Transcription de la vidéo
Un corps se déplace sur une ligne droite. À l’instant 𝑡 secondes, son déplacement à partir d’un point fixe est donné par 𝑠 égale deux 𝑡 au carré plus cinq 𝑡 plus quatre mètres. Sa masse varie avec le temps, de sorte que 𝑚 est égal à six 𝑡 plus cinq kilogrammes. Calculez l’intensité de la force agissant sur le corps lorsque 𝑡 est égal à trois secondes.
Dans cette question, on a reçu des informations sur le déplacement d’un corps sur une ligne droite par rapport au temps. On nous a donné également des informations sur sa masse par rapport au temps 𝑡. Et donc on a un corps avec une masse variable. Cela signifie que l’on ne peut pas utiliser l’équation 𝐹 égale 𝑚𝑎 à laquelle nous sommes tellement habitués.
Au lieu de cela, on utilise la deuxième loi de Newton, mais on rajoute un terme pour tenir compte de la quantité de mouvement portée par la masse entrant dans le système. On dit que 𝐹 est égal à 𝑣 fois d𝑚 sur d𝑡 - c’est la dérivée de la masse par rapport au temps - plus 𝑚 fois d𝑣 sur d𝑡, qui est la dérivée de 𝑣 par rapport au temps, en d’autres termes son accélération.
Alors, puisque 𝑚 est égal à six 𝑡 plus cinq, on doit dériver cela par rapport au temps. Et on peut le faire terme par terme. La dérivée de six 𝑡 est juste six, et la dérivée de cinq est zéro. On trouve donc que d𝑚 sur d𝑡 est égal à six.
Ensuite, on nous dit que 𝑠, le déplacement, est deux 𝑡 au carré plus cinq 𝑡 plus quatre. On doit rappeler que le vecteur vitesse est la variation du déplacement par rapport au temps. C’est d 𝑠 par d 𝑡. On dérive donc chaque terme par rapport au temps. La dérivée de deux 𝑡 au carré est deux fois deux 𝑡, ce qui fait quatre 𝑡. Et la dérivée de cinq 𝑡 est cinq. La dérivée de quatre, cependant, est zéro. Donc, on trouve que lorsque l’on dérive 𝑠 par rapport à 𝑡, on obtient quatre 𝑡 plus cinq. De même, on a besoin de d𝑣 par d𝑡 pour la formule. Et on va dériver une fois de plus. Et bien sûr, cela nous donne une accélération.
Alors, la dérivée de quatre 𝑡 est quatre, et la dérivée de cinq est zéro. Remplaçons tout ce que l’on a dans notre formule. 𝑣 fois d𝑚 sur d𝑡 vaut quatre 𝑡 plus cinq fois six, et 𝑚 fois d𝑣 sur d𝑡, autrement dit 𝑚𝑎, vaut six 𝑡 plus cinq fois quatre. On élimine chacune de nos parenthèses. Quatre 𝑡 fois six font 24𝑡, et cinq fois six font 30. De même, six 𝑡 fois quatre font 24𝑡, et cinq fois quatre font 20. Et donc on assemble des termes similaires, et on obtient la force comme 48𝑡 plus 50. Et puisque l’on travaille en mètres, secondes et kilogrammes, c’est en fait 48𝑡 plus 50 newtons.
Alors, bien sûr, on cherche à trouver la force à 𝑡 égale trois. Donc 𝐹 est égal à 48 fois trois. On remplace 𝑡 par trois, puis on ajoute 50. Cela nous donne 194. Ainsi, la force agissant sur le corps lorsque 𝑡 égale trois secondes est de 194 newtons.