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Vidéo de la leçon: Fonctions polynomiales Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment identifier et écrire une fonction polynomiale à une variable et comment déterminer sa valeur à indiquer son degré et son coefficient dominant.

18:20

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment identifier et écrire une fonction polynomiale à une variable et comment déterminer sa valeur à indiquer son degré et son coefficient dominant.

Nous lisons cela comme 𝑓 de 𝑥, où 𝑓 est la fonction de la variable unique 𝑥. Le degré, ou l’ordre, de 𝑓 est 𝑛, qui est la puissance la plus élevée de la variable 𝑥 et doit être un entier positif. Et les coefficients 𝑎 indice 𝑖, où 𝑖 va de zéro à 𝑛, sont des constantes réelles. Jusqu’à présent, vous avez déjà travaillé avec certaines fonctions polynomiales, peut-être sans même vous en rendre compte. Par exemple, l’aire d’un carré, que nous pouvons appeler 𝐴 de 𝑥, donc 𝐴 est une fonction de 𝑥, est le carré de la longueur de son côté. Et c’est une fonction polynomiale de degré deux. Un polynôme de degré deux est appelé une fonction polynomiale de second degré, et celui-ci, 𝐴 de 𝑥, a un coefficient dominant égal à un.

Le volume d’un cube, que nous pouvons appeler 𝑉 de 𝑥, est égal à la longueur du côté au cube et c’est un polynôme de degré ou d’ordre trois. Nous appelons cela une fonction polynomiale cubique, et encore une fois, dans ce cas, son coefficient dominant est égal à un. D’autres exemples de fonctions polynomiales incluent les fonctions affines, qui ont un degré de un. Ainsi, 𝑛 est égal à un, et une fonction affine a la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 indice un fois 𝑥 plus 𝑎 indice zéro. Et dans l’exemple illustré, le coefficient dominant, 𝑎 indice un, est égal à trois et la constante, 𝑎 indice zéro, est égale à sept. Pour une fonction affine, puisque n’importe quel nombre à la puissance un est lui-même, nous pouvons laisser de côté la puissance 𝑛 égale à un de 𝑥.

Il convient également de souligner que puisque les puissances de 𝑥 vont de zéro à 𝑛, nous incluons 𝑥 à la puissance zéro dans les fonctions polynomiales. C’est juste que puisque n’importe quel nombre à la puissance zéro est égal à un et que tout ce qui est multiplié par un est lui-même, nous n’avons pas à écrire explicitement 𝑥 à la puissance zéro. Une fonction polynomiale d’ordre ou de degré 𝑛 n’inclut pas nécessairement toute puissance entière positive de 𝑥 inférieure à 𝑛. Ainsi, par exemple, 𝑔 de 𝑥 comme indiqué a le degré quatre mais n’inclut que 𝑥 aux puissances quatre, deux et zéro, pas à la puissance trois ou un.

Rappelez-vous maintenant que le degré 𝑛 doit être un entier positif, c’est-à-dire un nombre entier positif ou zéro. Ainsi, des fonctions telles que 𝑓 de 𝑥 est égale à la racine carrée de 𝑥 ne sont pas des fonctions polynomiales. Et c’est parce que la racine carrée d’une expression signifie l’expression à la puissance un demi, donc la puissance ou l’exposant de 𝑥 n’est pas un entier positif. De même, des fonctions comme 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥 plus deux ne sont pas des fonctions polynomiales. Parce que un sur une expression est cette expression à la puissance moins un, qui est un entier négatif.

D’autre part, les deux fonctions représentées de degrés deux et trois, respectivement, sont des fonctions polynomiales. La fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 au carré plus 11𝑥 moins un est un autre exemple de fonction du second degré. Et 𝑓 de 𝑥 est égal à quatre moins 𝑥 à la puissance trois, ou 𝑥 au cube, plus deux 𝑥 au carré est un autre exemple de fonction cubique. En fait, nous pouvons avoir des polynômes où 𝑛 est n’importe quel entier positif. Ainsi, notre degré pourrait être, par exemple, 42 ou sept, comme dans les deux derniers exemples, respectivement.

Pour rendre notre définition d’une fonction polynomiale un peu plus formelle, nous définissons les monômes, qui sont les éléments constitutifs des polynômes, comme le produit de constantes et de variables où les variables peuvent n’avoir que des exposants entiers positifs. Considérons la liste des expressions (a) à (g). Voyons lesquels d’entre eux sont des monômes.

L’expression (a) peut être réécrite comme 𝑥 à la puissance un. Et puisque un est un exposant entier positif, c’est un monôme. L’expression (b) consiste en une variable 𝑡 à la puissance six, donc c’est aussi un monôme puisque l’exposant six est un entier positif. L’expression (c), d’autre part, peut-être réécrite comme 𝑥 élevé à la puissance un tiers, ce qui n’est pas un entier positif. Cette expression n’est donc pas un monôme.

Pour (d), zéro est en fait un monôme, puisque zéro peut être écrit comme zéro fois 𝑥, ou toute autre puissance de 𝑥. En fait, comme indiqué précédemment, toute constante 𝑐 est un monôme, puisque 𝑐 peut s’écrire 𝑐 fois 𝑥 à la puissance zéro. C’est 𝑐 fois un. Maintenant, pour l’expression (e), ce n’est pas un monôme puisqu’il contient plus d’un terme, bien qu’il s’agisse en fait de la somme des monômes 𝑥 au carré et un. L’expression (f) n’est pas non plus un monôme, car moins deux, qui est l’exposant de 𝑦, est un entier négatif.

Et enfin, l’expression (g) est un monôme. C’est un terme unique et chaque variable de ce terme est élevée à un exposant entier positif. Nous pouvons réécrire ceci comme indiqué. Et le fait que la constante trois sur deux ne soit pas un entier importe peu, puisque seuls les exposants des variables doivent être des entiers positifs. Notez également qu’il s’agit d’un monôme multivariable puisqu’il y a trois variables, 𝑥, 𝑦 et 𝑧.

Ainsi, les expressions (a), (b), (d) et (g) sont des monômes.

Nous définissons un polynôme comme une expression qui est la somme de monômes, où chaque terme est appelé terme monôme. Une fonction polynôme est appelée fonction polynomiale. Et nous voyons que chaque terme de notre fonction polynomiale 𝑓 de 𝑥 est un monôme. Regardons un exemple où nous identifions des fonctions polynomiales.

Laquelle des fonctions suivantes est une fonction polynomiale ? Option (A) 𝑓 de 𝑥 est égal à la racine carrée de 𝑥 plus quatre. Option (B) 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 élevé à la puissance moins deux plus deux 𝑥 plus quatre. Option (C) 𝑓 de 𝑥 est égal à un sur 𝑥. L’option (D) 𝑓 de 𝑥 est égale à deux fois 𝑥 élevé à la puissance moins deux. Ou l’option (E) 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus quatre.

Pour répondre à cette question, rappelons que, par définition, chaque terme d’une fonction polynomiale à une seule variable doit être un monôme. C’est un produit de constantes et d’une seule variable avec uniquement des exposants entiers positifs. Examinons chaque option une par une pour voir si elles correspondent à cette définition.

Premièrement, nous voyons que l’option (A) contient le terme racine de 𝑥, qui équivaut à 𝑥 élevé à la puissance un demi. Puisqu’il s’agit d’une puissance non entière de la variable, l’option (A) ne peut pas être une fonction polynomiale. Maintenant, si nous considérons l’option (B), cette fois la fonction contient une puissance entière négative de 𝑥, c’est-à-dire moins deux. Ainsi, l’option (B) ne peut pas être une fonction polynomiale. Et en fait, l’option (D) contient la même puissance de 𝑥. Ainsi, nous pouvons éliminer l’option (D) pour la même raison.

Maintenant, regardons l’option (C). Par les lois des exposants, nous savons que un sur 𝑥 peut s’écrire comme 𝑥 élevé à la puissance moins un. Et puisque c’est à un entier négatif, l’option (C) ne peut pas être une fonction polynomiale. Cela laisse l’option (E).

En parcourant chaque terme de l’option (E), nous voyons que, tout d’abord, 𝑥 au carré est la variable 𝑥 élevée à un exposant entier positif. Deux 𝑥 peut être écrit comme deux fois 𝑥 élevé à la puissance un, donc ce terme est le produit d’une constante, deux, et de la variable unique 𝑥 élevée à un exposant entier positif. Et le terme final, quatre, est une constante, qui peut être écrite comme quatre fois 𝑥 élevé à la puissance zéro. Puisque ce terme est un monôme, la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus quatre est une somme de monômes. Ainsi, seule l’option (E) est une fonction polynomiale.

Voyons maintenant comment nous pouvons construire une fonction polynomiale à partir d’informations données sur un problème de la vie courante.

Un service de transport en bus coûte un prix fixe de 5 livres sterling plus 2 livres sterling pour chaque arrêt de bus parcouru. Écrivez une fonction polynomiale pour représenter le coût d’un trajet.

Pour construire une fonction polynomiale représentant le coût d’un trajet en bus, nous devons d’abord extraire les informations pertinentes de la question. On nous dit qu’il y a des frais fixes de cinq livres sterling. Ces cinq livres sterling seront une constante dans notre fonction. Ensuite, on nous dit qu’il y a des frais supplémentaires de deux livres sterling pour chaque arrêt de bus parcouru.

Le nombre d’arrêts de bus parcourus est une quantité variable, appelons cela 𝑥. Et il convient de noter que 𝑥 doit être un entier positif car il représente le nombre d’arrêts de bus parcourus. Cela signifie que si nous passons 𝑥 nombre d’arrêts de bus, nous devons payer deux 𝑥 livres sterling plus les frais fixes de cinq livres sterling. C’est le coût total du trajet en bus. Et en écrivant ceci en fonction de 𝑥, nous avons 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 plus cinq. Notre réponse est donc 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 plus cinq.

Il vaut la peine de vérifier que cette fonction est en fait un polynôme, puisque la question demande explicitement une fonction polynomiale. Pour ce faire, rappelons quelques définitions. Le premier est un monôme. Il s’agit d’un produit de constantes et de variables, où les exposants des variables ne peuvent être que des entiers positifs. La deuxième définition est celle d’une fonction polynomiale. C’est une fonction qui est une somme de monômes.

Dans notre cas, notre premier terme est deux 𝑥. Maintenant, deux 𝑥 est en fait deux fois 𝑥 élevé à la puissance un. Ainsi, nous avons le produit d’une constante, deux, et 𝑥 élevé à un exposant entier positif, un. Ce terme est donc un monôme. Notre deuxième terme est la constante cinq. Et cela peut être écrit comme cinq fois 𝑥 à la puissance zéro, en rappelant que 𝑥 à la puissance zéro est égal à un. Ainsi, le deuxième terme cinq est aussi un monôme, et notre fonction 𝑓 de 𝑥 est la somme des monômes.

Par conséquent, le coût du trajet en bus, où 𝑥 est le nombre d’arrêts de bus parcourus, peut être représenté par la fonction polynomiale 𝑓 de 𝑥 est égale à deux 𝑥 plus cinq. Rappelez-vous que pour calculer la valeur d’une fonction à une valeur spécifique de la variable, 𝑥, disons que 𝑥 est égal à 𝑎, nous remplaçons 𝑥 égal à 𝑎 dans 𝑓 de 𝑥 partout où 𝑥 apparaît, puis calculons le résultat. Par exemple, si on nous demande de trouver la valeur de 𝑓 de 𝑥 égale sept 𝑥 au cube moins quatre 𝑥 au carré plus trois en 𝑥 égale à deux, partout où nous avons un 𝑥 dans 𝑓 de 𝑥, nous remplaçons la valeur 𝑥 égale deux. Et puisque deux élevés à la puissance trois, ou au cube, font huit, et deux au carré font quatre, cela donne 56 moins 16 plus trois, ce qui fait 43.

Voyons un autre exemple de cela.

Si 𝑓 de 𝑥 est égal à moins huit 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus quatre, trouvez 𝑓 de moins trois.

On nous demande de trouver la valeur de 𝑓 de moins trois. Et nous rappelons qu’il s’agit d’une notation de fonction pour la valeur de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à moins trois. Cela signifie que dans notre fonction 𝑓 de 𝑥, partout où nous avons un 𝑥, nous remplaçons moins trois. Donc, nous avons 𝑓 de moins trois est égal à moins huit fois moins trois au carré moins trois fois moins trois plus quatre. C’est moins huit fois neuf plus neuf plus quatre, ce qui donne moins 59. Par conséquent, 𝑓 de moins trois est égal à moins 59.

Avant de passer à d’autres exemples, rappelons-nous une partie de la terminologie qui nous aidera à décrire le type de fonction polynomiale avec laquelle nous travaillons. Rappelez-vous que pour un polynôme à une seule variable, le plus grand exposant d’une variable dans un terme différent de zéro est appelé degré ou ordre d’un polynôme. Le terme dans un polynôme avec le degré le plus élevé est appelé le terme dominant du polynôme, et le facteur constant du terme dominant dans un polynôme est appelé le coefficient dominant. Regardons un exemple.

Trouvez le degré et le coefficient dominant de la fonction polynomiale 𝑓 de 𝑥 est égale à trois 𝑥 à la quatrième puissance plus deux 𝑥 au cube plus cinq 𝑥 au carré plus sept.

Pour répondre à cela, rappelons que pour une fonction polynomiale à une variable, le degré du polynôme est le plus grand exposant d’une variable dans tout terme non nul. Pour trouver le degré de la fonction polynomiale donnée, notons que la seule variable est 𝑥. Et nous pouvons réécrire le terme final pour inclure 𝑥 à la puissance zéro, puisque 𝑥 à la puissance zéro est égal à un. La variable apparaît alors dans chaque terme non nul. Nous pouvons alors voir que 𝑥 a des exposants quatre, trois, deux et zéro. Et le plus grand de ces exposants est égal à quatre. Le degré de la fonction est donc de quatre.

Nous notons en outre que le terme dans un polynôme avec le degré le plus élevé est appelé le terme dominant du polynôme. Et dans notre cas, le terme de degré le plus élevé est le terme où l’exposant de 𝑥 q est quatre. C’est trois fois 𝑥 à la puissance quatre. Donc, c’est notre terme dominant. Mais on ne nous demande pas le terme dominant de la fonction polynomiale ; on nous demande le coefficient dominant. C’est le facteur constant du terme dominant, et c’est égal à trois. Par conséquent, le degré de la fonction polynomiale donnée est de quatre et son coefficient dominant est de trois.

Nous pouvons obtenir des informations sur la forme et la complexité d’un polynôme à partir de son degré. Et nous donnons des noms spécifiques à certaines familles de polynômes en fonction de leur degré. Nous en avons vu quelques-uns au début de cette vidéo. Une fonction polynomiale de degré zéro est appelée fonction constante. Une fonction polynomiale de degré un est appelée fonction affine. Une fonction polynomiale de degré deux est appelée fonction du second degré. L’une de degré trois est appelé fonction cubique. Une fonction polynomiale de degré quatre est appelée fonction quartique. Et une de degré cinq est une fonction quintique.

Comme nous l’avons vu, une fonction constante a la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 pour un nombre réel 𝑎. Nous pouvons écrire cela sous la forme 𝑎 fois 𝑥 à la puissance zéro, puisque 𝑥 à la puissance zéro est égal à un. Le degré est donc zéro. Il convient de noter, cependant, que pour le cas particulier où 𝑎 est égal à zéro, c’est ce qu’on appelle le polynôme zéro. Et en rappelant la définition de degré, le plus grand exposant d’une variable dans tout terme non nul, dans cette fonction spéciale, chaque terme est nul. Par conséquent, nous laissons le degré du polynôme zéro comme indéfini. Il existe des noms pour les polynômes de degré supérieur à cinq, mais nous ne les utilisons pas couramment. Regardons un exemple de détermination du type d’une fonction polynomiale.

Identifiez le nom de la fonction polynomiale 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 au cube plus trois 𝑥 plus cinq.

Maintenant, nous pourrions être tentés de nommer notre fonction polynomiale quelque chose comme Fred ou Philomena. Mais ce serait idiot. Au lieu de cela, nous rappelons que nous nommons les fonctions polynomiales en fonction de leur degré. Autrement dit, dans un polynôme à une seule variable, le degré est le plus grand exposant d’une variable dans n’importe quel terme non nul. Nous pouvons réécrire la fonction donnée comme indiqué de sorte que chaque terme soit le produit d’une constante et d’une variable à une puissance. Par conséquent, le terme final est en fait cinq à la puissance zéro et le terme avant cela est de trois 𝑥 à la puissance un.

Nous voyons maintenant que le plus grand exposant de la variable 𝑥 est trois dans le second terme. C’est donc le degré du polynôme. Enfin, rappelons que les polynômes à une seule variable de degré trois sont appelés fonctions cubiques. Par conséquent, 𝑓 de 𝑥 une fonction cubique.

Complétons maintenant cette vidéo en récapitulant certains des points importants que nous avons couverts.

Premièrement, un monôme est un produit de constantes et de variables où les variables ne peuvent avoir que des exposants entiers positifs. Un polynôme est une expression qui est une somme de monômes. Un polynôme à une variable est un polynôme contenant une seule variable. Le degré d’un polynôme est le plus grand exposant de la variable dans n’importe quel terme non nul. Le terme dominant d’un polynôme est le terme de degré le plus élevé. Le coefficient dominant est le facteur constant du terme dominant.

Et enfin, certains types de fonctions polynomiales ont des noms spécifiques en fonction de leur degré. Un polynôme de degré zéro est appelé fonction constante. Le premier degré est une fonction affine. Le degré deux est une fonction du second degré. Le degré trois est cubique. Le degré quatre est appelé fonction quartique. Et un polynôme de degré cinq est appelé fonction quintique.

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