Transcription de la vidéo
Le schéma montre une bobine conductrice rectangulaire à quatre tours qui se trouve dans un champ magnétique d’une intensité de 325 milliteslas. Il y a un courant de 4,8 ampères dans la bobine. Les côtés de la boucle parallèles à la droite 𝑑 un sont parallèles au champ magnétique. Et les côtés de la boucle parallèles à la droite 𝑑 deux sont perpendiculaires au champ magnétique. Le rapport entre 𝑑 un et 𝑑 deux est de 1,5. Le couple sur la boucle est de 12,5 millinewton-mètres. Trouvez la longueur de 𝑑 un au millimètre près.
Dans notre schéma, nous voyons notre boucle conductrice transportant le courant. Cette boucle est de largeur 𝑑 un et d’une profondeur 𝑑 deux. Elle se trouve entre les pôles d’un aimant permanent. Par conséquent, la boucle est exposée à un champ magnétique constant pointant du pôle nord au pôle sud de l’aimant. Nous appellerons ce champ 𝐵. Parce que cette boucle transporte du courant et existe dans un champ magnétique, elle subit un couple. Nous appellerons ce couple 𝜏. Avec tout cela, on nous donne le courant dans la bobine, nous appellerons cette valeur 𝐼. Et on nous dit aussi que le rapport de 𝑑 un à 𝑑 deux, 𝑑 un divisé par 𝑑 deux, est 1,5. Pour compléter notre information, nous écrirons que 𝐵 est de 325 milliteslas et que le nombre de tours dans notre bobine rectangulaire est 𝑁 majuscule.
Nous pouvons maintenant libérer de l’espace pour travailler et commencer à chercher la solution en rappelant l’équation générale du couple qui agit sur un conducteur porteur de courant dans un champ magnétique uniforme. Ce couple est égal à l’intensité du champ magnétique multipliée par le courant dans la boucle multiplié par l’aire de la boucle multipliée par le nombre de tours dans la bobine rectangulaire multiplié par le sinus de cet angle 𝜃. Si nous regardions une boucle rectangulaire de fil de côté, telle qu’elle est orientée avec le champ magnétique externe, alors si nous devions dessiner un vecteur qui est perpendiculaire à l’aire de ce rectangle, l’angle entre ce vecteur et le champ magnétique externe serait 𝜃. Notez que pour notre bobine rectangulaire donnée, un vecteur normal ou perpendiculaire à sa surface rencontre les lignes de champ magnétique sous un angle de 90 degrés.
En appliquant cette équation générale, 𝜏 est égal à 𝐵 fois 𝐼 fois 𝐴 fois 𝑁 fois le sinus de 90 degrés. Et puisque le sinus de 90 degrés est égal à un, nous pouvons écrire une version simplifiée de cette équation. Rappelons à ce stade que c’est la dimension de notre rectangle 𝑑 que nous voulons trouver. C’est la plus grande des deux dimensions de notre rectangle ici. Cette dimension n’est pas directement dans cette équation. Mais parce que notre bobine a la forme d’un rectangle, 𝐴 est égal à 𝑑 un fois 𝑑 deux. Donc, le couple 𝜏 est égal à 𝐵 fois 𝐼 fois 𝑑 un fois 𝑑 deux fois 𝑁.
Et maintenant, nous allons utiliser le fait que le rapport de 𝑑 un à 𝑑 deux est 1,5. Si nous écrivons cela un peu différemment, nous voyons que 𝑑 un divisé par 𝑑 deux est égal à 1,5 divisé par un. Si nous multiplions les deux côtés de cette équation par 𝑑 deux, ce facteur s’annule à gauche et si nous multiplions les deux côtés de l’équation par un divisé par 1,5, puis à droite, 1,5 divisé par un s’annule avec un divisé par 1,5. Il nous reste 𝑑 deux à droite. Et à gauche, nous obtenons 𝑑 un divisé par 1,5. Il est utile de le savoir car maintenant nous pouvons remplacer ce 𝑑 deux dans notre équation par 𝑑 un divisé par 1,5.
En regardant notre équation globale maintenant, nous voyons que nous faisons vraiment des progrès. On nous donne la valeur du couple 𝜏. Nous connaissons l’intensité du champ magnétique 𝐵, le courant 𝐼, ainsi que le nombre de tours dans notre bobine 𝑁. Une autre façon d’écrire le côté droit de cette expression est 𝐵 fois 𝐼 fois 𝑁 sur 1,5 le tout multiplié par 𝑑 un carré. Ce que nous pouvons faire ensuite, c’est prendre toute cette équation et de multiplier les deux côtés par 1,5 divisé par 𝐵 fois 𝐼 fois 𝑁. Sur le côté droit, cela annule complètement 𝐵, 𝐼, 𝑁 et 1,5.
Enfin, nous pouvons prendre les racines carrées des deux côtés de cette expression. Prendre la racine carrée de 𝑑 un carré nous donne 𝑑 un par lui-même. En retournant cette équation, nous avons maintenant une expression pour 𝑑 un. Et rappelez-vous, nous connaissons les valeurs du couple 𝜏, de l’intensité du champ magnétique 𝐵, du courant 𝐼 et du nombre de tours dans notre bobine 𝑁. Avec ces valeurs connectées, nous voulons simplement apporter quelques modifications supplémentaires avant de calculer 𝑑 un.
Notez que dans le dénominateur, les unités de notre champ magnétique sont des milliteslas. Nous aimerions convertir ces unités en teslas. Et nous pouvons le faire en rappelant que 1000 milliteslas est égal à un tesla. Pour changer l’unité, nous allons déplacer la décimale de ce nombre de un, deux, trois rangs vers la gauche. 325 milliteslas est égal à 0,325 teslas. Ensuite, au numérateur, avec nos millinewton-mètres, nous allons faire quelque chose de similaire. 1000 millinewton-mètres équivalent à un newton-mètre. Notre couple de 12,5 millinewton-mètres est donc égal à 0,0125 newton-mètre.
Nous sommes enfin prêts à utiliser cette expression sur notre calculatrice et à calculer 𝑑 un. Le résultat que nous obtenons ressemble à ceci. Et il est important de noter que les unités de ce résultat sont des mètres. Cependant, nous voulons que notre réponse finale soit arrondie au millimètre près. Pour cela, nous allons déplacer la décimale dans notre réponse de un, deux, trois rangs vers la droite. Nous avons donc maintenant 54,81 et ainsi de suite millimètres. Et puis nous arrondissons ce résultat au nombre entier le plus proche. Puisque le premier chiffre après la virgule est supérieur ou égal à cinq, notre réponse devient 55 millimètres. Il s’agit de la longueur de la dimension 𝑑 un arrondie au millimètre près.
