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Vidéo de question : Déterminer les composantes de deux forces à partir de la somme de leurs moments autour de deux points Mathématiques

𝐅₁ = 𝑚𝐢 + 𝐣 et 𝐅₂ = 𝑛𝐢 - 5𝐣, où 𝐅₁ et 𝐅₂ sont deux forces agissant respectivement aux points 𝐴 (3 ; 1) et 𝐵 (-1 ; -1). La somme des moments par rapport à l’origine est égale à zéro. La somme des moments par rapport au point 𝐶 (1 ; 2) est aussi égale à zéro. Déterminez les valeurs de 𝑚 et 𝑛.

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Transcription de vidéo

𝐅 un est égale à 𝑚𝐢 plus 𝐣 et 𝐅 deux est égale à 𝑛𝐢 moins cinq 𝐣, où 𝐅 un et 𝐅 deux sont deux forces agissant aux points 𝐴 trois, un et 𝐵 moins un, moins un, respectivement. La somme des moments autour de l’origine est égale à zéro. La somme des moments autour du point 𝐶 un, deux, est aussi égale à zéro. Déterminez les valeurs de 𝑚 et 𝑛.

Rappelons que le moment 𝐌 d’une force 𝐅 autour d’un point 𝑃 est égal au produit vectoriel de 𝐫 par 𝐅, où 𝐫 est le vecteur de 𝑃 jusqu’au point où la force agit, 𝐴. Le point 𝑃 peut être l’origine ou n’importe quel point de l’espace. Si c’est l’origine, alors 𝐫 est simplement le vecteur de position du point 𝐴.

Dans cette question, on nous demande de déterminer les valeurs de deux inconnues, 𝑚 et 𝑛. Pour trouver la valeur de deux inconnues, nous aurons besoin de deux équations simultanées distinctes. Dans ce cas, notre première équation sera donnée par la somme des moments autour de l’origine égale à zéro. Et notre deuxième équation sera donnée par la somme des moments autour du point 𝐶 égale à zéro.

Commençons par la première équation sur l’origine. Le vecteur de position 𝐚 du point 𝐴 est trois, un. Et la position 𝐛 du point 𝐵 est moins un, moins un. Par conséquent, le moment 𝐌 un de la force 𝐅 un est égal au produit vectoriel de 𝐚 par 𝐅 un. Et le moment 𝐌 deux de la force 𝐅 deux est égal au produit vectoriel de 𝐛 par 𝐅 deux. En prenant ce premier produit vectoriel, 𝐚 fois 𝐅 un, nous avons le déterminant de la matrice trois-trois 𝐢, 𝐣, 𝐤, trois, un, zéro, 𝑚, un, zéro. Les vecteurs de forces et de position se situent dans le plan 𝑥𝑦. Par conséquent, tout est bidimensionnel et nous avons une colonne zéro dans la colonne 𝐤.

Pour cette raison, seule la composante 𝐤 des deux moments sera non nulle. Cela a du sens car, rappelez-vous, un produit vectoriel est toujours perpendiculaire aux deux vecteurs. Et puisque les deux vecteurs sont dans le plan 𝑥𝑦, le résultat doit être parallèle à l’axe 𝑧. On calcule ce déterminant en développant le long de la rangée du haut, ce qui nous donne trois moins 𝑚 fois 𝐤. De même, pour 𝐌 deux, nous avons le déterminant de la matrice 𝐢, 𝐣, 𝐤, moins un, moins un, zéro, 𝑛, moins cinq, zéro. Encore une fois, ces deux vecteurs sont dans le plan 𝑥𝑦, et la colonne 𝐤 est nulle. Donc, seule la composante 𝐤 sera non nulle. Encore une fois, on calcule ce déterminant en développant le long de la rangée du haut, ce qui nous donne cinq plus 𝑛 fois 𝐤. En les additionnant, on obtient huit moins 𝑚 plus 𝑛𝐤.

La question nous dit que la somme de ces deux moments est égale à zéro ou au vecteur zéro. Pour qu’un vecteur soit égal au vecteur nul, toutes ses composantes doivent également être nulles. Par conséquent, la quantité scalaire huit moins 𝑚 plus 𝑛 doit être égale à zéro. Cela nous donne notre première équation : huit moins 𝑚 plus 𝑛 égale zéro.

Ensuite, nous devons trouver une deuxième équation à partir de la somme des moments autour du point 𝐶 un, deux étant égale à zéro. Puisque nous trouvons le moment autour du point 𝐶 au lieu de l’origine, les vecteurs 𝐚 et 𝐛 seront différents. 𝐚 sera donnée par le vecteur position du point 𝐴 trois, un moins le vecteur position du point 𝐶 un, deux. Cela vient à deux, moins un. De même, 𝐛 sera égal au vecteur position du point 𝐵 moins un, moins un moins le vecteur position de 𝐶 un, deux, qui vient à moins deux, moins trois.

Encore une fois, le moment 𝐌 un de la force 𝐅 un autour du point 𝐶 sera donné par le produit vectoriel de 𝐚 par 𝐅 un. Et le moment 𝐌 deux de la force 𝐅 deux autour du point 𝐶 sera donné par le produit vectoriel de 𝐛 par 𝐅 deux. En calculant ce premier produit vectoriel nous donne le déterminant de la matrice 𝐢, 𝐣, 𝐤, deux, moins un, zéro, 𝑚, un, zéro. Encore une fois, tout est dans le plan 𝑥𝑦. Et il ne nous reste que la composante 𝐤, ce qui nous donne deux plus 𝑚 fois 𝐤. De même, le produit vectoriel de 𝐛 par 𝐅 deux nous donne le déterminant de la matrice 𝐢, 𝐣, 𝐤, moins deux, moins trois, zéro, 𝑛, moins cinq, zéro. Et cela équivaut à 10 plus trois 𝑛 fois 𝐤.

Encore une fois, la question nous dit que la somme de ces deux moments, 𝐌 un plus 𝐌 deux, est égale au vecteur zéro. Nous avons donc 12 plus 𝑚 plus trois 𝑛 fois 𝐤 égale le vecteur zéro. De même, cela signifie que la composante 𝐤 doit également être égale à zéro. Et cela nous donne notre deuxième équation simultanée : 12 plus 𝑚 plus trois 𝑛 est égal à zéro.

Nous pouvons ensuite résoudre ces deux équations pour trouver les valeurs de 𝑚 et 𝑛. Si nous ajoutons la première équation à la deuxième, 𝑚 et moins 𝑚 s’annuleront, et il nous restera 20 plus quatre 𝑛 égale zéro. En isolant 𝑛, nous donne 𝑛 est égal à moins cinq. La substitution de cette valeur de 𝑛 dans la première équation nous donne huit moins 𝑚 moins cinq est égal à zéro. Et en isolant 𝑚, nous donne 𝑚 égale trois.

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