Vidéo question :: Déterminer l’équation vectorielle d’une droite Mathématiques

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Déterminez l’équation vectorielle de la droite passant par le point d’intersection des deux droites moins huit 𝑥 moins 𝑦 est égal à sept et moins cinq 𝑥 moins trois 𝑦 est égal à deux et le point de coordonnées 12, huit.

Dans cette question, on nous demande de trouver l’équation vectorielle d’une droite. On nous dit que cette droite passe par deux points différents. Premièrement, elle passe par le point d’intersection entre les deux droites moins huit 𝑥 moins 𝑦 est égal à sept et moins cinq 𝑥 moins trois 𝑦 est égal à deux. On nous dit également que cette droite passe par le point avec les coordonnées 12, huit.

Pour répondre à cette question, commençons par rappeler ce que nous entendons par l’équation vectorielle d’une droite. L’équation vectorielle d’une droite est une droite sous la forme 𝐫 est égal à 𝐫 indice zéro plus 𝑘 fois 𝐝, où le vecteur 𝐫 indice zéro est le vecteur position d’un point sur la droite et le vecteur 𝐝 est un vecteur directeur de la droite. Il s’agit de tout vecteur non nul qui est parallèle à la droite et 𝑘 représente simplement une valeur scalaire. Nous devons donc déterminer le vecteur position d’un point situé sur la droite et le vecteur directeur de cette droite. On nous dit déjà que la droite passe par le point avec les coordonnées 12, huit. Le vecteur position de ce point est le vecteur 12, huit. Nous pouvons le définir égal à notre vecteur 𝐫 indice zéro dans l’équation vectorielle de cette droite.

Cela signifie que tout ce que nous devons déterminer est le vecteur directeur de la droite. Nous pouvons trouver le vecteur directeur d’une droite en utilisant les coordonnées de deux points sur la droite. Cela signifie que nous allons devoir trouver les coordonnées d’un autre point sur la droite. Nous allons devoir le faire en trouvant le point d’intersection entre les deux droites données. Nous pouvons le faire en rappelant que pour trouver le point d’intersection de deux droites données, il suffit de résoudre les équations sous forme d’un système. En d’autres termes, les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point d’intersection entre les deux droites doivent satisfaire l’équation des deux droites.

Il existe de nombreuses façons différentes de résoudre ce système. Nous n’en examinerons qu’une seule. Nous allons réécrire la première équation pour isoler 𝑦. Nous ajoutons 𝑦 aux deux côtés de l’équation et soustrayons sept des deux côtés de l’équation. Cela nous donne que 𝑦 est égal à moins huit 𝑥 moins sept. Nous pouvons maintenant substituer cette expression de 𝑦 dans la deuxième équation. Cela nous donne alors que moins cinq 𝑥 moins trois fois moins huit 𝑥 moins sept est égal à deux.

Il s’agit maintenant d’une équation en 𝑥, nous devons donc résoudre cette équation pour 𝑥. Pour résoudre cette équation, nous allons commencer par distribuer moins trois sur les parenthèses. Nous obtenons moins cinq 𝑥 plus 24𝑥 plus 21 est égal à deux. Nous pouvons alors continuer à simplifier cette équation. En additionnant les termes en 𝑥 ensemble, nous obtenons 19𝑥. Puis, nous pouvons soustraire 21 des deux côtés de l’équation pour obtenir 19𝑥 est égal à moins 19. Nous pouvons alors diviser les deux côtés de cette équation par 19 pour voir que 𝑥 est égal à moins un. Il s’agit de la coordonnée 𝑥 du point d’intersection entre les deux droites. Nous pouvons substituer 𝑥 égale moins un dans l’équation de l’une ou l’autre de ces droites pour déterminer la coordonnée 𝑦 du point d’intersection.

Nous allons substituer cela dans l’équation de la première ligne. Il convient de souligner que nous pouvons aussi procéder à la substitution dans l’équation sous forme réarrangée. Dans les deux cas, nous pouvons résoudre l’équation pour montrer que notre valeur 𝑦 vaut un. Nous avons maintenant les coordonnées de deux points qui se trouvent sur cette droite. Cela nous permettra de calculer le vecteur directeur de cette droite. Nous pouvons le faire en rappelant que le vecteur directeur d’une droite passant par deux points distincts 𝑥 indice un, 𝑦 indice un et 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux est le vecteur 𝑥 indice un moins 𝑥 indice deux, 𝑦 indice un moins 𝑦 indice deux. Il convient de souligner que tout multiple scalaire non nul de ce vecteur est un vecteur directeur de la droite.

On nous dit dans la question que notre droite passe par le point de coordonnées 12, huit. De plus, nous venons de trouver le point d’intersection entre les deux droites. Il s’agit du point moins un, un. Puisque notre droite passe par ce point, nous pouvons définir 𝑥 indice un, 𝑦 indice un à 12, huit et 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux égal à un, un. Cela nous permettra de trouver un vecteur de direction de cette droite. Nous obtenons 𝐝 est égal au vecteur 12 moins moins un, huit moins un. Nous pouvons évaluer chacune de ces composantes séparément. Cela donne le vecteur 13, sept.

Maintenant, tout ce qui reste à faire est de substituer le vecteur de position et le vecteur directeur dans l’équation vectorielle de la droite. Nous obtenons que 𝐫 est égal au vecteur 12, huit plus 𝑘 fois le vecteur 13, sept, ce qui est notre réponse finale.