Transcription de la vidéo
La figure montre un objet au repos sur un plan incliné rugueux où le coefficient de frottement statique entre l’objet et le plan, 𝜇 indice 𝑠, est égal à 0,487. Étant donné que l’objet est sur le point de glisser vers le bas du plan, trouvez l’angle d’inclinaison 𝜃 en arrondissant votre réponse à la minute près, si nécessaire.
On nous dit dans cette question que le coefficient de frottement statique est de 0,487. Et on nous demande de calculer l’angle d’inclinaison 𝜃 auquel ce plan incliné est élevé. On peut commencer la solution en considérant les forces qui agissent sur l’objet. On sait que le poids agit sur ce corps. On trace cela comme un vecteur pointant vers le bas et l’intensité de cette force est égale à l’intensité du poids de l’objet. On va l’appeler 𝑊 majuscule. Il y a aussi une force normale qui agit sur l’objet perpendiculairement à la surface du plan. On va appeler cette force 𝐹 indice 𝑁. Et finalement, il y a la force de frottement agissant sur ce corps qui pointe vers le haut du plan. On peut appeler cette force 𝐹 indice f.
On nous dit dans l’énoncé que ce corps est au repos. Ce n’est pas en mouvement. Cela signifie que les trois forces que nous avons identifiées s’équilibrent. Leur somme est zéro. Pour regarder de plus près ces forces, mettons deux axes de coordonnées sur ce scénario. On va définir le mouvement dans le sens 𝑦 positif comme un mouvement vers le haut perpendiculaire au plan et le mouvement dans le sens 𝑥 positif est vers le haut du plan et parallèle à celui-ci. Deux de nos forces, 𝐹 indice 𝑁 et 𝐹 indice 𝑓, sont déjà complètement alignées sur ces axes. 𝑊, cependant, a des composantes dans les directions 𝑥 et 𝑦.
Si l’on considère les composantes 𝑥 et 𝑦, on voit que ces composantes, avec le vecteur lui-même, forment un triangle rectangle. Et l’angle en haut dans ce triangle est égal à 𝜃.
Puisque toutes les trois forces sont décomposées en composantes 𝑥 et 𝑦, considérons ces composantes le long de l’axe des 𝑥. On a la force de frottement agissant dans le sens 𝑥 positif moins la composante 𝑥 du poids que l’on va appeler 𝑊 indice 𝑥. Cette différence est égale à zéro parce que ce sont toutes les forces qui agissent dans la direction 𝑥. Et notre corps est en équilibre. On peut développer ces deux expressions, 𝐹 indice 𝑓 et 𝑊 indice 𝑥. Considérons d’abord 𝑊 indice 𝑥.
En regardant notre schéma, on voit que cette composante du poids est égale à 𝑊 fois le sinus de 𝜃. On va donc mettre cette expression développée dans notre équation. Pour 𝐹 indice 𝑓, on doit rappeler la définition de la force de frottement. La force de frottement 𝐹 indice 𝑓 est égale au coefficient de frottement 𝜇, soit statique ou cinétique, multiplié par la force normale 𝐹 indice 𝑁. Dans notre cas, on peut écrire 𝜇 indice 𝑠 parce que notre corps est au repos et ne bouge pas. On peut développer davantage notre terme 𝐹 indice 𝑁 en nous basant sur notre schéma. Si l’on considère uniquement les forces dans la direction 𝑦 sur le schéma, on voit qu’il y a deux, 𝐹 indice 𝑁, la force normale et la composante 𝑦 du poids. Puisque notre corps est au repos, cela doit signifier que les intensités de ces deux forces sont égales. En d’autres termes, 𝐹 indice 𝑁 est égal à 𝑊 fois le cosinus de 𝜃.
Donc on a une équation complètement développée pour les forces dans la direction 𝑥 de notre scénario. Si l’on ajoute 𝑊 fois le sin 𝜃 des deux côtés, alors on voit que l’on peut annuler le poids, 𝑊, de cette expression. Notre résultat en est indépendant. À ce stade, il sera utile de rappeler une identité trigonométrique. La tangente d’un angle 𝜃 est égale au sinus de ce même angle divisé par le cosinus de cet angle. Donc, si l’on divise les deux côtés de notre équation par le cosinus de 𝜃, ce terme s’annule sur le côté gauche. Et sur le côté droit, en utilisant notre identité, on a la tangente de 𝜃. Si l’on prend alors l’arc tangente des deux côtés de cette équation, on voit que 𝜃 est égal à l’arc tangente de notre coefficient de frottement statique, 𝜇 indice 𝑠. On nous donne la valeur de 𝜇 indice 𝑠 et on va l’insérer maintenant.
Lorsque l’on écrit cette expression sur notre calculatrice, on constate que, à la minute près, 𝜃 est de 25 degrés et 58 minutes. C’est l’angle d’inclinaison maximal de notre plan par rapport auquel l’objet est toujours immobile.