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Vidéo de question : Simplifier les expressions trigonométriques à l’aide d’identités trigonométriques Mathématiques

Simplifiez (tan 𝜃 sin 𝜃) / sec 𝜃.

02:44

Transcription de vidéo

Simplifiez tangente 𝜃 sinus 𝜃 sur sécante 𝜃.

Pour résoudre ce problème, nous allons devoir utiliser quelques identités trigonométriques. La première est que sécante 𝜃, est en fait la fonction inverse de cosinus 𝜃. Ainsi, nous pouvons dire que sécante 𝜃 est égal à un sur cosinus 𝜃. La deuxième identité que nous allons utiliser est celle qui dit que tangente 𝜃 est égal à sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃. Vous l’utiliserez dans de nombreux problèmes.

La première chose que nous allons faire pour simplifier notre expression, est de substituer les valeurs des identités trigonométriques dans notre expression. Premièrement, nous pouvons voir que nous avons substitué tangente 𝜃 par sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃. De plus, nous avons substitué un sur cosinus 𝜃 pour sécante 𝜃. Nous avons donc maintenant cette expression qui dit que sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃 multiplié par sinus 𝜃 le tout sur un sur cosinus 𝜃 est égal à notre expression initiale de tangente 𝜃 sinus 𝜃 sur sécante 𝜃.

Tout ceci est un peu confus. Voyons donc si je peux simplifier un peu. Cette écriture peut donc nous aider à simplifier l’expression. Ainsi, je l’ai rendu plus facile à comprendre. Nous avons sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃, puis multiplié par sinus 𝜃. Puis, puisque nous divisons par un sur cosinus 𝜃, nous devons utiliser l’inverse. En fait, cela donne cosinus 𝜃 sur un. De plus, au lieu de diviser, nous multiplions. Maintenant, cette expression est beaucoup plus facile à gérer. Nous pourrions maintenant simplifier complètement. Bien, comme nous pouvons le voir ici, j’ai rendu l’expression un peu plus lisible. Cela n’est pas entièrement simplifié, mais nous obtenons sinus carré 𝜃 cosinus 𝜃 le tout sur cosinus 𝜃.

Il nous reste une dernière étape. Si nous divisons notre sinus carré 𝜃 cosinus 𝜃 par cosinus 𝜃, nous nous retrouvons avec sinus carré 𝜃. Nous pourrions donc dire que si nous simplifions tangente 𝜃 sinus 𝜃 complètement sur sécante 𝜃, alors nous nous retrouvons avec sinus carré 𝜃.

Je veux juste récapituler rapidement ce que nous avons fait. Ceci pour vous rappeler la démarche à suivre dans ce genre de problème. Tout d’abord, nous avons examiné certaines de nos identités trigonométriques. Nous avons choisi ces deux-là pour nous aider avec ce problème. Ensuite, nous les avons utilisées pour remplacer dans notre expression, pour éliminer certains des rapports de trigonométrie que nous avions. Ainsi, cela nous a donné cette expression ici. Nous avons ensuite simplifié l’expression que nous avions. Cela nous a donné notre réponse finale de sinus carré 𝜃.

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