La simplification facilite la lecture et la compréhension des expressions. De plus, cela réduit les erreurs de calcul possibles. Cela est vrai car après avoir simplifié une expression, il devrait y avoir moins de calculs à faire que sous une forme non simplifiée. Pour faire cela en simplifiant lorsque notre expression a des exposants, nous devons nous souvenir de certaines règles d’exposant.

Nous avons la règle pour multiplier les exposants ensemble. 𝑥 puissance 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. Si nous avons 𝑥 au carré fois 𝑥 au cube, ce sera 𝑥 à la puissance deux plus trois, qui est 𝑥 puissance cinq. Ensuite, nous avons notre règle du quotient. 𝑥 à la puissance 𝑎 divisée par 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 moins 𝑏. Ici, nous avons 𝑥 à la puissance cinq divisée par 𝑥 au carré, qui sera égale à 𝑥 à la puissance cinq moins deux, 𝑥 au cube.

La règle suivante est appelée puissance d’une puissance. 𝑥 à la puissance 𝑎 à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 fois 𝑏. Si nous avons 𝑥 cube et que nous portons cela à la puissance quatre, ce sera 𝑥 à la puissance trois fois quatre, 𝑥 à la puissance 12. Une autre règle, 𝑥 divisée par 𝑦 à la puissance 𝑎 est égale à 𝑥 à la puissance 𝑎 sur 𝑦 à la puissance 𝑎, qui est une règle très semblable à 𝑥 fois 𝑦 à la puissance 𝑎 est égale à 𝑥 puissance 𝑎 fois 𝑦 puissance 𝑎.

Et puis, nous avons notre règle d’exposant négatif. 𝑥 à la puissance moins 𝑎 est égale à un sur 𝑥 à la puissance plus 𝑎. 𝑥 à la puissance moins cinq est égal à un sur 𝑥 à la puissance cinq. Par la même règle, on peut dire qu’un sur 𝑥 puissance moins trois est égal à 𝑥 puissance plus trois. Et cela signifie que nous avons un exposant avec moins un au numérateur et un exposant avec moins un au dénominateur. Le 𝑥 puissance moins quatre se déplace dans le dénominateur et devient 𝑥 puissance plus quatre. Le 𝑦 puissance moins trois du dénominateur se déplace vers le numérateur et devient positif.

Et avant de continuer, nous devons noter que les cinq règles ci-dessus sont également vraies lorsque la valeur de l’exposant est négative. Par exemple, si nous avons 𝑥 puissance moins trois multiplié par 𝑥 puissance moins cinq, elles seront égales à 𝑥 puissance moins trois plus moins cinq, 𝑥 puissance moins huit.

Nous sommes presque prêts à examiner quelques exemples, mais nous devons d’abord considérer les exposants fractionnaires. Les exposants fractionnaires, parfois appelés exposants rationnels, représentent certaines racines. Ce que nous disons ici, c’est que la racine 𝑛 ième de 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance un sur 𝑛. Selon cette règle, la racine carrée de 𝑥 est égale à 𝑥 puissance un demi. Nous savons que c’est le carré car lorsque ce symbole radical n’a pas de valeur devant lui, c’est la racine carrée.

En revanche, la racine cubique de 𝑥 serait égale à 𝑥 puissance un tiers. Cet exposant fractionnaire se présente sous une autre forme. Et c’est là que nous avons 𝑥 à la puissance 𝑚 et nous prenons la 𝑛 ième racine de cela. Ce sera égal à 𝑥 à la puissance 𝑚 sur 𝑛. Si nous avons la racine cubique de 𝑥 au carré, c’est 𝑥 à la puissance deux tiers. Le dénominateur de l’exposant vient de la racine, et le numérateur vient de la puissance.

Une autre chose que nous devons dire à propos de ces types d’exposants fractionnaires est que c’est également vrai si vous prenez d’abord la racine cubique de 𝑥 puis que vous mettez cette valeur au carré. La façon dont il est écrit ici, vous prendriez d’abord 𝑥 au carré, puis vous feriez la racine cubique. Dans ce format, vous prendriez la racine du cube, puis vous mettriez cette valeur au carré. Ces deux résultats vous donneraient le même résultat numérique. Et ils sont tous deux égaux à 𝑥 puissance deux tiers. Maintenant, nous sommes prêts à considérer quelques exemples.

Lequel des éléments suivants est égal à trois cinquièmes puissance moins six fois trois cinquièmes puissance moins trois sur trois cinquièmes puissance huit ? (A) trois cinquièmes puissance 11, (B) trois cinquièmes puissance moins un, (C) trois cinquièmes puissance moins 11, (D) trois cinquièmes puissance moins 17, ou (E) trois cinquièmes puissance moins 25.

Voici notre expression. Dans notre numérateur, nous avons deux exposants avec la même base multipliés ensemble. Et nous savons que lorsque cela se produit, nous pouvons simplifier en ajoutant les deux puissances ensemble. Cela est vrai même si ces deux valeurs sont négatives. Pour simplifier alors, nous aurons trois cinquièmes puissance moins six plus la puissance moins trois, ce qui correspond à trois cinquièmes puissance moins un neuvième. Nous traversons le dénominateur. Et puis nous voyons que nous divisons un exposant par un autre exposant avec la même base.

Et pour ce faire, nous savons que nous pouvons soustraire les valeurs de puissance. Cela est vrai même si l’une des puissances est négative. Ce serait trois cinquièmes de la puissance moins neuf moins huit, trois cinquièmes puissance moins 17. Maintenant, il est possible de distribuer ce moins 17 pour simplifier encore plus. Cependant, notre question demande simplement de trouver une expression équivalente, que nous avons, les trois cinquièmes puissance moins 17, qui est la réponse finale.

Dans notre prochain exemple, nous devrons simplifier avec ces puissances fractionnaires.

Simplifiez 16 à la puissance cinq quatrièmes sur 16 à la puissance un demi.

Nous avons quelques choix quant à l’ordre dans lequel nous choisissons de résoudre ce problème. Parce que ces deux valeurs ont la même base, nous pourrions soustraire leurs puissances, ce qui ferait 16 à cinq quarts puissance moins un demi. Maintenant, un demi est deux quarts, ce qui signifie que nous aurions cinq quarts moins les deux quarts, ce qui correspond à 16 pour les trois quarts. Cette puissance fractionnaire nous dit que nous prenons la racine quatrième de 16 cube.

En raison de notre règle de puissance de puissance, nous pouvons dire 16 puissance un quart à la puissance trois ou nous pourrions dire 16 cube puissance un quart. 16 puissance un quart serait mon option préférée car 16 puissance un quart est deux, tandis que 16 au cube est 4096. De là, deux au cube équivalent à huit. Et pour prendre la racine quatrième de 4096, vous auriez besoin d’une calculatrice. Mais une fois que vous l’avez mis dans la calculatrice, il vous dirait que la racine quatrième de 4096 est huit.

En prenant d’abord la racine quatrième, puis en élevant la réponse au cube, nous avons pu garder les valeurs un peu plus petites que si vous le faisiez dans l’autre sens. Mais les deux façons nous montrent que cette expression est égale à huit.

Voici notre prochain exemple.

Calculez la racine carrée d’un quart à la puissance cinq multipliée par un quart au carré.

En regardant cette expression, nous remarquons qu’à l’intérieur du radical, nous avons affaire à des exposants qui ont la même base. Nous pouvons combiner ces valeurs en disant un quart à la puissance cinq plus deux, un quart à la puissance sept. Et puis, nous pouvons prendre ce radical, et nous pouvons le réécrire comme un exposant fractionnaire de sorte que nous ayons un quart à la puissance sept demis. Et puis, nous avons le choix. Nous pouvons soit prendre un quart puissance un demi, puis porter cette valeur à la puissance sept. Ou nous pouvons dire un quart à la puissance sept, découvrir ce que c’est, puis prendre la racine carrée de cette valeur.

Prendre la racine carrée en premier signifie généralement que les nombres avec lesquels vous travaillez sont un peu plus simples. Nous pouvons répartir cette puissance un demi sur un et quatre. La racine carrée de un est un et la racine carrée de quatre est deux. Donc, nous avons maintenant la moitié de la puissance sept. Lorsque nous répartissons cette puissance sept entre un et deux, un puissance sept est un et deux puissance sept est 128. La valeur de cette expression est alors un sur 128.

Voici un autre exemple.

Laquelle des expressions suivantes a la même valeur que moins deux à la puissance cinq à la puissance moins trois ? (A) Moins deux au carré, (B) moins deux à la puissance huit, (C) moins deux à la puissance 15, (D) moins un sur deux à la puissance huit, ou (E) moins un sur deux à la puissance 15.

Nous avons l’expression moins deux à la puissance cinq à la puissance moins trois. Puisque nous prenons la puissance d’une puissance, nous pouvons aller de l’avant et multiplier ces deux exposants ensemble. Ce serait cinq fois moins trois, ce qui est moins 15. Faites attention ici ; l’un des choix de réponse est moins deux à la puissance plus 15. Et ce n’est pas ce que nous voyons ici. Donc, nous pourrions penser que 𝑥 à la puissance moins 𝑎 est égal à un sur 𝑥 à la puissance 𝑎, ce qui nous donne un sur deux à la puissance 15, mais toujours pas exactement ce que nous recherchons.

Une chose que nous pouvons dire au sujet de moins deux, c’est qu’il a des facteurs moins un et deux. Et cela signifie que si nous séparons ces facteurs, nous sommes en mesure de distribuer cette puissance 15. Cela nous donne un sur moins un à la puissance 15 fois deux à la puissance 15. Parce que 15 est un nombre impair, une puissance négative à la puissance 15 est négative. Nous le savons parce que moins un fois moins un est plus un, mais moins un fois moins un fois moins un est moins un.

Nous prenons cela multiplié par moins un et rendons cette fraction négative de sorte que la forme simplifiée soit moins un sur deux à la puissance 15, qui est l’option (E).

Dans cet exemple, nous avons deux variables différentes et des exposants négatifs.

Simplifier 𝑚 sur 𝑛 à la puissance moins un le tout mis à la puissance moins trois fois deux fois 𝑚 à la puissance moins deux sur 𝑛 à la puissance moins deux le tout mis à la puissance moins trois.

C’est un paquet. Allons de l’avant et copions cette expression. La première chose que nous voyons, c’est que nous avons une puissance d’une puissance. Ces deux fractions sont portées à la puissance moins trois. En plus de cela, nous savons que lorsque nous divisons des valeurs et qu’elles sont prises à la même puissance, nous pouvons distribuer cette puissance. Ce qui signifie que pour cette première fraction, je peux écrire 𝑚 à la puissance moins trois sur 𝑛 à la puissance plus trois.

Ceci est plus trois car moins un fois moins trois est plus trois. Pour la deuxième fraction, nous avons deux à la puissance moins trois, puis 𝑚 à la puissance moins deux fois moins trois, qui sera 𝑚 à la puissance plus six. Et puis, au dénominateur, 𝑛 puissance moins deux fois moins trois, 𝑛 puissance six.

Nous savons que lorsque nous multiplions des fractions, nous pouvons multiplier les numérateurs et multiplier les dénominateurs. On peut multiplier 𝑚 puissance moins trois fois 𝑚 puissance plus six, qui seront 𝑚 puissance moins trois plus six, 𝑚 au cube. Et nous avons encore que deux à la puissance moins trois dans le numérateur. Au dénominateur, nous avons 𝑛 au cube fois 𝑛 puissance six, qui sera 𝑛 à la puissance trois plus six, 𝑛 à la puissance neuf.

Nous avons presque une forme simplifiée. Nous ne pouvons pas simplifier davantage le 𝑚 au cube ou le 𝑛 puissance neuf. Cependant, nous avons toujours ces deux à la puissance moins trois. Et cela signifie que nous devons introduire cette valeur dans le dénominateur, ce qui nous donne 𝑚 cube sur deux au cube fois 𝑛 puissance neuf. Et nous savons que deux au cube font huit, ce qui rend la forme simplifiée de cette expression 𝑚 au cube sur huit fois 𝑛 à la puissance neuf.

Dans notre dernier exemple, nous allons considérer quelque chose que nous n’avons jamais vu auparavant, un nombre fractionnaire comme base pour un exposant.

Lequel des énoncés suivants est égal à moins un plus trois cinquièmes au carré multiplié par un plus trois cinquièmes puissance moins trois ? (A) Cinq huitièmes, (B) 25 sur 64, (C) huit tiers, (D) moins cinq huitièmes, ou (E) moins huit cinquièmes.

Nous copions notre expression. Avant de commencer, nous devons apporter une précision très importante. Nous avons la règle que 𝑥 fois 𝑦 au carré est égal à 𝑥 au carré 𝑦 au carré. Vous pourriez être tenté d’écrire un carré fois les trois cinquièmes au carré. Ce n’est pas vrai. Et c’est parce que le nombre fractionnaire un et trois cinquièmes représente un plus trois cinquièmes. Et cela ne représente pas une fois les trois cinquièmes. Et comme nous ne pouvons pas faire ce genre de distribution, nous avons besoin d’une nouvelle stratégie pour simplifier.

Nous devrons convertir ces nombres fractionnaires en fractions impropres. La fraction impropre sera une fois cinq plus trois, soit huit, sur le dénominateur d’origine de cinq. Ces deux valeurs sont le même nombre fractionnaire, donc ce sont les huit cinquièmes comme une fraction impropre. Une fois que nous sommes arrivés à ce point, puisque ces exposants ont la même base, nous pouvons ajouter leurs puissances. Deux plus moins trois est moins un. Et à partir de là, nous sommes en mesure de distribuer cette puissance de sorte que nous ayons huit à la puissance moins un sur cinq puissance moins un.

Puisque nous avons une puissance négative au numérateur et une puissance négative au dénominateur, nous pouvons les inverser. Cinq à la puissance un est cinq. Huit à la puissance un est huit. L’expression équivalente est de cinq huitièmes, ce qui est l’option (A). La clé pour résoudre celui-ci était de reconnaître que vous deviez changer le format de ces nombres fractionnaires avant de vous résoudre.

À partir de là, nous sommes prêts à résumer les points clés. La simplification des expressions permet d’écrire des expressions de la manière la plus compacte et la plus efficace sans changer la valeur de l’expression. Et lorsque ces expressions ont des exposants négatifs et fractionnaires, nous utilisons ces règles pour simplifier les termes.