Vidéo question :: Déterminer la distance perpendiculaire issue d'un point à une droite passant par deux points donnés Mathématiques

Transcription de la vidéo

Déterminez, au dixième près, la distance du point moins trois, moins quatre, zéro à la droite passant par les points un, trois, un et quatre, trois, deux.

Rappelons que nous pouvons trouver la distance perpendiculaire entre un point 𝑃 et une droite de vecteur directeur 𝑑 étant donné un point 𝐴 sur la droite en utilisant le produit vectoriel. Entre les points 𝐴, 𝑃 et le point d’intersection entre la droite et sa perpendiculaire à 𝑃, nous avons un triangle rectangle, avec une hypoténuse de longueur égale à la norme du vecteur 𝐴 à 𝑃.

La longueur du côté opposé de ce triangle rectangle à l’angle compris entre 𝐴 à 𝑃 et 𝐝 est donnée par la norme de l’hypoténuse, 𝐴 à 𝑃, multipliée par le sinus de l’angle 𝜃 compris entre 𝐴 à 𝑃 et 𝐝. Rappelons que la norme du produit vectoriel 𝐴 à 𝑃 par 𝐝 est égale à la norme de 𝐴 à 𝑃 multipliée par la norme de 𝐝 multipliée par le sinus de l’angle entre les vecteurs, 𝜃.

Réarranger en divisant par la norme de 𝐝 nous donne la même expression pour la distance perpendiculaire à droite : la norme de 𝐴 à 𝑃 multipliée par sinus 𝜃. On peut donc utiliser cette expression à gauche pour calculer la distance perpendiculaire entre le point et la droite.

Nous devons maintenant trouver les deux vecteurs dans cette expression : 𝐴 à 𝑃 et 𝐝. Le point 𝑃 est moins trois, moins quatre, zéro. Nous pouvons poser le point 𝐴 comme étant un point sur la droite. Alors, choisissons le premier, un, trois, un. Et désignons l’autre point par 𝐵. Nous pouvons trouver le vecteur directeur de la droite 𝐝 en prenant la différence des vecteurs position des points 𝐵 et 𝐴, 𝑂 à 𝐵 et 𝑂 à 𝐴, respectivement. Ceux-ci sont donnés dans la question par quatre, trois, deux et un, trois, un, respectivement. Prendre cette différence nous donne 𝐝 est égal à trois, zéro, un.

Notez que ce vecteur directeur n’est pas unique. Et tout multiple de 𝐝 serait également approprié, puisque nous divisons par la norme de 𝐝 dans l’expression. Donc, c’est seulement sa direction qui compte. Le vecteur 𝐴 à 𝑃 est également donné par le vecteur position de 𝐏, 𝑂 à 𝑃, moins le vecteur position de 𝐀, 𝑂 à 𝐴. Ceux-ci sont donnés dans la question par moins trois, moins quatre, zéro et un, trois, un, respectivement. Prendre cette différence nous donne 𝐴 à 𝑃 égal à moins quatre, moins sept, moins un.

Nous avons maintenant tout ce dont nous avons besoin pour évaluer la distance perpendiculaire. Libérons de l’espace avant de continuer. Nous avons 𝐝 est égal à trois zéro un et 𝐴 à 𝑃 est égal à moins quatre, moins sept, moins un. Nous calculons le produit vectoriel, 𝐴 à 𝑃 par 𝐝, en prenant le déterminant de la matrice trois par trois 𝐢, 𝐣, 𝐤, moins quatre, moins sept, moins un, trois, zéro, un. Prendre ce déterminant en développant le long de la première ligne donne 𝐢 fois moins sept moins zéro moins 𝐣 fois moins quatre moins moins trois plus 𝐤 fois zéro moins moins 21. Le développement des parenthèses et la simplification nous donnent le produit vectoriel du vecteur 𝐴 à 𝑃 par 𝐝 égal à moins sept, un, 21.

La norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de la somme de ses composantes au carré. Ainsi, en prenant la norme du produit vectoriel de 𝐴 à 𝑃 par 𝐝 sur la norme de 𝐝, nous obtenons la racine carrée de moins sept au carré plus un carré plus 21 au carré le tout sur la racine carrée de trois au carré plus zéro au carré plus un au carré. Cela se réduit à la racine carrée de 491 sur la racine carrée de 10. Ce calcul nous donne la distance entre le point moins trois, moins quatre, zéro et la droite passant par les points un, trois, un et quatre, trois, deux : 7,0 unités de longueur au dixième près.