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Vidéo de question : Déterminer le rayon du secteur circulaire avec une aire donnée qui minimise le périmètre en utilisant la dérivation Mathématiques

On considère un secteur circulaire d’aire 16 cm². Calculez le rayon qui réduit son périmètre au minimum, puis déterminez la mesure de l’angle correspondant 𝜃 en radians.

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Transcription de vidéo

On considère un secteur circulaire d’aire 16 centimètres carrés. Trouvez le rayon qui réduit son périmètre au minimum, puis déterminez la mesure de l’angle correspondant 𝜃 en radians.

Afin de résoudre un problème de ce type, nous devons utiliser l’optimisation. Les valeurs maximale et minimale se produisent lorsque d𝑦 sur d𝑥 est égal à zéro. Lorsque la dérivée seconde d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est supérieure à zéro, nous avons une valeur minimale. Lorsque d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est inférieur à zéro, nous avons une valeur maximale. Comme nous avons des radians, l’aire d’un secteur est égale à un demi 𝑟 carré 𝜃, où 𝜃 est l’angle du secteur et 𝑟 est le rayon. Le périmètre d’un secteur est égal à 𝑟𝜃, la longueur de l’arc, plus deux 𝑟, deux multipliés par le rayon.

Dans cette question, on nous dit que l’aire est de 16 centimètres carrés. La substitution dans cette valeur nous donne un demi 𝑟 au carré 𝜃 est égal à 16. La multiplication des deux membres par deux nous donne 𝑟 au carré 𝜃 est égal à 32. Enfin, la division par 𝑟 au carré nous donne 𝜃 est égal à 32 sur 𝑟 au carré. Nous pouvons substituer cela dans notre équation du périmètre. Le périmètre est égal à 𝑟 multiplié par 32 sur 𝑟 au carré plus deux 𝑟 Au premier terme, un 𝑟 est simplifié. Cela signifie que 𝑃 est égal à 32 sur 𝑟 plus deux 𝑟. Cela peut être réécrit comme 32𝑟 à la puissance moins un plus deux 𝑟.

Comme nous cherchons à minimiser le périmètre, nous devons dériver cette fonction. d𝑃 sur d𝑟 est égal à moins 32𝑟 à la puissance moins deux plus deux. Cela peut être réécrit comme moins 32 sur 𝑟 au carré plus deux. Pour trouver la valeur minimale, nous définissons ceci être égale à zéro. La multiplication par 𝑟 au carré nous donne zéro est égal à moins 32 plus deux 𝑟 au carré. Nous pouvons alors ajouter 32 aux deux membres. Donc, deux 𝑟 carré vaut 32. La division par deux nous donne 𝑟 carré est égal à 16. Prendre la racine des deux membres nous donne 𝑟 est égal à plus ou moins quatre. Comme nous avons traitons la longueur, celle-ci doit être positive. Par conséquent, le rayon est égal à quatre centimètres.

L’angle correspondant 𝜃 est donc égal à 32 divisé par quatre au carré. Quatre au carré est égal à 16. 32 divisé par 16 est égal à deux. Par conséquent, l’angle est égal à deux radians. Nous devons vérifier que c’est la valeur minimale en calculant d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Si cette valeur est supérieure à zéro, alors notre réponse est un minimum. Nous rappelons que 𝑃 était égal à 32𝑟 à la puissance moins un plus deux 𝑟. d𝑃 sur d𝑟 était égal à moins 32𝑟 à la puissance moins deux plus deux.

Dériver cela nous donnera d deux 𝑃 sur d𝑟 au carré. Ceci est égal à 64𝑟 à la puissance moins trois car moins deux multiplié par moins 32 donne 64. Et soustraire un de la puissance ou de l’exposant nous donne moins trois. La dérivation de la constante deux nous donne zéro. La dérivée seconde est 64 sur 𝑟 au cube. La substitution dans notre valeur de 𝑟 nous donne 64 sur quatre au cube. Comme quatre au cube est égal à 64, 64 divisé par quatre au cube est égal à un. Comme cela est supérieur à zéro, notre valeur pour notre rayon de quatre centimètres est la valeur minimale.

Le rayon qui minimise le périmètre est de quatre centimètres. Et l’angle correspondant est de deux radians.

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