Vidéo question :: Déterminer le coefficient de la variable d'un degré donné dans un produit d’expression binomiale Mathématiques

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Déterminez le coefficient de 𝑎 puissance cinq dans le développement de 𝑎 au carré plus un sur 𝑎 au carré le tout au cube multiplié par 𝑎 plus un sur 𝑎 le tout au cube.

Pour trouver le coefficient de 𝑎 puissance cinq dans notre développement, je vais d'abord développer chacune des parenthèses à part. Je vais commencer par 𝑎 au carré plus un sur 𝑎 au carré au cube. Pour développer ça, on va utiliser la formule du binôme de Newton. Et la formule du binôme de Newton est la suivante : si nous avons 𝑎 plus 𝑏 puissance 𝑛, cela revient à choisir zéro parmi 𝑛 𝑎 puissance 𝑛 𝑏 puissance zéro plus un parmi 𝑛 𝑎 puissance 𝑛 moins un 𝑏 puissance un, ainsi de suite, en continuant jusqu'à choisir 𝑛 parmi 𝑛 𝑎 puissance zéro 𝑏 puissance 𝑛. Très bien. Appliquons ça et explicitant ce développement.

Donc, notre développement nous donne zéro parmi trois 𝑎 au carré puissance trois plus un parmi trois 𝑎 au carré puissance deux fois un sur 𝑎 au carré plus deux parmi trois 𝑎 au carré fois un sur 𝑎 au carré puissance deux plus trois parmi trois un sur 𝑎 au carré puissance trois. Maintenant, il nous faut calculer les coefficients de chacun de nos termes. Et pour cela, on a un parmi trois ou deux parmi trois et ainsi de suite. Et pour obtenir ces coefficients, il suffit de les saisir dans notre calculatrice.

Par exemple, si je veux déterminer un parmi trois, j'appuie sur trois. Puis j'appuie sur le bouton nCr de la calculatrice et ensuite sur un . Et cela nous donnera notre réponse, qui sera juste trois. On peut aussi vérifier nos coefficients en utilisant le triangle de Pascal. Comme on le voit, dans la ligne que nous regardons, et qui sera la quatrième ligne vers le bas car c'est là que nous aurons la puissance trois, nos coefficients seront un, trois, trois, un. Et donc quand on fait ça sur notre calculatrice, on peut vérifier que ça correspond bien à ça. Très bien, alors maintenant simplifions.

On obtient 𝑎 puissance six plus trois comme coefficient de 𝑎 puissance quatre sur 𝑎 puissance deux plus trois 𝑎 au carré sur 𝑎 puissance quatre plus un sur 𝑎 puissance six. Donc maintenant, on va simplifier tout ça. On a donc 𝑎 puissance six plus trois 𝑎 au carré. En effet, si nous avons trois 𝑎 puissance quatre divisé par 𝑎 au carré, il faut soustraire les puissances. Donc, quatre moins deux nous donne deux plus trois 𝑎 puissance moins deux plus 𝑎 puissance moins six. Pour nous rappeler comment nous avons obtenu ce dernier terme, c'est l’une des règles des puissances. Celle-ci est la suivante : un sur 𝑎 puissance 𝑏 égale 𝑎 puissance moins 𝑏.

Très bien, excellent. Nous avons maintenant effectué ce calcul et développé les premières parenthèses. Maintenant, on va passer à la deuxième. On va obtenir 𝑎 puissance trois plus trois 𝑎 au carré fois un sur 𝑎. Et juste pour se rappeler comment on a obtenu ça, notre coefficient, on le sait déjà puisqu'on l'a vu dans le cas précédent, on calcule nos coefficients binomiaux. Cela nous a donné un, trois, trois, un. Mais aussi, à partir du triangle de Pascal, nous savons que nous obtenons un, trois, trois, un. Donc le coefficient de ce terme sera trois. Ensuite, on sait que l'exposant de 𝑎 sera deux, car c'est 𝑛 moins un, puisque c'est notre deuxième terme. Et notre exposant de un sur 𝑎 sera juste un. Bon, rappelons-nous comment on a obtenu ça. On passe aux termes suivants.

Le terme suivant sera donc trois 𝑎 fois un sur 𝑎 au carré. Et pour finir, plus un sur 𝑎 au cube. Très bien. Alors maintenant, on va simplifier. Cela va donner, 𝑎 au cube plus trois 𝑎 au carré sur 𝑎 plus trois 𝑎 sur 𝑎 au carré plus 𝑎 puissance moins trois. Comme dans la première étape, on utilise la règle des puissances pour simplifier encore plus, puisque nous avons 𝑎 puissance 𝑏 sur 𝑎 puissance 𝑐 égale 𝑎 puissance 𝑏 moins 𝑐. Ce qui nous donne 𝑎 au cube plus trois 𝑎. On a obtenu ça parce qu'on avait trois 𝑎 au carré sur 𝑎, qui est 𝑎 puissance un, donc deux moins un nous donne un, donc juste trois 𝑎. Et puis, plus trois 𝑎 puissance moins un. Et enfin, plus 𝑎 puissance moins trois.

Maintenant, on a développé les deux. Que devons-nous faire ? Eh bien, si nous revenons à la question, nous sommes intéressés par le coefficient de 𝑎 puissance cinq. Par conséquent, si on examine une autre règle d'exposant, qui est 𝑎 puissance 𝑏 fois 𝑎 puissance 𝑐 égale 𝑎 puissance 𝑏 plus 𝑐, alors on va l'utiliser pour déterminer lequel de nos termes va nous donner 𝑎 puissance cinq. Et nous pouvons le faire parce que si nous observons l'expression originale, on peut voir qu'elle nous donne en fait le produit de la première expression entre parenthèses et la deuxième. Ainsi, chacun des termes va être multiplié par l'autre.

Donc, la première paire de termes que nous allons examiner est trois 𝑎 puissance deux fois 𝑎 puissance trois parce que cela va nous donner trois 𝑎 puissance cinq car deux plus trois égale cinq. Donc, parfait. Voilà donc notre premier terme impliquant 𝑎 puissance cinq. Le prochain couple de termes que nous allons examiner est 𝑎 puissance six fois trois 𝑎 puissance moins un. Car si on a six plus moins un, ça va nous donner cinq. Donc, 𝑎 puissance six fois trois 𝑎 puissance moins un nous donne trois 𝑎 puissance cinq.

Ensuite, si nous regardons chacune des combinaisons, il s'agit des deux seules paires de termes qui se multiplient effectivement et nous donnent 𝑎 puissance cinq. Nous avons donc trois 𝑎 puissance cinq et trois 𝑎 puissance cinq. Donc, on va donc additionner ces termes pour nous donner un terme avec 𝑎 puissance cinq. Et cela nous donne trois 𝑎 puissance cinq plus trois 𝑎 puissance cinq ce qui donne six 𝑎 puissance cinq.

Ensuite, on vérifie à nouveau la question. Et celle-ci dit, quel est le coefficient de 𝑎 puissance cinq ? Donc, nous pouvons affirmer que le coefficient de 𝑎 puissance cinq est égal à six.