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Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs moins un, zéro et un. Sachant que la loi de probabilité de 𝑋 est définie par la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 sur trois moins 𝑥, déterminez le coefficient de variation au pourcentage près.
Nous avons la fonction la loi de probabilité pour cette variable aléatoire discrète, mais elle est donnée en fonction d’une valeur inconnue 𝑎. Avant de pouvoir calculer le coefficient de variation, nous devons déterminer la valeur de 𝑎. Pour ce faire, nous rappelons que la somme de toutes les probabilités dans une loi de probabilité doit être égale à un. Donc, si nous pouvons trouver des expressions pour les probabilités pour les trois valeurs prises par cette variable aléatoire discrète - qui sont moins un, zéro et un - et ce seront des expressions en fonction de 𝑎, nous pouvons alors former une équation et la résoudre pour déterminer la valeur de 𝑎.
Premièrement, 𝑓 de moins un est 𝑎 sur trois moins moins un, qui est 𝑎 sur quatre. Puis 𝑓 de zéro est 𝑎 sur trois moins zéro, ce qui est 𝑎 sur trois. Et enfin, 𝑓 de un est 𝑎 sur trois moins un, ce qui est 𝑎 sur deux. Comme nous l’avons déjà dit, la somme de toutes les probabilités dans une loi de probabilité doit être égale à un. Nous avons donc l’équation 𝑎 sur quatre plus 𝑎 sur trois plus 𝑎 sur deux est égal à un.
Nous pouvons écrire chacun de ces termes avec un dénominateur commun de 12. Donc, nous avons trois 𝑎 sur 12 plus quatre 𝑎 sur 12 plus six 𝑎 sur 12 est égal à un. Cela se simplifie en 13𝑎 sur 12 est égal à un. Puis, en divisant les deux membres par 13 sur 12, ce qui équivaut à multiplier par l’inverse de cette valeur, 12 sur 13, nous trouvons que 𝑎 est égal à 12 sur 13.
Nous pouvons alors trouver explicitement chacune des probabilités. On a 𝑓 de moins un égale 𝑎 sur quatre. Cela fait donc 12 sur 13 multiplié par quatre, ce qui se simplifie en trois sur 13. Puis 𝑓 de zéro égale 𝑎 sur trois. Donc, c’est 12 sur 13 multiplié par trois, ce qui se simplifie en quatre sur 13. Et notre probabilité finale pour 𝑓 de un est 𝑎 sur deux. Donc, c’est 12 sur 13 multiplié par deux, ce qui se simplifie en six sur 13. Nous pouvons alors confirmer que la somme de ces trois probabilités est 13 sur 13, ce qui est en effet égal à un.
Nous avons donc trouvé les probabilités pour chaque valeur prise par cette variable aléatoire discrète. Écrivons maintenant la loi de probabilité dans un tableau. Nous écrivons les valeurs parmi l’étendue des valeurs prises par la variable aléatoire discrète dans la rangée du haut, puis leurs probabilités associées, que nous venons de calculer, dans la deuxième rangée.
Maintenant, la question nous demande de trouver le coefficient de variation pour cette variable aléatoire discrète. Cela donne l’écart-type en pourcentage de l’espérance de 𝑥. Si une variable aléatoire discrète 𝑋 a une espérance non nulle 𝐸 de 𝑋 et un écart-type sigma indice 𝑋, alors le coefficient de variation est donné par sigma indice 𝑋 sur 𝐸 de 𝑋 multiplié par 100.
Nous rappelons d’abord que pour trouver l’espérance d’une variable aléatoire discrète, nous multiplions chaque valeur prise par la variable par la probabilité correspondante, puis nous calculons la somme de ces valeurs. Nous pouvons ajouter une autre rangée à notre tableau pour calculer ces valeurs. Moins un multiplié par trois sur 13 est moins trois sur 13. Zéro multiplié par quatre sur 13 est zéro. Et un multiplié par six sur 13 est six sur 13. L’espérance de 𝑋 est donc la somme de ces trois valeurs, qui est trois sur 13.
Nous rappelons ensuite que l’écart-type de 𝑋 est la racine carrée de sa variance. Et la variance de 𝑋 est l’espérance de 𝑋 au carré moins le carré de l’espérance de 𝑋. Nous devons être très prudents par rapport à la différence de notation ici. Au deuxième terme, nous trouvons l’espérance de 𝑋, que nous venons de déterminer, puis nous la mettons au carré, tandis que dans le premier terme, nous trouvons l’espérance des valeurs au carré de 𝑋. Nous commençons donc par élever au carré les valeurs de 𝑋.
La formule de calcul de l’espérance de 𝑋 au carré est la somme des valeurs de 𝑥 au carré multipliées par les probabilités, qui sont directement héritées de la loi de probabilité de 𝑋. Nous pouvons ajouter une autre rangée à notre tableau pour les valeurs de 𝑥 au carré, qui sont un, zéro et un encore, puis une autre rangée dans laquelle nous multiplions chaque valeur de 𝑥 au carré par sa valeur de 𝑓 de 𝑥. Premièrement, nous avons un multiplié par trois sur 13, soit trois sur 13, puis zéro multiplié par quatre sur 13, ce qui fait zéro, et enfin un multiplié par six sur 13, soit six sur 13.
L’espérance de 𝑋 au carré est alors trois sur 13 plus zéro plus six sur 13, soit neuf sur 13. Ensuite, nous calculons la variance de 𝑋. C’est l’espérance de 𝑋 au carré. Cela fait neuf sur 13. À partir de cela, nous soustrayons le carré de l’espérance de 𝑋. Nous soustrayons donc trois sur 13 au carré. Neuf sur 13 moins trois sur 13 au carré donne la fraction exacte 108 sur 169.
Nous avons donc calculé la variance de 𝑋, puis nous devons calculer l’écart-type. Ceci est égal à la racine carrée de la variance. Et sous forme exacte, il s’agit de six racines trois sur 13.
Nous avons presque terminé. Nous avons trouvé l’écart-type de 𝑋 et l’espérance de 𝑋. Nous sommes donc enfin en mesure de calculer le coefficient de variation. Nous avons six racine de trois sur 13 pour l’écart-type divisé par trois sur 13 pour l’espérance multiplié par 100. Maintenant, diviser par trois sur 13 équivaut à multiplier par 13 sur trois. Nous pouvons ensuite éliminer un facteur 13, et nous pouvons également éliminer un facteur trois. Nous nous retrouvons donc avec deux racine de trois sur un multiplié par un sur un le tout multiplié par 100. En calculant sur une calculatrice, nous avons 346,41 etc…
La question précise que nous devons donner notre réponse au pourcentage près. Nous arrondissons donc à 346 pour cent. Maintenant, ne vous inquiétez si ce pourcentage est strictement supérieur à 100 pour cent. Un coefficient de variation de 346 pour cent signifie simplement que l’écart-type de 𝑋 est d’environ trois fois et demi son espérance, ce qui est tout à fait possible. Nous avons alors constaté que le coefficient de variation de 𝑋 au pourcentage près est de 346 pour cent.
