Transcription de la vidéo
Sachant que 𝑧 est égal à trois multiplié par cosinus 11 pi sur six plus 𝑖 fois sinus 11 pi sur 6, écrivez un sur 𝑧 sous forme exponentielle.
On a l’habitude d’écrire les nombres complexes sous leur forme trigonométrique ou polaire. Cependant, avec les formules d’Euler, on peut réécrire sous forme exponentielle un nombre complexe exprimé sous la forme trigonométrique ou polaire. Cela peut être particulièrement utile pour déterminer l’inverse d’un nombre complexe.
Dans ce cas, l’inverse est donné par cette formule. Pour commencer, on va devoir déterminer le module 𝑟 et l’argument thêta. On peut identifier le module en comparant les coefficients de la forme polaire générale aux coefficients du nombre complexe qui nous est donné dans l’énoncé. Dans ce cas, le module est égal à trois. Pour obtenir la valeur de l’argument, cela va être un peu plus compliqué.
Par convention, l’argument doit être compris entre pi et moins pi. Mais dans notre cas, thêta est égal à 11 pi sur six et n’appartient donc pas à cet intervalle. Mais comme deux pi correspond à un tour complet dans le cercle unité, on peut soustraire 11 pi sur six à deux pi. Deux pi moins 11 pi sur six est égal à pi sur six. Et comme on mesure cet angle dans le sens des aiguilles d’une montre, la valeur de notre argument est moins pi sur six.
Maintenant qu’on connaît les valeurs du module et de l’argument de notre nombre complexe, il suffit de les remplacer dans notre formule de l’inverse. Un sur 𝑧 est égal à un tiers fois 𝑒 puissance 𝑖 fois moins moins pi sur six. En simplifiant cette expression, on trouve que notre inverse est égal à un tiers fois 𝑒 puissance pi sur six fois 𝑖.