Vidéo de la leçon: Exposants nuls et négatifs Mathématiques

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Dans la leçon d’aujourd’hui, nous examinons les exposants nuls et négatifs. Bien, il faut savoir que les exposants peuvent également être appelés puissances ou indices selon le lieu où vous vous trouvez. Et lorsque nous examinons les exposants, les puissances ou les indices, nous pouvons voir que c’est en fait un petit nombre que nous aurons au-dessus d’un autre nombre que nous appellerons la base.

Donc, comme vous pouvez le voir ici, nous avons notre trois comme base et notre zéro comme exposant. Alors, exposants négatifs et exposants nuls, que signifient-ils réellement ? Eh bien, allons voir. Voyons ce que sont les exposants et comment nous pourrions déterminer ce que sont les exposants nuls et négatifs.

Bien, tout d’abord, rappelons ce que veut dire un exposant ou une puissance ? Eh bien, si nous avons trois élevé à l’exposant quatre ou élevé à la puissance quatre, alors ce que cela veut dire est trois multiplié par trois multiplié par trois multiplié par trois. Rappelant que, ici dans cet exemple, le trois serait le nombre de base et le quatre serait l’exposant, la puissance ou les indices. Mais nous obtenons ici que cela signifie trois multiplié par trois multiplié par trois multiplié par trois. Donc, en fait, ce que l’exposant nous indique, c’est combien de fois nous multiplions la base par elle-même. Parce que nous pouvons voir que nous avons quatre trois, puis nous avons un signe de multiplication entre chacun d’entre eux.

Il convient de noter qu’on utilise le point ici comme notre signe de multiplication. Mais dans certaines régions, vous verrez également que cela peut être sous forme d’une croix. L’un ou l’autre peut être utilisé, un peu comme nous pourrions utiliser l’exposant, la puissance ou les indices. D’accord, alors nous obtenons trois au cube. C’est trois multiplié par trois multiplié par trois. Trois au carré est trois multiplié par trois. Et trois à la puissance un est juste trois.

Eh bien, calculons-les et examinons leur valeur réelle. Donc, nous avons trois à la puissance quatre c’est 81. Trois au cube, c’est 27. Trois au carré, c’est neuf. Et comme nous avons indiqué trois à la puissance un n’est que trois. Eh bien, voyons comment tout cela fonctionne. Bon, nous avons pu voir ici que chaque fois que nous ajoutons un à notre exposant, cela signifie que vous pouvez multiplier par la base une fois de plus. Parce que si nous regardons, nous sommes passés de trois à neuf, puis de neuf à 27, puis de 27 à 81. Donc, chaque fois, nous multiplions par trois.

Alors, très bien, nous avons vu quels sont les exposants et comment vous les calculez. Mais nous devons penser sur quoi porte cette leçon. Il s’agit d’exposants nuls et négatifs. Alors, voyons comment cela fonctionne. Eh bien, tout d’abord, nous allons jeter un œil sur trois élevé à la puissance zéro. Bon, nous ne savons pas qu'est ce que c'est, mais pourrions-nous le calculer en utilisant le modèle que nous avons ?

Eh bien, si nous travaillons à rebours, nous pouvons voir que, en fait, chaque fois que nous soustrayons un de l’exposant, alors nous divisons par trois. Parce que 81 divisé par trois est 27, 27 divisé par trois est neuf, et neuf divisé par trois est trois. Donc, si nous divisons trois par trois, il ne nous reste qu’un. Donc, nous pouvons dire que trois à la puissance zéro est égal à un. Et en fait, tout ce qui est élevé à la puissance zéro est égal à un. Donc, super, nous avons calculé notre exposant zéro, alors qu’en est-il des exposants négatifs ?

Eh bien, avec l’exposant négatif, nous allons donc passer de zéro à moins un, ce que nous devons faire c’est de diviser par trois une fois de plus. Donc, si nous avons un divisé par trois, nous obtiendrons un tiers. Donc, nous dirons que trois à la puissance moins un est égal à un tiers. Mais pouvons-nous en obtenir une forme générale ? Eh bien, voyons si nous pouvons le faire une fois de plus. Bon, si nous passons à moins deux, donc trois à la puissance moins deux, alors nous allons diviser par trois une fois de plus. Mais ce n’est pas si simple, car comment allons-nous calculer un tiers divisé par trois ?

Eh bien, je vais montrer les étapes du calcul pour nous aider à obtenir le résultat. Si nous avons un tiers divisé par trois, nous pouvons également le considérer comme un tiers divisé par trois sur un. Eh bien, si nous divisons par une fraction, alors nous trouvons l’inverse. Donc, nous inversons cette fraction. C’est la deuxième fraction. Puis, nous multiplions. Donc, cela va nous donner un tiers multiplié par un tiers, ce qui nous donnera un au carré sur trois au carré, ce qui sera égal à un sur neuf. Donc, très bien, à partir de là, nous pouvons maintenant penser à notre forme générale.

Ainsi, la forme générale est 𝑥 à la puissance 𝑛 est égal à un sur 𝑥 à la puissance 𝑛. Donc, nous allons voir que c’est, en fait, un inverse. Très bien, voyons comment cela pourrait fonctionner en pratique. Regardons une question.

Lequel des nombres suivants est égal à 46 à la puissance moins un ? (A) Un sur 46, (B) 46, (C) 45, (D) un sur 45 ou (E) 0,46.

Eh bien, ce que nous pouvons nous rappeler, c’est que nous avons 𝑥 à la puissance moins 𝑛 égale un sur 𝑥 à la puissance 𝑛. Donc, c’est l’une des règles que nous avons pour nos exposants. Bon, à partir de là, nous pouvons voir que 𝑥 à la puissance moins un va être égal à un sur 𝑥. Donc, en fait, cela sera l’inverse. Alors, voyons ce que nous avons obtenu. Nous avons obtenu 46 à la puissance moins un. Eh bien, si nous pensons que 46 est 46 sur un, alors 46 à la puissance moins un sera l’inverse de 46 sur un. Ce qui va nous donner un sur 46 parce que nous inversons le numérateur et le dénominateur pour trouver notre inverse.

Donc, nous pouvons dire que la réponse (A) est égale à 46 à la puissance moins un. Et c’est parce que la réponse (A) est un sur 46.

D’accord, donc, c’était un bon exemple juste pour nous montrer ce que nous obtiendrions si nous avions une puissance de moins un. Mais, qu'est-ce que nous allons faire maintenant ? Bon, voyons l’exemple suivant : cinq à la puissance moins deux. Eh bien, encore une fois, ce que nous faisons, c’est que nous rappelons 𝑥 à la puissance moins 𝑛 égale un sur 𝑥 à la puissance 𝑛. Donc, cinq à la puissance moins deux va être égal à un sur cinq au carré, ce qui nous donnerait un sur 25.

Il convient de noter cependant, comme nous l’avons déjà montré que, en fait, nous avons un au carré sur cinq au carré, ce qui nous donnerait un sur 25. Juste dans notre forme générale, nous mettons 𝑥 à la puissance moins 𝑛 est égal à un sur 𝑥 à la puissance 𝑛. Mais cela nous sera très utile plus tard avec des questions que nous allons poser.

Alors, et maintenant ? Eh bien, maintenant, il est temps de passer à la question suivante. Alors, passons à autre chose et voyons ce que nous avons ensuite. Eh bien, dans cette question, nous allons jeter un œil sur un nombre décimal, donc cela peut être assez intéressant. Alors, allons-y et résolvons le problème.

Quelle est la valeur de 0,2 le tout à la puissance moins trois ?

Eh bien, si nous pensons à 0,2, nous constatons que 0,2 équivaut à deux dixièmes. Et c’est parce que si nous voyons les valeurs de position, notre zéro représente les unités et notre deux représente les dixièmes. Donc, on va dire que 0,2 est égal à deux dixièmes. Mais pouvons-nous simplifier cela ? Bon, oui, nous pouvons simplifier la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par deux. Et lorsque nous faisons cela, nous obtenons un sur cinq ou un cinquième parce que deux divisé par deux est un et 10 divisé par deux est cinq. Donc, nous savons que 0,2 est égal à un cinquième. Et en fait, c’est une conversion décimale que nous devrions connaître.

Donc, ce que nous obtiendrons, c’est un cinquième à la puissance moins trois. Eh bien, si nous rappelons que nous avons obtenu 𝑥 à la puissance moins 𝑛 égale un sur 𝑥 à la puissance 𝑛, c’est légèrement différent ici parce que nous avons une fraction, un sur cinq. Mais c’est exactement la même théorie parce que ce que nous allons faire, c’est déterminer l’inverse de un sur cinq. Puis nous allons le mettre à la puissance trois.

Nous pouvons donc penser à cinq au cube sur un au cube. Et c’est parce que l’inverse de un sur cinq est de cinq sur un. Mais généralement, nous ne prendrions pas la peine d’écrire un au cube au dénominateur. Eh bien, cinq au cube signifie cinq multiplié par cinq multiplié par cinq. Eh bien, cinq multiplié par cinq est 25, et 25 multiplié par cinq est 125. Nous pouvons donc dire que la valeur de 0,2 à la puissance moins trois est 125.

Très bien, nous avons donc examiné un autre exemple. Et celui-ci a un nombre décimal. Donc, nous commençons maintenant à nous familiariser avec différents types d’exposants négatifs. Mais quel est le prochain type de question que nous pouvons examiner ? Eh bien, dans cette question, ce que nous allons examiner, c’est voir si nous pouvons calculer en utilisant nos exposants négatifs. Et la réponse est oui, nous pouvons.

Calculez deux à la puissance moins deux multiplié par trois à la puissance moins un le tout à la puissance moins un, en donnant votre réponse sous sa forme la plus simple.

Donc, tout d’abord, ce que nous faisons, c’est d’utiliser notre règle que nous avons - c’est 𝑥 à la puissance moins 𝑛 égale un sur 𝑥 à la puissance 𝑛 - pour convertir nos exposants négatifs en fractions. Donc, tout d’abord, nous allons avoir deux à la puissance moins deux. Et ça va être égal à un sur deux au carré, ce qui va être égal à un sur quatre. Donc, on peut dire que deux à la puissance moins deux est égal à un quart. Ensuite, nous avons trois à la puissance moins un. Et nous savons que trois à la puissance moins un sera égal à un sur trois. Et c’est parce que c’est l’inverse de trois sur un. Donc, trois sur un est trois. L’inverse est un sur trois. Très bien, nous les avons convertis en fractions.

Très bien, alors, maintenant, nous avons un quart multiplié par un tiers le tout à la puissance moins un. Eh bien, si nous multiplions une fraction, ce que nous faisons est que nous multiplions les numérateurs puis nous multiplions les dénominateurs. Donc, un multiplié par un est un. Quatre multiplié par trois est 12. Donc, nous obtenons un sur 12 ou un douzième à la puissance moins un. Eh bien, comme nous l’avons dit précédemment, lorsque nous avons quelque chose élevé à la puissance de moins un, ce que nous devons faire, c’est simplement déterminer l’inverse. Et pour déterminer l’inverse, vous inversez le numérateur et le dénominateur.

Donc, notre deux à la puissance moins deux multiplié par trois à la puissance moins un, le tout à la puissance moins un devient 12. Et c’est parce que la dernière étape était d’avoir un sur 12, ou un douzième, à la puissance moins un. Eh bien, l’inverse de un sur 12 n’est que 12.

Très bien, nous avons envisagé de calculer en utilisant nos exposants négatifs, mais maintenant, nous allons jeter un œil sur une fraction. Et cette fraction va être une fraction où nous avons un nombre qui n’est pas un comme numérateur et un nombre qui n’est pas un comme dénominateur.

Lequel des nombres suivants est égal à deux tiers à la puissance moins trois ? Les options sont (A) 27 sur huit, (B) huit sur 27, (C) moins huit sur 27, (D) moins six sur moins neuf ou (E) moins 27 sur huit.

Donc, pour résoudre ce problème, nous allons utiliser une adaptation de la règle la plus courante des exposants. Et cette règle des exposants est 𝑥 à la puissance moins 𝑛 égale un sur 𝑥 à la puissance 𝑛. Parce que, en fait, cela signifie vraiment que 𝑥 à la puissance moins 𝑛 est égal à un à la puissance 𝑛 sur 𝑥 à la puissance 𝑛. Cependant, comme un à la puissance 𝑛 est un, nous écrivons un sur 𝑥 à la puissance 𝑛. Donc, si nous avons 𝑥 sur 𝑦 à la puissance moins 𝑛, cela va être égal à 𝑦 à la puissance 𝑛 sur 𝑥 à la puissance 𝑛. Parce que ce que nous faisons, c’est que nous trouvons l’inverse de notre fraction et que nous mettons chacun des termes élevés à la puissance 𝑛.

Donc, si nous avons deux tiers, ou deux sur trois, à la puissance moins trois, eh bien, ce que nous faisons d’abord, c’est que nous déterminons l’inverse. Et l’inverse est ce que nous obtenons si nous inversons le numérateur et le dénominateur. Ainsi, les deux tiers deviennent trois demis ou trois sur deux. Bon, alors, ce que nous allons faire, est d’élever le numérateur et le dénominateur à la puissance trois parce que, dans notre exemple, c’est notre 𝑛. Eh bien, trois au cube signifie trois multiplié par trois multiplié par trois, et deux au cube signifie deux multiplié par deux multiplié par deux.

Nous pouvons donc dire que deux tiers à la puissance moins trois sera égal à 27 sur huit. Et c’est parce que trois fois trois fois trois font 27 et deux fois deux fois deux font huit. Donc, nous pouvons dire que la bonne réponse de notre liste sera la réponse (A) parce que c’est 27 sur huit ou vingt-sept huitièmes.

Génial, donc nous allons passer maintenant à la dernière partie de notre leçon sur les exposants négatifs. Nous avons commencé avec les exposants de moins un. Ensuite, nous avons passé à des exposants non seulement moins un, moins deux, moins trois, etc. Ensuite, nous avons multiplié les valeurs élevées à des exposants négatifs, par exemple, deux à la puissance moins deux multiplié par trois à la puissance moins un. Puis, nous avons juste traité des fractions, donc, par exemple, 𝑥 sur 𝑦 à la puissance moins 𝑛 ou deux tiers à la puissance moins trois.

Donc, nous allons passer maintenant à la dernière étape de notre leçon. Et nous allons rassembler les compétences que nous avons apprises pour multiplier les fractions élevées à des exposants négatifs.

Lequel des nombres suivants est égal à moins trois quarts à la puissance cinq multiplié par moins trois quarts à la puissance moins sept ? Les options sont (A) un et sept neuvièmes, (B) moins trois quarts à la puissance moins 35, (C) moins un et sept neuvièmes, (D) neuf sur 16, ou (E) moins neuf sur 16.

Donc, pour résoudre ce problème, voyons quelques règles générales concernant les exposants. Tout d’abord, si nous avons 𝑥 à la puissance 𝑎 multiplié par 𝑥 à la puissance 𝑏, cela est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. Donc, nous additionnons les exposants. Et pour la deuxième règle, nous avons 𝑥 sur 𝑦 à la puissance moins 𝑛 égale 𝑦 à la puissance 𝑛 sur 𝑥 à la puissance 𝑛. Donc, ce que nous faisons, c’est de déterminer l’inverse de notre fraction, puis nous mettons le numérateur et le dénominateur à la puissance 𝑛.

En fait, nous pouvons utiliser notre première règle parce que nous remarquons dans notre question que, en fait, nos deux bases sont les mêmes parce qu’elles sont toutes les deux moins trois sur quatre ou moins trois quarts. Ainsi, moins trois quarts à la puissance cinq multiplié par moins trois quarts à la puissance moins sept sera égal à moins trois quarts à la puissance cinq plus moins sept. Ce qui va être égal à moins trois quarts à la puissance moins deux.

Donc, maintenant, nous allons avancer et appliquer la deuxième règle. Alors, pour appliquer la deuxième règle, nous devons tout d’abord trouver l’inverse. Donc, au lieu de trois sur quatre, nous allons avoir quatre sur trois. Mais parce que nous avions moins trois sur quatre, ce que nous allons obtenir maintenant est moins quatre sur trois. Mais ce que je vais faire, c’est que je vais mettre le négatif avec le numérateur juste pour qu’il ne soit pas exclu ou simplement parce que nous n’obtenons pas la mauvaise réponse, c’est-à-dire une réponse négative, alors que nous devons obtenir une réponse positive, etc.

Donc, nous obtenons moins quatre au carré sur trois au carré. Et c’est parce qu’ils sont tous les deux à la puissance deux. Et cela va nous donner 16 sur neuf. Et c’est parce que moins quatre multiplié par moins quatre est égal à 16 et trois multiplié par trois est égal à neuf. Puis, pour changer cela en un nombre fractionnaire, nous voyons combien de neuf sont inclus dans 16. Et ils nous sont inclus dans 16 une fois le reste est sept. Et nous le faisons parce que si nous voyons nos réponses (A), (B), (C), (D) et (E), aucune d’elles n’est 16 sur neuf.

Donc, notre réponse sera un et sept neuvièmes. Alors, maintenant, voyons nos réponses sur le côté gauche. Donc, par conséquent, nous pouvons faire correspondre cela à la réponse (A). Et nous voyons que la réponse (A) doit être la bonne réponse. Donc, (A), qui est un et sept neuvièmes, est la bonne réponse. Il convient également de noter que nous aurions pu obtenir les autres réponses avec des erreurs simples.

Par exemple, nous aurions pu obtenir la réponse (C) si nous avions oublié le signe moins que nous avions mentionné plus tôt. Parce que si nous avions oublié le signe moins et l’avions laissé en dehors de notre fraction, alors nous aurions eu moins 16 sur neuf, ce qui nous aurait donné moins un et sept neuvièmes.

Et une autre erreur commune qui aurait pu nous donner la réponse (B) aurait été celle où nous avons multiplié les exposants au lieu de les additionner. Donc, nous n’utiliserons pas la première règle. Nous utiliserons la règle incorrecte qui indique que si vous multipliez des nombres qui ont la même base et des exposants différents, vous multipliez les exposants. Et cela nous aurait donné moins 35. Donc, nous avons évité cela. Et nous obtenons la bonne réponse, qui est un et sept neuvièmes ou la réponse (A).

Donc, fantastique, maintenant nous avons terminé notre leçon. Et nous sommes arrivés à la fin. Donc, maintenant, tout ce que nous devons faire est de rappeler les points clés. Eh bien, les points clés que nous apprenons aujourd’hui sont que si vous avez trois à la puissance deux, alors trois sera la base et deux sera l’exposant ou la puissance. Si nous avons 𝑥 élevé à la puissance zéro, cela équivaut à un. Si nous avons 𝑥 à la puissance moins 𝑛, alors cela est égal à un sur 𝑥 à la puissance 𝑛. Donc, c’est l’inverse. Et, enfin, si nous avons 𝑥 sur 𝑦 élevé à la puissance moins 𝑛, cela est égal à 𝑦 à la puissance 𝑛 sur 𝑥 à la puissance 𝑛. Ainsi, nous trouvons l’inverse de notre fraction, puis élevons le numérateur et le dénominateur à la puissance 𝑛.