Vidéo question :: Calculer le produit de deux fonctions rationnelles Mathématiques

Transcription de la vidéo

Étant donné la fonction d’expression 𝑛 de 𝑥 égal 𝑥 moins six sur 𝑥 au carré moins 15𝑥 plus 54 multiplié par 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins 28 sur deux 𝑥 au carré moins 15𝑥 plus sept, calculez si possible 𝑛 de sept.

Examinons d'abord notre fonction d’expression 𝑛 de 𝑥. Il s'agit d'une combinaison de deux fonctions. En effet, c'est un produit. En particulier, c'est le produit de deux fonctions rationnelles. Rappelez-vous, une fonction rationnelle est composée du quotient de deux polynômes. Et lorsqu’on a des fonctions rationnelles, il est possible qu'elles ne soient pas définies pour toutes les valeurs de 𝑥. On va donc commencer par préciser l'ensemble de définition de la fonction d’expression 𝑛 de 𝑥, où l'ensemble de définition est l'ensemble des antécédents possibles pour la fonction.

Nous devons principalement vérifier si la fonction d’expression 𝑛 de 𝑥 est effectivement définie pour 𝑥 égal sept. Si c'est le cas, on peut alors substituer cette valeur dans l’expression. Donc, comment trouver l'ensemble de définition d'une combinaison de fonctions ? Eh bien, l'ensemble de définition de la fonction d’expression 𝑛 de 𝑥 est l'intersection des ensembles de définition de chaque fonction rationnelle. Il faut donc identifier l'ensemble de définition de la première fonction rationnelle, 𝑥 moins six sur 𝑥 au carré moins 15𝑥 plus 54 et l'ensemble de définition de la deuxième fonction rationnelle, 𝑥 au carré moins trois 𝑥 moins 28 sur deux 𝑥 au carré moins 15𝑥 plus sept.

En fait, lorsque nous travaillons avec des fonctions rationnelles, l'ensemble de définition est en fait l'ensemble des nombres réels. Mais on exclut toute valeur de 𝑥 qui rend le dénominateur nul. Et ceci est en fait très logique. En effet, on ne veut pas aboutir à une situation où l'on divise par zéro, car c'est une forme indéfinie. Afin de déterminer les valeurs de 𝑥 que nous excluons de l'ensemble de définition de notre première fonction rationnelle, posons le dénominateur égal à zéro et déterminons la valeur de 𝑥. On détermine la valeur de 𝑥 en factorisant. On cherche deux nombres dont le produit est 54 et dont la somme est moins 15. Il s'agit de moins neuf et moins six. En factorisant l'expression, on obtient donc 𝑥 moins neuf facteur de 𝑥 moins six, qui est égal à zéro.

Bien entendu, si le résultat de la multiplication de deux expressions est nul, il est logique que l'une ou l'autre de ces expressions soit elle-même nulle. Donc, 𝑥 moins neuf égal zéro ou 𝑥 moins six égal zéro. On résout chacune de ces équations pour obtenir 𝑥 et on trouve 𝑥 égal neuf et 𝑥 égal six. Donc, l'ensemble de définition de notre première fonction rationnelle est l'ensemble des nombres réels moins l'ensemble formé des éléments six et neuf.

On répète donc ce processus pour notre deuxième fonction rationnelle. On se demande alors comment trouver les valeurs de 𝑥 qui rendent son dénominateur nul ? Bien, nous le posons comme étant égal à zéro et nous résolvons le problème en factorisant. Puisque deux et sept sont tous deux des nombres premiers, cela peut se faire par simple vérification. Deux 𝑥 fois moins sept et moins un fois 𝑥 nous donne moins 15𝑥. Et bien sûr, moins un fois moins sept nous donne plus sept. Donc, en factorisant, on obtient deux 𝑥 moins un facteur de 𝑥 moins sept égal zéro.

Puis, comme nous l'avons fait précédemment, nous posons chaque facteur comme étant égal à zéro. Donc, deux 𝑥 moins un égal zéro ou 𝑥 moins sept égal zéro. Après avoir ajouté un et divisé par deux dans notre première équation, on obtient 𝑥 égal un demi. Pour la deuxième équation, on obtient 𝑥 égal sept. L'ensemble de définition de notre deuxième fonction rationnelle doit donc être l'ensemble des nombres réels ne comprenant pas ces valeurs de 𝑥.

Cela veut alors dire que l'ensemble de définition de la fonction d’expression 𝑛 de 𝑥, qui est l'intersection de nos deux domaines, est l'ensemble des nombres réels ne comprenant pas ces valeurs de 𝑥, donc l'ensemble des nombres réels moins l'ensemble formé des éléments un demi, six, sept et neuf. Et cela est vraiment intéressant car on cherche à calculer 𝑛 de sept. Mais on a exclu sept de l'ensemble de définition de notre fonction. Ce n’est pas un antécédent. Il ne s'agit pas d'une valeur de 𝑥 que nous pouvons substituer dans l’expression de la fonction. Autrement dit, notre fonction d’expression 𝑛 de 𝑥 n'est pas bien définie pour 𝑥 égal sept, donc 𝑛 de sept est indéfinie.