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La courbe représentative de la dérivée première 𝑓 prime d’une fonction 𝑓 est donnée. Quelles sont les abscisses 𝑥 des points d’inflexion de 𝑓 ?
On nous donne une représentation graphique de la dérivée première 𝑓 prime d’une fonction 𝑓. Nous devons l’utiliser pour déterminer les abscisses 𝑥 de tous les points d’inflexion de notre fonction 𝑓. Pour commencer, rappelons ce que nous entendons par les abscisses 𝑥 des points d’inflexion d’une fonction 𝑓. Les points d’inflexion pour notre fonction 𝑓 seront les points où notre fonction change de concavité et où notre fonction est continue.
Ainsi, les abscisses 𝑥 de ces points d’inflexion seront les points où 𝑓 change de concavité en 𝑥 et où 𝑓 est continue en 𝑥. Il y a donc deux choses qui doivent être vraies pour nos points d’inflexion. Commençons par 𝑓 étant continue en 𝑥. Dans cette question, on ne nous dit pas grand-chose sur notre fonction 𝑓 de 𝑥. En fait, on ne nous dit rien sur la continuité de 𝑓 de 𝑥. Tout ce que nous avons donné est une courbe 𝑦 est égal à 𝑓 prime de 𝑥.
Mais nous devons nous rappeler que si une fonction est dérivable en un point, alors elle doit en fait être continue en ce point. Et nous pouvons voir sur notre courbe que 𝑓 de 𝑥 est dérivable pour toutes les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à zéro et inférieures ou égales à neuf. Donc, 𝑓 de 𝑥 est également continue sur cet intervalle. Elle est continue sur l’intervalle fermé de zéro à neuf.
Donc, en fait, dans ce cas, nous ne devons pas nous inquiéter de cette stipulation pour nos points d’inflexion. Notre fonction va être continue pour toutes nos valeurs de 𝑥. Donc, dans ce cas, nous pouvons simplement supprimer cette condition et nous inquiéter entièrement des points où notre courbe change de concavité.
Pour ce faire, nous allons devoir rappeler ce que nous entendons par la concavité de la courbe 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥. Nous rappelons que nous disons que la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥 est convexe sur un intervalle si sur cet intervalle toutes ses droites tangentes se trouvent en dessous de la courbe. De même, nous disons que la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥 est concave sur un intervalle si sur cet intervalle toutes ses droites tangentes se trouvent au-dessus de la courbe.
Ainsi, nos points d’inflexion pour la courbe 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 seront là où notre courbe passe de convexe à concave ou inversement. Mais nous pouvons utiliser ceci directement si on nous donne la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥. Mais cela ne nous est pas donné dans cette question. Dans cette question, on nous donne plutôt la courbe 𝑦 est égal à 𝑓 prime de 𝑥. Donc, au lieu de cela, nous devons maintenant penser à ce que signifie la concavité de la courbe 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥 pour notre courbe 𝑦 égale 𝑓 prime de 𝑥 ?
Pour répondre à cela, nous devons rappeler ce que 𝑓 prime de 𝑥 signifie. 𝑓 prime de 𝑥 nous donne la pente de la tangente en 𝑥. Donc, pour déterminer ce qui arrive à 𝑦 est égal à 𝑓 prime de 𝑥 lorsque la concavité change, nous devons déterminer ce qui arrive à la pente de notre courbe sur les intervalles où notre courbe est convexe et sur les intervalles où notre courbe est concave.
Commençons par la pente de nos droites tangentes sur des intervalles où notre courbe est convexe. Dans notre croquis, nous pouvons voir que notre droite tangente commence par une pente négative. Finalement, leur pente descend à zéro. Et puis, après cela, elles deviennent positives. En fait, nous pouvons rappeler que cela est toujours vrai. Sur un intervalle où 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 est convexe, la pente de nos droites tangentes augmentera. Mais nous pouvons alors poser la question, qu’est-ce que cela signifie pour la courbe 𝑦 égale 𝑓 prime de 𝑥 ?
Rappelez-vous, 𝑓 prime de 𝑥 mesure la pente de notre tangente. Donc, si la pente de notre droite tangente est croissante, cela signifie que notre fonction 𝑓 prime de 𝑥 doit également être croissante. Donc, pour trouver les intervalles où 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 est convexe, nous pouvons plutôt trouver les intervalles où la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 prime de 𝑥 est croissante. Et nous pouvons faire quelque chose de très similaire pour trouver les intervalles où notre courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 est concave.
Sur ces intervalles, la pente de nos tangentes sera décroissante. Et puisque 𝑓 prime de 𝑥 mesure la pente de nos tangentes, cela signifie que sur ces intervalles, 𝑦 égale 𝑓 prime de 𝑥 sera décroissante.
Alors maintenant, tout ce que nous devons faire est de regarder la courbe 𝑦 est égal à 𝑓 prime de 𝑥 et de déterminer où elle croît et où elle décroît. Commençons à partir de 𝑥 est égal à zéro. Nous pouvons voir à partir de 𝑥 est égal à zéro jusqu’à 𝑥 est égal à un, que notre courbe se déplace vers le haut. En d’autres termes, 𝑦 est égal à 𝑓 prime de 𝑥 est croissante. Cependant, lorsque 𝑥 est égal à un, nous pouvons voir notre courbe tourne. Elle se déplace maintenant vers le bas. Cela signifie qu’elle est décroissante.
Donc, dans ce cas, lorsque 𝑥 est égal à un, 𝑓 prime de 𝑥 passe d’une fonction croissante à une fonction décroissante. Et rappelez-vous, lorsque 𝑓 prime de 𝑥 croît puis décroît, cela signifie que 𝑓 de 𝑥 passe d’être convexe à concave. Et si notre fonction 𝑓 change de concavité à cette valeur de 𝑥 et est continue en ce point, alors c’est un point d’inflexion.
Il doit donc y avoir un point d’inflexion pour notre fonction 𝑓 lorsque 𝑥 égale un. Si nous continuons ainsi, nous pourrons trouver plus de points d’inflexion. Nous pouvons voir que 𝑓 prime de 𝑥 décroît jusqu’à 𝑥 est égal à deux. Et puis nous pouvons voir que 𝑥 est supérieur à deux, notre courbe 𝑦 égale 𝑓 prime de 𝑥 se déplace vers le haut. Elle est croissante.
Donc, encore une fois, nous pouvons voir que lorsque 𝑥 est égal à deux, 𝑓 prime de 𝑥 passe de décroissante à croissante. Et bien sûr, nous savons que lorsque 𝑓 prime de 𝑥 passe de décroissante à croissante, 𝑓 de 𝑥 passe de concave à convexe. Donc, 𝑓 change de concavité en 𝑥 est égal à deux. Et par conséquent, 𝑓 de 𝑥 a un point d’inflexion lorsque 𝑥 est égal à deux.
Et nous pourrions continuer à trouver tous ces points graphiquement. Par exemple, nous trouverions un autre point d’inflexion lorsque 𝑥 est égal à trois. Mais il convient également de souligner que nous savons trouver tous ces points pour que notre courbe continue 𝑦 soit égale à 𝑓 prime de 𝑥. Ceux-ci seront où nos tangentes que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à zéro ou, en d’autres termes, 𝑓 double prime de 𝑥 est égale à zéro.
Mais rappelez-vous, cela ne fonctionnera que si 𝑓 prime de 𝑥 est continue. Et nous savons que 𝑓 de 𝑥 et 𝑓 prime de 𝑥 ne sont pas nécessairement continues. Donc, cela ne fonctionnera que dans certaines situations. Il convient donc de garder à l’esprit ces deux méthodes. Elles peuvent être utiles dans différentes situations.
Par conséquent, nous avons pu trouver les abscisses 𝑥 des points d’inflexion de notre fonction 𝑓 en regardant les intervalles où la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 prime de 𝑥 croît et décroît. Nous avons pu montrer que 𝑓 a des points d’inflexion en 𝑥 est égal à un, 𝑥 est égal à deux, 𝑥 est égal à trois, 𝑥 est égal à cinq et 𝑥 est égal à sept.
