Transcription de la vidéo
Étant donné que 𝑀 est le centre du cercle, déterminez la mesure de l’angle 𝑀𝑋𝑌.
Nous commencerons par trouver l’angle 𝑀𝑋𝑌 sur la figure. Nous rappelons que lorsqu’un angle est nommé avec trois lettres, la lettre du milieu est le sommet de l’angle. Donc, dans ce cas, notre angle a pour sommet 𝑋. Dans le diagramme donné du cercle de centre 𝑀, nous avons mis en évidence l’angle 𝑀𝑋𝑌 en orange. Collectons maintenant toutes les informations pertinentes qui sont données dans la figure du cercle. Nous voyons que l’angle 𝑋𝑀𝑌 fait 102 degrés. C’est la seule mesure d’angle donnée sur cette figure. Nous remarquons également que la corde 𝐴𝐵 a une longueur égale à celle de la corde 𝐴𝐶. Puisque 𝐴𝑋 est égal à 𝑋𝐵, nous identifions 𝑋 comme le milieu de la corde 𝐴𝐵. Et étant donné que 𝐶𝑌 est égal à 𝑌𝐴, nous concluons également que 𝑌 est le milieu de la corde 𝐴𝐶.
Lorsque nous considérons que nous avons deux cordes de même longueur dans le diagramme donné, cela nous rappelle un théorème selon lequel deux cordes de même longueur dans le même cercle sont équidistantes du centre. Nous savons également que la distance d’une corde au centre du cercle est mesurée par la longueur du segment perpendiculaire au milieu de la corde venant du centre du cercle.
Dans cet exemple, nous avons deux cordes 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 qui ont des longueurs égales. Et nous rappelons que la médiatrice d’une corde passera toujours par le centre du cercle. Puisque 𝑋 et 𝑌 sont les milieux des deux cordes et 𝑀 est le centre du cercle, les segments de droite 𝑀𝑋 et 𝑀𝑌 doivent être les médiatrices des deux cordes. Cela nous indique que 𝑀𝑋 est en fait la distance de la corde 𝐴𝐵 au centre du cercle et que 𝑀𝑌 est la distance de la corde 𝐴𝐶 au centre.
Puisque les deux cordes 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 ont des longueurs égales, elles doivent également être équidistantes du centre. Et cela nous dit que 𝑀𝑋 est égal à 𝑀𝑌. Après avoir marqué 𝑀𝑋 égal à 𝑀𝑌 en rose sur la figure, nous allons maintenant faire de la place.
Maintenant, nous tournons notre attention vers le triangle 𝑀𝑋𝑌. Puisque deux côtés de ce triangle ont des longueurs égales, le triangle 𝑀𝑋𝑌 est un triangle isocèle. Nous rappelons le théorème du triangle isocèle, qui stipule que si deux côtés d’un triangle sont superposables, alors les angles opposés à ces côtés sont superposables. Savoir que superposable veut dire de même mesure et que 𝑀𝑋 égale 𝑀𝑌 signifie que la mesure de l’angle 𝑀𝑋𝑌 est égale à la mesure de l’angle 𝑀𝑌𝑋. C’est important étant donné que nous recherchons la mesure de l’angle 𝑀𝑋𝑌. Nous marquons donc ces deux angles comme étant égaux sur la figure.
Maintenant, nous en savons beaucoup sur les trois angles intérieurs du triangle 𝑀𝑋𝑌. Nous savons que la mesure de l’angle 𝑋𝑀𝑌 est de 102 degrés et que la mesure des deux autres angles est égale. Nous rappelons également que la somme des angles intérieurs d’un triangle fait 180 degrés. Dans le cas du triangle 𝑀𝑋𝑌, cela signifie que la mesure de l’angle 𝑋𝑀𝑌 plus la mesure de l’angle 𝑀𝑋𝑌 plus la mesure de l’angle 𝑀𝑌𝑋 est égale à 180 degrés. Nous savons que la mesure de l’angle 𝑋𝑀𝑌 est égale à 102 degrés et que la mesure de l’angle 𝑀𝑋𝑌 est égale à la mesure de l’angle 𝑀𝑌𝑋. Nous allons donc remplacer ces expressions dans l’équation. Cela nous donne 102 degrés plus la mesure de l’angle 𝑀𝑋𝑌 plus la mesure de l’angle 𝑀𝑋𝑌 égale à 180 degrés.
Puisque la mesure de l’angle 𝑀𝑋𝑌 s’ajoute à elle-même, nous pouvons simplifier cela comme deux fois la mesure de l’angle 𝑀𝑋𝑌. Ensuite, en soustrayant 102 degrés de chaque membre de l’équation, on obtient deux fois la mesure de l’angle 𝑀𝑋𝑌 égale à 78 degrés. Enfin, après avoir divisé les deux membres de l’équation par deux, nous avons notre réponse. La mesure de l’angle 𝑀𝑋𝑌 est égale à 39 degrés.
C’est une bonne idée de vérifier rapidement les calculs. Nous voulons voir si les trois angles intérieurs de 102 degrés, 39 degrés et 39 degrés font bien 180 degrés. Ayant montré que le triangle 𝑀𝑋𝑌 est isocèle et vérifié que la somme des angles intérieurs est de 180 degrés, nous sommes confiants dans notre réponse finale.