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Vidéo de la leçon : Angles de droites sécantes dans un cercle Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer les mesures d’angles résultant de l’intersection de deux cordes, de deux sécantes, de deux tangentes ou d’une tangente et d’une sécante dans un cercle.

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Transcription de vidéo

Angles de droites sécantes dans un cercle

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer les mesures d’angles résultant de l’intersection de deux cordes, de deux sécantes, de deux tangentes ou d’une tangente et d’une sécante dans un cercle. Commençons par le cas où deux cordes se coupent à l’intérieur d’un cercle. Nous avons ici tracé la corde 𝐴𝐵 coupant la corde 𝐶𝐷. Et nous appelons leur point d’intersection 𝐸.

Nous souhaitons trouver une expression de l’un des angles entre ces deux cordes. Essayons donc de trouver une expression de la mesure de l’angle 𝐵𝐸𝐶. Pour cela, nous allons commencer par joindre les points 𝐴 et 𝐶, ce qui donne le triangle 𝐴𝐸𝐶. La première chose que l’on remarque est que les angles 𝐴𝐸𝐶 et 𝐵𝐸𝐶 sont supplémentaires. La somme de leurs mesures est donc de 180 degrés.

Et 𝐴𝐸𝐶 est également un triangle. La somme des mesures des angles de ce triangle sera donc de 180 degrés. On constate alors que les deux expressions sur les membres gauches des équations sont égales à 180 degrés. Donc ces deux membres doivent être égaux. En annulant la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐶 des deux membres de cette équation, on obtient que la mesure de l’angle 𝐵𝐸𝐶 est égale à la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐸 plus la mesure de l’angle 𝐸𝐴𝐶.

Une autre façon d’envisager cela est que la somme de l’un ou l’autre des membres de l’équation et de la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐶 est égale à 180 degrés. Mais on peut reformuler davantage cette équation. Observons d’abord l’angle 𝐴𝐶𝐸. On peut voir que l’angle 𝐴𝐶𝐸 est exactement le même que l’angle 𝐴𝐶𝐷. Et le sommet de cet angle se situe sur la circonférence du cercle. En particulier, cet angle intercepte l’arc mineur de 𝐴 à 𝐷. On rappelle alors que cela signifie que la mesure de l’angle est égale à la moitié de la mesure de l’arc. La mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐸 est donc égale à un demi de la mesure de l’arc 𝐴𝐷. On peut ensuite faire exactement la même chose pour l’autre angle, l’angle 𝐸𝐴𝐶. Cette fois, cet angle intercepte l’arc mineur de 𝐵 à 𝐶. Par conséquent, la mesure de l’angle 𝐸𝐴𝐶 est égale à un demi de la mesure de l’arc 𝐵𝐶.

On peut remplacer ces deux expressions à la place des angles dans l’équation. On obtient alors que la mesure de l’angle 𝐵𝐸𝐶 est égale à un demi de la mesure de l’arc 𝐴𝐷 plus un demi de la mesure de l’arc 𝐵𝐶. Et on peut factoriser par un sur deux pour obtenir l’équation suivante. La mesure de l’angle 𝐵𝐸𝐶 est égale à un demi de la somme de la mesure de l’arc 𝐴𝐷 et de la mesure de l’arc 𝐵𝐶.

On peut considérer cela comme la moyenne des mesures des deux arcs interceptés par notre angle et par son angle opposé par le sommet. On peut trouver exactement de la même manière une expression de l’un des autres angles au point 𝐸. La mesure de l’angle sera égale à la moitié de la somme des mesures des arcs interceptés par cet angle et par son angle opposé par le sommet. La mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐶 est égale à un demi de la mesure de l’arc 𝐴𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐷.

Nous pouvons énoncer formellement ce résultat comme suit. Si deux cordes 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 dans un cercle se rencontrent en un point 𝐸, alors la mesure d’un des angles entre les deux cordes est égale à la moitié de la somme des mesures des arcs interceptés par cet angle et par son angle opposé par le sommet, ce qui nous donne les deux formules suivantes. La mesure de l’angle 𝐵𝐸𝐶 est égale à un demi de la mesure de l’arc 𝐴𝐷 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐶. Et la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐶 est égale à un demi de la mesure de l’arc 𝐴𝐶 plus la mesure de l’arc 𝐵𝐷. Voyons un exemple d’application de cette propriété où nous devons trouver la mesure d’un angle entre deux cordes dans un cercle.

Déterminez la mesure de 𝑥.

Dans cette question, nous devons trouver la mesure de 𝑥. Et on peut voir que 𝑥 est l’angle entre deux cordes d’un cercle. Ces cordes sont 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷. On rappelle alors la propriété suivante. L’angle entre deux cordes dans un cercle est égal à la moitié de la somme des mesures des arcs interceptés par cet angle et par son angle opposé par le sommet. Et on peut voir sur le schéma les mesures des deux arcs interceptés par l’angle 𝑥 et par son angle opposé par le sommet. Il s’agit de l’arc 𝐴𝐶, de mesure 73 degrés, et de l’arc 𝐷𝐵, de mesure 133 degrés. En appliquant cette propriété, on a donc 𝑥 égale un sur deux fois 73 degrés plus 133 degrés. Et on peut évaluer cette expression. 73 plus 133 égale 206, et un demi de cela égale 103 degrés.

Par conséquent, nous avons montré que l’angle 𝑥 représenté sur le schéma est égal à 103 degrés.

Nous pouvons suivre une méthode très similaire à la première démonstration pour déterminer la mesure d’un angle entre deux droites sécantes qui se coupent à l’extérieur d’un cercle, en rappelant qu’une droite sécante est le prolongement d’une corde. Considérons par exemple le schéma suivant avec les sécante 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 qui se coupent au point 𝐸. Nous souhaitons trouver une expression de la mesure de l’angle 𝐵𝐸𝐷. Pour cela, on crée à nouveau un triangle. On relie cette fois les points 𝐴 et 𝐷 par un segment.

Et on peut alors suivre exactement la même méthode que pour la première démonstration pour trouver une expression de la mesure de l’angle 𝐵𝐸𝐷. Tout d’abord, l’angle 𝐶𝐷𝐴 et l’angle 𝐴𝐷𝐸 sont supplémentaires, leur somme est donc égale à 180 degrés. Et on sait également que la somme des mesures des angles du triangle ADE est égale à 180 degrés. Par conséquent, la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐷 plus la mesure de l’angle 𝐷𝐴𝐸 plus la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐸 est égale à 180 degrés. Et ces deux expressions sont égales à 180 degrés. On peut donc poser les membres gauches des deux équations égaux. Et on remarque de plus que les deux membres contiennent la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐸, on peut donc l’annuler. On obtient ainsi que la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐷 plus la mesure de l’angle 𝐷𝐴𝐸 est égale à la mesure de l’angle 𝐶𝐷𝐴.

Une autre façon d’envisager cela est que la somme de l’un ou l’autre des membres de l’équation et de la mesure de l’angle 𝐴DE est égale à 180 degrés. Nous souhaitons à présent trouver une expression de la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐷. On soustrait donc la mesure de l’angle 𝐷𝐴𝐸 aux deux membres de l’équation. On obtient que la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐷 est égale à la mesure de l’angle 𝐶𝐷𝐴 moins la mesure de l’angle 𝐷𝐴𝐸.

Enfin, on peut trouver des expressions de ces deux angles puisqu’ils interceptent des arcs du cercle. Tout d’abord, l’angle 𝐷𝐴𝐸 intercepte l’arc de 𝐵 à 𝐷. Ensuite, l’angle 𝐶𝐷𝐴 intercepte l’arc de 𝐴 à 𝐶. Et on rappelle que la mesure d’un arc inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’arc qu’il intercepte. Par conséquent, la mesure de l’angle 𝐶𝐷𝐴 est égale à un demi de la mesure de l’arc de 𝐴 à 𝐶 et la mesure de l’angle 𝐷𝐴𝐸 est égale à un demi de la mesure de l’arc de 𝐵 à 𝐷. Et la différence entre ces deux valeurs est la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐷.

On peut enfin factoriser par un sur deux et on obtient que la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐷 est égale à un demi de la mesure de l’arc 𝐴𝐶 moins la mesure de l’arc 𝐵𝐷. Nous pouvons l’énoncer de manière plus formelle comme suit. Si 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont des sécantes qui se coupent en un point 𝐸 en dehors du cercle, alors la mesure de l’angle entre les deux sécantes est égale à la moitié de la différence positive entre les mesures des deux arcs interceptés par les côtés de l’angle. C’est-à-dire que la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐷 est égale à un demi de la différence positive de la mesure de l’arc 𝐴𝐶 et de la mesure de l’arc 𝐵𝐷. Voyons un exemple montrant comment utiliser cette propriété pour déterminer l’angle entre deux sécantes qui se coupent à l’extérieur d’un cercle.

Déterminez la mesure de 𝑥.

La question nous demande de trouver la valeur de 𝑥. Et on peut voir sur le schéma que 𝑥 est l’angle entre deux droites sécantes qui se coupent en dehors du cercle. On peut alors déterminer la mesure de 𝑥 en rappelant la propriété suivante. L’angle entre deux droites sécantes qui se coupent à l’extérieur d’un cercle est égal à la moitié de la différence positive des mesures des arcs interceptés par les côtés de l’angle.

Procédons donc étape par étape. Commençons par identifier les côtés de l’angle 𝑥. On peut voir que 𝑥 est l’angle entre les droites 𝐴𝐶 et 𝐴𝐸. Donc les deux côtés de l’angle sont les segments AC et AE. On doit ensuite déterminer les mesures des arcs interceptés par les deux côtés de l’angle. Le premier côté de l’angle coupe le cercle au point 𝐵 et son second côté coupe le cercle au point 𝐷. Donc un des arcs que nous allons utiliser est l’arc de 𝐵 à 𝐷. De même, le premier côté de l’angle coupe le cercle au point 𝐶 et son second côté coupe le cercle au point 𝐸. Donc l’autre arc qui nous intéresse est l’arc de 𝐶 à 𝐸.

La mesure de l’angle est par conséquent égale à un demi de la différence positive entre les mesures de ces deux arcs. Et puisque l’arc de 𝐶 à 𝐸 est plus grand que l’arc de 𝐵 à 𝐷, on obtient le résultat suivant. 𝑥 égale un demi de la mesure de l’arc 𝐶𝐸 moins la mesure de l’arc 𝐵𝐷. Et ces deux mesures sont indiquées sur le schéma. La mesure de l’arc 𝐶𝐸 est 132 degrés et la mesure de l’arc 𝐵𝐷 est 36 degrés. On substitue donc ces valeurs dans la formule. Et on obtient 𝑥 égale un demi de 132 degrés moins 36 degrés. On peut alors évaluer cette expression. 132 moins 36 égale 96. Et si on multiplie cette valeur par un sur deux, on obtient 48. Par conséquent, 𝑥 est égal à 48 degrés.

Nous avons ainsi pu trouver la valeur de 𝑥 sur ce schéma. Elle est égale à un demi de la différence entre la mesure de l’arc 𝐶𝐸 et la mesure de l’arc 𝐵𝐷, soit 48 degrés.

Voyons maintenant comment trouver l’angle entre deux tangentes à un cercle qui se coupent en un point situé à l’extérieur du cercle. Considérons par exemple les tangentes suivantes qui se coupent au point 𝐶. Nous souhaitons déterminer la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵. Si on appelle le centre du cercle 𝑀, alors 𝑀𝐴𝐶𝐵 est un quadrilatère. Et la somme des angles d’un quadrilatère est égale à 360 degrés.

Donc, la mesure de l’angle en 𝑀 plus la mesure de l’angle en 𝐴 plus la mesure de l’angle en 𝐶 plus la mesure de l’angle en 𝐵 égale 360 degrés. Puisque 𝐴 et 𝐵 sont les points d’intersection des tangentes avec le cercle et que 𝑀 est le centre du cercle, l’angle en 𝐴 et l’angle en 𝐵 sont des angles droits. Donc, ils sont tous les deux égaux à 90 degrés. On peut alors soustraire 180 degrés aux deux membres de l’équation et on obtient que la mesure de l’angle en 𝑀 plus la mesure de l’angle en 𝐶 égale 180 degrés. On peut voir sur le schéma que l’angle en 𝑀 est l’angle au centre qui intercepte l’arc de 𝐴 à 𝐶. Et on sait que la mesure d’un arc est égale à la mesure de son angle au centre. Donc dans ce cas, la mesure de l’angle en 𝑀 est égale à la mesure de l’arc de 𝐴 à 𝐵.

On peut alors substituer cela dans l’équation, puis réorganiser pour trouver une expression de la mesure de l’angle en 𝐶. On obtient que la mesure de l’angle en 𝐶 est égale à 180 degrés moins la mesure de l’arc de 𝐴 à 𝐵. Et nous pouvons énoncer formellement ce résultat comme suit. Si deux droites tangentes à un cercle aux points 𝐴 et 𝐵 se coupent en un point 𝐶, alors la mesure de l’angle entre les tangentes est égale à 180 degrés moins la mesure de l’arc entre les deux points d’intersection des tangentes avec le cercle. La mesure de l’angle en 𝐶 est égale à 180 degrés moins la mesure de l’arc de 𝐴 à 𝐵.

Voyons maintenant un exemple où nous utilisons cette propriété pour déterminer l’angle entre deux droites tangentes à un cercle qui se coupent en un point situé à l’extérieur du cercle.

Déterminez la mesure de 𝑥.

Dans cette question, nous devons trouver la valeur de 𝑥. Et on peut voir que 𝑥 est l’angle entre deux droites tangentes au cercle. Il s’agit des droites 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵. Elles touchent le cercle uniquement en un point, ce sont donc des tangentes. Nous pouvons alors déterminer la valeur de 𝑥 en rappelant la propriété suivante pour l’angle entre deux tangentes qui se coupent en un point extérieur au cercle.

On rappelle que l’angle entre deux tangentes qui se coupent en un point est égal à 180 degrés moins la mesure de l’arc entre les deux points d’intersection des tangentes avec le cercle. Sur le schéma, les points d’intersection des tangentes avec le cercle sont les points 𝐵 et 𝐶. Et l’arc entre 𝐵 et 𝐶 est l’arc mineur mis en évidence. Et nous connaissons la mesure de cet arc, elle est de 151 degrés. Notre propriété nous dit alors que la mesure de 𝑥 est égale à 180 degrés moins la mesure de l’arc 𝐵𝐶. On peut ensuite remplacer la mesure de l’arc 𝐵𝐶 par 151 degrés pour obtenir 𝑥 égale 180 degrés moins 151 degrés, ce qui fait 29 degrés.

Par conséquent, grâce à la propriété selon laquelle l’angle entre deux tangentes qui se coupent en un point extérieur d’un cercle est égale à 180 degrés moins la mesure de l’arc entre les deux points d’intersection des tangentes avec le cercle, nous avons pu montrer que 𝑥 est égal à 29 degrés.

Essayons enfin de trouver l’angle entre une tangente et une sécante qui se coupent à l’extérieur d’un cercle. Sur ce schéma, la tangente est 𝐴𝐷 et la sécante est 𝐶𝐵. Et nous souhaitons trouver la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐵. Nous allons la déterminer en utilisant une méthode très similaire aux trois dernières démonstrations. On commence par relier 𝐴 et 𝐵 pour construire le triangle 𝐴𝐵𝐷. L’angle 𝐶𝐵𝐴 et l’angle 𝐴B𝐷 sont supplémentaires donc la somme de leurs mesures est égale à 180 degrés. On a donc la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐴 plus la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐷 égale 180 degrés.

On sait de plus que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Donc la mesure de l’angle 𝐵𝐷𝐴 plus la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐷 plus la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐷 égale 180 degrés. Et on a maintenant deux expressions différentes dont la somme avec la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐷 est égale à 180 degrés. Donc ces deux expressions doivent être égales. La mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐴 est égale à la mesure de l’angle 𝐵𝐷𝐴 plus la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐷.

On peut soustraire la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐷 aux deux membres pour trouver une expression de la mesure de l’angle 𝐵𝐷𝐴. La mesure de l’angle 𝐵𝐷𝐴 est donc égale à la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐷 moins la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐴. On peut trouver une expression de la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐷 en ajoutant les deux rayons suivants au schéma. On rappelle ensuite que la somme des mesures des angles du quadrilatère 𝑀𝐴𝐷𝐵 est égale à 360 degrés. Puisque 𝐴 est le point d’intersection de la tangente avec le cercle, l’angle MAD est un angle droit. Ainsi, la somme des angles de ce quadrilatère - la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐵 plus 90 degrés plus la mesure de l’angle 𝐵𝐷𝐴 plus la mesure de l’angle 𝐷𝐵𝑀 - est égale à 360 degrés.

On sait de plus que la mesure de l’angle au centre 𝐴𝑀𝐵 est égale à la mesure de l’arc 𝐴𝐵. On peut donc substituer cela dans l’équation pour obtenir ce qui suit. Et en considérant les angles du triangle 𝐴𝐵𝐷, leur somme est égale à 180 degrés. Donc la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐷 est égale à 180 degrés moins la somme des deux autres angles, c’est-à-dire la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐷 et la mesure de l’angle 𝐵𝐷𝐴. Enfin, puisque 𝑀𝐴 et 𝑀𝐵 sont des rayons, cela signifie que 𝑀𝐴𝐵 est un triangle isocèle. Par conséquent, la mesure de l’angle 𝑀𝐴𝐵 et la mesure de l’angle 𝑀𝐵𝐴 sont égales. En particulier, comme l’angle 𝑀𝐴𝐷 est un angle droit, la mesure de l’angle 𝑀𝐴𝐵 est égale à 90 degrés moins la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐷.

Tout ce qu’il nous reste à présent à faire est d’utiliser le fait que la mesure de l’angle 𝐷𝐵𝑀 est égale à la somme de la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐷 et de la mesure de l’angle 𝑀𝐴𝐵. On peut alors les substituer dans notre expression et simplifier. Et on obtient le résultat suivant. La mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐷 est égale à un demi de la mesure de l’arc de 𝐴 à 𝐵. Faisons maintenant un peu de place et revenons à l’équation initiale.

On peut trouver une expression de la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐴 sur le schéma. L’angle 𝐶𝐵𝐴 intercepte l’arc majeur de 𝐴 à 𝐶. Et la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’arc qu’il intercepte. Donc un demi de la mesure de l’arc de 𝐴 à 𝐶. On peut alors substituer l’expression de la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐷, ce qui donne l’équation suivante que l’on peut réarranger pour isoler la mesure de l’angle 𝐵𝐷𝐴. La mesure de l’angle 𝐵𝐷𝐴 est égale à un demi de la mesure de l’arc majeur de 𝐴 à 𝐶 moins la mesure de l’arc de 𝐴 à 𝐵.

Un moyen facile de se souvenir de cela est que la mesure de l’angle est égale à la moitié de la différence des mesures des deux arcs interceptés par les côtés de l’angle. Et il faut bien sûr prendre la valeur positive de cette différence dans cette formule.

Avant de terminer, nous allons démontrer une dernière propriété. Nous avons déjà montré que la mesure de l’angle entre deux tangentes qui se rencontrent en un point est égale à 180 degrés moins la mesure de l’arc mineur entre les deux points d’intersection des tangentes avec le cercle. Nous pouvons démontrer un autre résultat en considérant la mesure de l’autre arc: appelons-le 𝑦. Ces deux arcs forment un cercle complet donc la somme de leurs mesures est égale à 360 degrés. Soustraire 𝑥 aux deux membres de l’équation donne 𝑦 égale 360 degrés moins 𝑥. Et nous voulons l’utiliser pour obtenir une expression d’un demi de la différence entre ces deux arcs. C’est-à-dire d’un demi de 𝑦 moins 𝑥.

On substitue cette expression à 𝑦 dans la différence. Et on obtient un demi de 360 moins 𝑥 moins 𝑥 qui se simplifie par 180 degrés moins 𝑥, ce qui, d’après la propriété précédente, est égal à la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵. En d’autres termes, on peut également considérer la mesure de l’angle entre deux tangentes qui se rencontrent en dehors d’un cercle comme la moitié de la différence des mesures des deux arcs entre les points d’intersection des tangentes avec le cercle.

Passons maintenant en revue les points clés de cette vidéo. Nous avons tout d’abord vu que si deux cordes se coupent en un point à l’intérieur du cercle, alors la mesure de l’angle entre les deux cordes est égale à la moitié de la somme des mesures des deux arcs interceptés par cet angle et par son angle opposé par le sommet. Nous avons ensuite montré que si deux sécantes, deux tangentes ou une sécante et une tangente se coupent en un point à l’extérieur d’un cercle, alors la mesure de l’angle entre elles est égale à la moitié de la différence positive des mesures des deux arcs interceptés par les côtés de l’angle. Enfin, nous avons vu que la mesure de l’angle entre deux tangentes qui se coupent à l’extérieur d’un cercle est égale à 180 degrés moins la mesure de l’arc mineur entre les deux points d’intersection des tangentes avec le cercle.

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