Vidéo : Intégrales définies comme limites des sommes de Riemann

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à interpréter une intégrale définie comme la limite d’une somme de Riemann lorsque le pas tend vers zéro.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous cherchons à définir formellement l’intégrale définie d’une fonction comme la limite d’une somme de Riemann. Ce faisant, nous allons voir comment nous pouvons exprimer des intégrales définies sous la forme de limites des sommes de Riemann et vice versa. Et nous allons évaluer une intégrale définie en prenant la limite de la somme de Riemann correspondante exprimée en notation sigma.

N’oubliez pas que nous pouvons estimer l’aire entre la courbe et l’axe des 𝑥, délimitée par les droites 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏, en découpant la région en, disons, 𝑛 rectangles et en calculant l’aire de chacun. C’est ce qu’on appelle déterminer une somme de Riemann. Et elle est définie en utilisant la notation sigma car la surface est approximativement égale à la somme de 𝑓 de 𝑥𝑖 étoile fois Δ𝑥 pour des valeurs de 𝑖 de un jusqu’à 𝑛. Ici Δ𝑥 égale 𝑏 moins 𝑎 sur 𝑛. Contextuellement, cela nous donne la largeur de chacun de nos rectangles. Et 𝑥𝑖 étoile est n’importe quel point appartenant au sous-intervalle 𝑥𝑖 moins un à 𝑥𝑖.

Bien sûr il s’ensuit que plus 𝑛 augmente, plus la largeur de chacun de nos rectangles diminue. Il en résulte une estimation plus précise pour l’aire. En fait, lorsque 𝑛 tend vers ∞ — le nombre de rectangles tend vers ∞ — la limite de cette somme se rapproche de l’aire exacte de la région.

On peut donc dire que l’aire requise est égale à la limite lorsque 𝑛 tend vers ∞ de la somme de 𝑓 de 𝑥𝑖 étoile fois Δ𝑥 pour des valeurs de 𝑖 de un à 𝑛. Et en fait, cette limite est extrêmement importante car elle se produit dans une grande variété de situations, même lorsque 𝑓 n’est pas une fonction positive. Nous lui donnons donc un nom spécial, la notation 𝑛

Nous arrivons à la définition d’une intégrale définie. Nous disons que si 𝑓 est une fonction définie pour 𝑥 est supérieure ou égale à 𝑎 et inférieure ou égale à 𝑏, nous pouvons découper l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏 en 𝑛 sous-intervalles de largeur égale. Nous considérons 𝑥𝑖 étoile les points d’échantillonnage dans chaque sous-intervalle de sorte que 𝑥𝑖 étoile se trouve dans l’intervalle fermé 𝑥𝑖 moins un à 𝑥𝑖. Puis nous disons que l’intégrale définie de 𝑓 de 𝑎 à 𝑏 est la limite lorsque 𝑛 tend vers ∞ de la somme de 𝑓 de 𝑥𝑖 étoile fois Δ𝑥, valeurs de 𝑖 de un jusqu’à 𝑛. Et c’est bien sûr à condition que cette limite existe et donne la même valeur pour tous les points d’échantillonnage. Si elle existe, alors on dit que 𝑓 est intégrable sur l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏.

Ce symbole d’intégration ici a été introduit par Leibniz. C’est un S allongé et a été choisi parce que l’intégrale est la limite des sommes. Notez maintenant que toutes les fonctions ne sont pas intégrables, bien que les fonctions les plus courantes le soient. En fait, si 𝑓 est continue sur l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏 ou si elle a seulement un nombre fini de discontinuités de saut, alors 𝑓 est intégrable sur l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏. En d’autres termes, l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 existe.

En fait, si 𝑓 est intégrable sur l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, alors cette limite doit exister. Et elle doit donner la même réponse quelle que soit la valeur, quel que soit le point d’échantillonnage 𝑥𝑖 étoile que nous choisissons. Nous pouvons donc simplifier nos calculs en choisissant les bons points 𝑛. Nous pouvons dire que si 𝑓 est intégrable sur l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, alors l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est la limite lorsque 𝑛 tend vers ∞ de la somme de 𝑓 de 𝑥𝑖 fois Δ𝑥 pour des valeurs de 𝑖 de un jusqu’à 𝑛. Et ici Δ𝑥 est 𝑏 moins 𝑎 sur 𝑛, et 𝑥𝑖 est 𝑎 plus 𝑖 fois Δ𝑥.

C’est une définition que nous allons utiliser tout au long de cette vidéo. Et nous avons maintenant tout ce dont nous avons besoin pour pouvoir exprimer des intégrales définies comme limites des sommes de Riemann et vice versa.

Exprimez l’intégrale définie entre trois et neuf de trois 𝑥 à la puissance six par rapport à 𝑥 sous la forme de la limite des sommes de Riemann.

Rappelez-vous, si 𝑓 est intégrable sur l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, alors l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 peut être exprimée comme la limite des sommes de Riemann comme indiqué. Comparons tout dans notre théorème à notre intégrale. Notre fonction est un polynôme. Et nous savons que toutes les fonctions polynômes sont continues sur leur ensemble de définition, ce qui signifie qu’elles sont donc intégrables sur leur ensemble de définition. Ainsi, la fonction 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑥 à la puissance six est continue et donc intégrable sur l’intervalle fermé défini par la limite inférieure trois et la limite supérieure neuf.

Donc nous allons considérer 𝑎 égale trois et 𝑏 égale neuf. Nous allons passer à la définition de Δ𝑥. C’est 𝑏 moins 𝑎 sur 𝑛. Eh bien, nous avons dit que 𝑏 est neuf et 𝑎 est trois. Et c’est partout sur 𝑛. Cela nous donne que Δ𝑥 égale six sur 𝑛. Et nous pouvons maintenant définir 𝑥𝑖. C’est 𝑎 plus 𝑖 fois Δ𝑥. Eh bien, 𝑎 est trois. Et nous avons besoin de 𝑖 fois Δ𝑥, que nous avons déterminé, soit six sur 𝑛. Écrivons cela comme trois plus six 𝑖 sur 𝑛.

Dans notre limite, nous allons devoir déterminer 𝑓 de 𝑥𝑖. Il s’ensuit que nous pouvons la déterminer en substituant par l’expression 𝑥𝑖 dans notre fonction. Cela nous donne trois fois trois plus six 𝑖 sur 𝑛 à la puissance six. Et nous pouvons maintenant substituer avec tout ce que nous avons dans notre définition de l’intégrale. Ce faisant, nous voyons que l’intégrale définie entre six et neuf de trois 𝑥 à la puissance six par rapport à 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑛 tend vers ∞ de la somme de trois fois trois plus six 𝑖 sur 𝑛 à la puissance six fois six sur 𝑛 évaluée entre 𝑖 égale 1 et 𝑛.

Puisque la multiplication est commutative, on peut réécrire trois fois six sur 𝑛 comme 18 sur 𝑛. Et nous avons notre intégrale définie exprimée comme la limite des sommes de Riemann. C’est la limite lorsque 𝑛 tend vers ∞ de la somme de 18 sur 𝑛 fois trois plus six 𝑖 sur 𝑛 à la puissance six évaluée de 𝑖 égale un à 𝑛.

Voyons maintenant un exemple plus compliqué.

Sans évaluer la limite, exprimez l’intégrale définie entre moins cinq et deux de la racine carrée de sept moins quatre 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 comme une limite des sommes de Riemann.

Rappelez-vous, si 𝑓 est intégrable sur un certain intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, alors l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑛 tend vers ∞ de la somme de 𝑓 de 𝑥𝑖 fois Δ𝑥 pour des valeurs de 𝑖 de 1 à 𝑛. Nous calculons Δ𝑥 en soustrayant 𝑎 de 𝑏 puis en divisant par 𝑛. Et 𝑥𝑖 est 𝑎 plus 𝑖 fois Δ𝑥.

Dans ce cas, on peut dire que 𝑓 de 𝑥 est égale à la racine carrée de sept moins quatre 𝑥 au carré. La limite inférieure de notre intégrale est moins cinq. Nous allons donc considérer 𝑎 égale moins cinq et la limite supérieure de deux. Donc, considérons 𝑏 égale deux. Il est toujours judicieux de calculer Δ𝑥. Ici, c’est 𝑏 moins 𝑎. Ça fait donc deux moins moins cinq sur 𝑛. Cela nous donne Δ𝑥 égale sept sur 𝑛. Nous pourrons ensuite calculer 𝑥𝑖. C’est 𝑎, qui est moins cinq, plus 𝑖 fois Δ𝑥, que nous venons de déterminer, soit sept sur 𝑛. Cela est simplifié en moins cinq plus sept 𝑖 sur 𝑛.

Ensuite, nous calculons 𝑓 de 𝑥𝑖. Et il s’ensuit que nous pouvons la déterminer en substituant par 𝑥𝑖 dans l’expression pour 𝑓 de 𝑥. C’est la racine carrée de sept moins quatre fois moins cinq plus sept 𝑖 sur 𝑛 au carré. Et nous avons maintenant tout ce dont nous avons besoin pour exprimer nos limites. Nous remplaçons Δ𝑥 par sept sur 𝑛 et 𝑓 de 𝑥𝑖 par la racine carrée de sept moins quatre fois moins cinq plus sept 𝑖 sur 𝑛 le tout carré.

Et ainsi, nous obtenons l’intégrale comme limite des sommes de Riemann qui est la limite lorsque 𝑛 tend vers ∞ de la somme de sept sur 𝑛 fois la racine carrée de sept moins quatre fois moins cinq plus sept 𝑖 sur 𝑛 au carré pour des valeurs de 𝑖 de un à 𝑛. Cet exemple est intéressant car cette équation n’est pas intégrable sur l’intervalle donné. Rappelez-vous que pour que 𝑓 soit intégrable, il faut qu’elle soit continue sur l’intervalle 𝑎 à 𝑏. Eh bien, la représentation graphique de 𝑦 égale la racine carrée de sept moins quatre 𝑥 au carré ressemble un peu à ça. Ça se voit clairement qu’elle n’est pas continue sur l’intervalle fermé moins cinq à deux. Nous ne pourrons donc pas évaluer cette limite.

Il est important de réaliser que nous pouvons suivre la méthode et obtenir une somme de Riemann. Mais nous devons vérifier que la fonction est intégrable sur cette région. Bien que nous ayons une expression résultante dans ce cas, ce n’est pas une réponse valide à la question. Si l’on nous avait plutôt donné des limites de, disons, moins racine carrée de sept sur deux et racine carrée de sept sur deux, alors ça aurait été bon. Voyons maintenant comment nous pouvons inverser le processus et exprimer une limite sous forme intégrale.

Exprimez la limite lorsque 𝑛 tend vers ∞ de la somme de 𝑒 à la puissance 𝑥𝑖 sur deux moins quatre 𝑥𝑖 fois Δ𝑥𝑖 pour des valeurs de 𝑖 de un à 𝑛 comme une intégrale définie sur l’intervalle fermé moins cinq à moins trois.

Rappelez-vous, si 𝑓 est intégrable sur un certain intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, alors l’intégrale définie entre 𝑏 et 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑛 tend vers ∞ de la somme de 𝑓 de 𝑥𝑖 fois Δ𝑥 pour des valeurs de 𝑖 de un à 𝑛. Maintenant nous pouvons voir très clairement que notre intervalle va de moins cinq à moins trois inclus. Donc nous commençons par considérer 𝑎 égale moins cinq et 𝑏 égale moins trois.

Comparons maintenant notre limite à la forme générale. Nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥𝑖 égale 𝑒 à la puissance 𝑥𝑖 sur deux moins quatre 𝑥𝑖. Eh bien, c’est génial parce que cela signifie que 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑒 à la puissance 𝑥 sur deux moins quatre 𝑥. Cela signifie que la limite de nos sommes de Riemann peut être exprimée comme une intégrale définie. C’est l’intégrale définie entre moins cinq et moins trois de 𝑒 à la puissance 𝑥 sur deux moins quatre 𝑥 par rapport à 𝑥.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment évaluer l’intégrale en calculant la limite des sommes de Riemann.

Évaluez l’intégrale définie entre quatre et moins deux de 𝑥 moins quatre par rapport à 𝑥 en utilisant la limite des sommes de Riemann.

Rappelez-vous, si 𝑓 est une certaine fonction intégrable sur l’intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, alors l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est définie comme la limite lorsque 𝑛 tend vers ∞ de la somme de 𝑓 de 𝑥𝑖 fois Δ𝑥 pour des valeurs de 𝑖 de un à 𝑛. Et bien sûr, Δ𝑥 est 𝑏 moins 𝑎 sur 𝑛 et 𝑥𝑖 est 𝑎 plus 𝑖 fois Δ𝑥.

Commençons par comparer cette définition à notre intégrale. Nous voyons que 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 moins quatre. C’est une fonction polynôme. Et Nous savons que les fonctions polynômes sont continues sur leur domaine. La fonction moins 𝑥 moins quatre est donc continue, et donc intégrable sur l’intervalle fermé défini par la limite inférieure moins quatre et la limite supérieure deux.

Soit 𝑎 égale moins quatre et soit 𝑏 égale deux. Nous chercherons ensuite à définir Δ𝑥. C’est 𝑏 moins 𝑎. Ça fait donc deux moins moins quatre par sur 𝑛. Cela nous donne six sur 𝑛. Ensuite, nous allons définir 𝑥𝑖. C’est 𝑎, qui est moins quatre plus 𝑖 fois Δ𝑥, que nous avons déterminé comme six sur 𝑛. Cela nous donne 𝑥𝑖 égale moins quatre plus six 𝑖 sur 𝑛.

Il s’ensuit que nous pouvons trouver 𝑓 de 𝑥𝑖 en substituant cette expression dans notre fonction. Cela nous donne un résultat moins moins quatre plus six 𝑖 sur 𝑛 moins quatre. Lorsque nous distribuons les parenthèses, nous trouvons que 𝑓 de 𝑥𝑖 est égale à quatre moins six 𝑖 sur 𝑛 moins quatre. Et bien sûr, quatre moins quatre c’est zéro. Donc 𝑓 de 𝑥𝑖 est simplement moins six 𝑖 sur 𝑛.

Et nous pouvons maintenant substituer tout ce que nous avons dans notre définition de l’intégrale. Ceci nous indique que l’intégrale définie entre moins quatre et deux de moins 𝑥 moins quatre par rapport à 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑛 tend vers ∞ de la somme de moins six 𝑖 sur 𝑛 fois six sur 𝑛 pour des valeurs de 𝑖 de un à 𝑛. Maintenant, en fait, moins six 𝑖 sur 𝑛 fois six sur 𝑛 est moins 36𝑖 sur 𝑛 au carré. Voici donc la somme.

Bien sûr, ce diviseur, moins 36 sur 𝑛 au carré, est en fait indépendant de 𝑖. Nous pouvons donc réécrire notre limite comme la limite lorsque 𝑛 tend vers ∞ de moins 36 sur 𝑛 au carré fois la somme de 𝑖 à partir des valeurs de 𝑖 de un à 𝑛. Et en fait, bien que cela n’entre pas dans le cadre de cette vidéo pour le prouver, nous pouvons en citer le résultat général. La somme de 𝑖 de 𝑖 égale un à 𝑛 est égale à 𝑛 fois 𝑛 plus un sur deux. Et cela signifie que nous pouvons remplacer toute cette somme par l’expression 𝑛 fois 𝑛 plus un sur deux.

Notre intégrale définie peut donc être évaluée en calculant la limite lorsque 𝑛 tend vers ∞ de moins 36 sur 𝑛 au carré fois 𝑛 fois 𝑛 plus un sur deux. Et vous remarquerez que 36 et deux sont divisibles par deux. Nous pouvons aussi annuler un 𝑛. Et notre limite se réduit à la limite lorsque 𝑛 tend vers ∞ de moins 18 fois 𝑛 plus un sur 𝑛.

Distribuons nos parenthèses. Et quand nous le faisons, nous constatons que cela peut être écrit comme moins 18𝑛 sur 𝑛 moins 18 sur 𝑛. Bien sûr, moins 18𝑛 sur 𝑛 n’est que moins 18. Et nous pouvons maintenant évaluer notre limite par substitution directe. Lorsque 𝑛 tend vers ∞, moins 18 sur 𝑛 tend vers zéro. Ainsi, la limite lorsque 𝑛 tend vers ∞ de 18 moins 18 sur 𝑛 est simplement moins 18. On peut donc dire que l’intégrale définie entre moins quatre et deux de moins 𝑥 moins quatre par rapport à 𝑥 est moins 18.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons écrire une intégrale définie comme la limite des sommes de Riemann. Nous disons que, pour une fonction intégrable 𝑓 définie sur un certain intervalle fermé 𝑎 à 𝑏, l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑛 tend vers ∞ de la somme de 𝑓 de 𝑥𝑖 fois Δ𝑥 pour des valeurs de 𝑖 de un à 𝑛. Ici Δ𝑥 est 𝑏 moins 𝑎 sur 𝑛. Et 𝑥𝑖 équivaut à 𝑎 plus 𝑖 fois Δ𝑥.

Nous avons vu que nous pouvons utiliser cette définition pour écrire une intégration comme limite d’une sommation et vice versa. Et que par une manipulation intelligente, nous pouvons même évaluer ces limites pour nous aider à calculer l’intégrale.

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