Vidéo de la leçon : Simplifier les radicaux — Minimiser la valeur sous la racine Mathématiques

Comprendre comment utiliser les facteurs carrés pour minimiser la valeur sous la racine dans une expression radicale et comment l’utiliser pour simplifier les expressions radicales, ou racines.

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Transcription de vidéo

Jetons un coup d’œil à la simplification des radicaux. Maintenant, selon l’endroit où vous vivez, vous pouvez utiliser des mots comme des racines ou des nombres irrationnels, mais ils signifient tous la même chose. Maintenant, ce que nous allons faire est de réduire au minimum le radical. Donc, si nous avons quelque chose dans ce format ici, comme la racine carrée de vingt, et il est considéré comme poli parmi les mathématiciens de minimiser le nombre qui se trouve à l’intérieur de ce signe racine carrée. Nous recherchons donc des facteurs qui sont des nombres carrés, puis nous les factorisons comme nous les avons ici et les simplifions. Et pour que le nombre qui reste à l’intérieur de la racine carrée ou du radical soit aussi petit que possible. C’est ce qu’on appelle « simplifier les radicaux ». Jetons donc un coup d’œil à quelques exemples.

À ce moment-là, notre premier exemple est de simplifier la racine carrée de huit. Donc, ce que nous devons faire, c’est regarder huit et voir si nous pouvons trouver des facteurs qui sont des nombres carrés. En fait, ce que nous aimons vraiment faire, c’est chercher le plus grand nombre, qui est un nombre carré et aussi un facteur de huit, que nous pouvons trouver. Et nous pouvons voir que quatre et deux sont des facteurs de huit. Et quatre est un nombre carré, nous allons donc devoir prendre la racine carrée de quatre et obtenir un entier. Et puis nous allons écrire un peu différemment. Ainsi, la racine carrée de huit est la même que la racine carrée de quatre fois deux. Et nous pouvons séparer cela en deux termes distincts : donc la racine carrée de quatre et la racine carrée de deux, et nous multiplions ces deux ensemble. Donc, ce bout ici et ce bout ici sont tous équivalents. La racine carrée de quatre est donc deux. Donc, cela nous donne deux fois racine de deux, c’est donc cette réponse ici.

La question suivante est donc de simplifier la racine carrée de cinquante. Eh bien, il y a pas mal de facteurs différents de cinquante. Nous en avons donc cinq ; nous en avons dix, mais ce ne sont pas des nombres carrés. Donc, ce que nous recherchons, souvenez-vous est le plus grand facteur de cinquante, qui est un nombre carré. J’ai donc tendance à parcourir et à dire ce qui est divisé par cinquante par deux, ce qui est divisé par trois, ce qui est divisé par quatre et continuer jusqu’à ce que ma réponse soit un nombre carré. Et en fait, cinquante divisé par deux est vingt-cinq, et vingt-cinq est un nombre carré. Je peux donc réécrire la racine carrée de cinquante comme racine carrée de vingt-cinq fois deux. Et c’est la même chose que la racine carrée de vingt-cinq fois la racine carrée de deux. Et bien sûr, la racine carrée de vingt-cinq est cinq. C’est donc l’équivalent de cinq racine deux.

Et le suivant, simplifie la racine carrée de vingt-huit. D’accord, encore une fois, nous recherchons des facteurs de vingt-huit qui sont des nombres carrés. Donc, vingt-huit divisé par deux, c’est quatorze ; deux et quatorze, ce ne sont pas des nombres carrés. Vingt-huit divisé par quatre est sept, alors bien quatre et sept, quatre est un nombre carré. Essayons-nous de diviser par trois ? Non, Et puis nous divisons par quatre ; oh, nous sommes revenus à quatre. Nous n’avons donc plus de facteurs. Nous savons donc que le plus grand facteur carré est de quatre. Nous pouvons donc écrire cela comme la racine carrée de quatre fois sept, ce qui équivaut à la racine carrée de quatre fois la racine carrée de sept. Et bien sûr, la racine carrée de quatre est deux. Cela nous donne donc notre réponse deux fois racine sept ou seulement deux racine sept.

Bon, alors le dernier exemple rapide que nous allons examiner est celui-ci : la racine carrée de trente-deux. Pensons donc aux facteurs qui sont des nombres carrés. Donc, si j’essaie de diviser par deux, puis par trois, puis par quatre et de voir lequel des autres facteurs apparaît comme un nombre carré, trente-deux divisé par deux est seize. Et bien sûr, seize est un nombre carré. La racine trente-deux est donc la même que la racine seize fois deux. Et comme nous l’avons vu précédemment, c’est la même chose que la racine carrée de seize fois la racine carrée de deux. Et parce que la racine carrée de seize est quatre ; cela équivaut à quatre fois racine deux ou juste quatre racine deux.

Maintenant, cela vaut la peine de recommencer celui-ci d’une manière légèrement différente juste pour montrer que certains des problèmes que vous pouvez rencontrer si vous ne trouvez pas le plus grand facteur de ce nombre, qui est un nombre carré. Ainsi, par exemple, trente-deux a également des facteurs quatre et huit, donc quatre fois huit. Quatre est un nombre carré. J’ai donc écrit cela comme la racine carrée de quatre fois huit, ce qui bien sûr est la racine carrée de quatre fois la racine carrée de huit, ce qui nous donne deux racines huit. Nous pensons donc que nous avons deux réponses différentes pour la même question. Mais le problème est que cette seconde que nous avons ici n’est pas complètement simplifiée parce que comme nous l’avons vu ici, la racine carrée de huit peut être écrite comme deux racines deux ; c’est donc dans sa forme la plus simple. Parce que nous n’avons pas trouvé le plus grand facteur de trente-deux, qui est un nombre carré, nous l’avons un peu simplifié, mais nous n’avons pas complètement simplifié cette expression. Donc, comme la racine huit est identique à deux racine deux, cette expression signifie ici deux fois deux racine deux, ce qui est évidemment quatre racine deux. Donc, en continuant et en repérant le fait que je ne l’ai pas entièrement simplifié, je peux toujours obtenir la même réponse correcte. Mais la vie est tellement plus facile si vous avez trouvé le plus grand facteur carré du nombre en premier lieu.

Bon alors, jetons un œil à cette question.

Résoudre 𝑥 au carré est égal à deux cents, laissant votre réponse au format racine dans sa forme la plus simple. Il est donc dit format racine ici. Cela pourrait signifier dans un format radical ou cela pourrait signifier de l’exprimer comme un multiple d’un nombre irrationnel ; vous pouvez rencontrer cela sous l’une ou l’autre de ces formes. Écrivons donc cette expression : 𝑥 au carré est égal à deux cents. Eh bien, si nous résolvons cela, nous voulons savoir ce que 𝑥 est égal. Alors, que devons-nous faire pour 𝑥 au carré pour le transformer en 𝑥 ? Eh bien, nous devons prendre la racine carrée des deux côtés de l’équation. Donc, la racine carrée de 𝑥 au carré est 𝑥 et c’est égal à la racine carrée de deux cents. Mais ce n’est pas aussi simple que cela car cela pourrait être une racine plus deux cents ou il pourrait être moins racine deux cents parce que moins fois moins donne plus.

Donc nous y sommes, 𝑥 est égal à plus ou moins racine deux cents. Eh bien, nous l’avons résolu, mais nous devons encore le mettre sous sa forme la plus simple. Nous devons donc essayer de chercher des facteurs de deux cents, qui sont des nombres carrés et nous voulons le plus grand de ceux que nous pouvons. Je cherche donc le plus grand facteur carré que je puisse trouver de deux cent fois puis autre chose. Donc, deux cents, donc on va diviser par deux, diviser par trois, diviser par quatre jusqu’à ce que nous trouvions l’autre facteur qui est un nombre carré. Donc, deux cents divisé par deux, c’est cent. Ah, c’est un nombre carré. C’est donc cent fois deux. Et nous pouvons diviser les cent et les deux, rappelez-vous, c’est donc plus ou moins la racine carrée de cent fois la racine carrée de deux. Et parce que la racine carrée de cent est dix. Cela devient dix fois racine deux ou dix racine deux. Donc, notre réponse finale ici est plus ou moins dix racine deux.

Ainsi, l’exemple suivant, un rectangle a des côtés de cinq plus racine sept centimètres et cinq enlèvent racine sept centimètres. Trouvez le périmètre et l’aire du rectangle, en donnant vos réponses sous leur forme la plus simple. Donc, tout d’abord, je recommande fortement de dessiner une figure, cela vous aide toujours à recueillir vos pensées et à comprendre ce que vous avez à faire. Donc, essentiellement, nous avons un côté qui a une longueur de cinq plus la racine sept. Je vais mettre cela entre parenthèses juste pour rendre certains de nos calculs un peu plus clairs. Et l’autre côté est cinq moins la racine sept. Donc, pour le travail sur le périmètre, je vais juste ajouter la longueur de tous les côtés, de sorte que un plus que un plus un plus que celui-là. Et pour déterminer l’aire, il suffit de faire la longueur multipliée par la largeur du rectangle.

Donc, pour déterminer le périmètre, nous avons cinq racine sept moins ici et cinq racine sept moins ici. Nous allons donc ajouter deux de ces ensemble, de sorte que ce sont ces deux là. Donc, deux fois cinq moins sept racine et nous avons cinq plus sept racine ici. Et nous devons ajouter cela à cinq autres plus sept racine ici, nous avons donc deux de ceux que nous ajoutons ici. Donc, c’est en quelque sorte de multiplier les parenthèses comme ceci. Ces deux fois cinq et deux fois racine sept puis deux fois cinq et deux fois moins racine sept. Donc, la première tranche, deux fois cinq, c’est dix et deux fois racine sept, c’est deux racine sept. Et pour le deuxième support, nous avons deux fois racine cinq — oh désolé ! deux fois cinq, ce qui est encore dix, et nous avons deux fois moins racine sept, ce qui est moins deux racine sept. J’en ai donc dix et j’en ajoute dix, ce qui nous donne vingt. Et puis j’ai deux racine sept. Et puis je prends le même montant - deux autres racines sept. Donc, ces deux-là vont juste s’annuler. La longueur totale est donc de vingt. N’oubliez pas d’ajouter dans la longueur — les unités qui sont des centimètres. Donc, la réponse est que le périmètre est de vingt centimètres.

Et alors que nous nous préparons à travailler sur l’aire, je vais multiplier la longueur par la largeur. C’est donc cinq plus la racine sept fois cinq moins la racine sept. Donc, pour multiplier ces supports, je vais utiliser ma méthode FOIL — First, Outer, Inner, Last . Donc, cinq fois cinq, c’est vingt-cinq ; cinq fois moins la racine sept est moins cinq racine sept. Ensuite, j’ai à nouveau cinq fois la racine sept, mais c’est positif fois positif dans ce cas, cela fait une racine plus cinq sept. Et puis racine sept fois racine sept, et nous avons plus fois moins un égal moins un.

Donc, l’expression est vingt-cinq moins cinq racine sept plus cinq racine sept. Eh bien, ils vont s’annuler. Car si j’ai moins cinq racine sept et que j’en ajoute cinq racine sept, je vais — j’ajoute quelque chose à son opposé ; Je vais arriver à zéro, puis j’ai moins la racine sept fois la racine sept.

Maintenant, la définition d’une racine carrée est ce qui signifie que lorsque vous la multipliez par elle-même, vous obtenez ce nombre. Donc, racine sept fois racine sept va être sept. Pensez-y, si vous aviez la racine carrée de quatre fois la racine carrée de quatre, eh bien la racine carrée de quatre est deux. Donc deux fois deux font quatre. Si j’avais la racine carrée de seize fois la racine carrée de seize, la racine carrée de seize est quatre, donc c’est quatre fois quatre nous donnerait seize. Ainsi, la racine carrée de sept fois la racine carrée de sept est simplement égale à sept. Cela signifie donc que nous en avons vingt-cinq moins sept, et vingt-cinq moins sept, c’est dix-huit. N’oubliez pas que l’unité d’aire est le centimètre carré dans ce cas, car les mesures étaient en centimètres. Notre réponse est donc de dix-huit centimètres carrés.

Bon, passons à notre dernier exemple dans cette section.

Simplifiez complètement une racine plus deux fois quatre racine moins deux, en donnant à votre réponse sous la forme une racine plus b deux, où 𝑎 et 𝑏 sont des entiers. Donc, ce qu’ils vous disent de faire, c’est de multiplier ces parenthèses ensemble. Et nous venons d’en voir un exemple en utilisant la méthode FOIL, mais ils demandent la réponse dans un format très spécifique. Et ils ont l’intention de jeter ce genre de petits rebondissements pour essayer de vous décourager parfois. 𝑎 plus 𝑏 racine deux, donc cela signifie simplement un entier — donc un nombre entier — plus un nombre entier fois la racine carrée de deux. Donc, ils ne vous demandent pas la valeur de 𝑎 ou 𝑏 en particulier, ils vous demandent simplement de représenter votre réponse dans ce type de mise en page. D’accord, écrivons la question et arrêtons de multiplier les parenthèses.

Nous allons donc faire un fois quatre, ce qui nous donne quatre. Nous sommes alors allez faire un fois moins racine deux, ce qui est juste moins racine deux. Racine ensuite deux fois quatre ou quatre fois racine deux, ils sont tous les deux des nombres positifs ; donc ça va être une réponse positive. Et puis nous avons la racine plus deux fois moins racine deux. Donc positif fois négatif va nous donner une réponse négative et nous avons racine deux fois moins racine deux. Donc j’ai vraiment besoin de ça pour le moment, mais nous savons que racine deux fois racine deux comme nous venons de le voir n’est que deux. Nous en avons donc quatre moins deux en termes de nombres rationnels normaux, et quatre moins deux, c’est deux. Et puis nous commençons avec moins racine deux. Eh bien, cela signifie vraiment qu’il n’y en a qu’un. C’est donc vraiment moins une racine deux, un fois racine deux. Et puis nous ajoutons quatre autres fois racine deux. Donc, si nous commençons moins un sur la droite numérique et ajoute quatre, nous allons aller un, deux, trois, quatre étapes positives jusqu’à trois.

Voici donc notre réponse, deux plus trois racine deux. Et cela correspond au format dans lequel on nous a demandé de donner la réponse. Donc dans ce cas, 𝑎 serait deux et 𝑏 est le multiplicateur de la racine deux ici serait égal à trois. Vérifiez bien les signes. On nous a donc demandé 𝑎 plus 𝑏 racine deux. Eh bien, nous avons deux plus trois racine de deux. Nous savons donc que 𝑎 sera deux et 𝑏 sera trois. Comme je l’ai déjà dit, ils n’ont pas demandé la valeur de 𝑎 et 𝑏. Mais dans certaines questions, ils le font ; donc au moins vous savez maintenant comment répondre à ce genre de questions.

J’espère que cela vous a aidé à voir comment simplifier les radicaux ou les nombres irrationnels ou les racines dans quelques exemples de base.

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