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La fonction illustrée par la représentation graphique ci-dessous peut-elle être une fonction de densité de probabilité ?
Rappelez-vous, une fonction de densité de probabilité nous indique la probabilité que chaque événement se produise. Si la fonction du graphique est une fonction de densité de probabilité, elle nous indique la probabilité que 𝑥 soit égal à un, la probabilité que 𝑥 soit égal à deux et la probabilité que 𝑥 soit égal à trois. Rappelons donc ce que nous savons des fonctions de densité de probabilité.
Pour une fonction 𝑓 de 𝑥, la somme de toutes les valeurs de 𝑓 de 𝑥 doit être égale à un. En d’autres termes, la somme des probabilités de tous les résultats possibles est un. Il s’ensuit également que chaque probabilité individuelle ne peut être supérieure à un mais pas non plus inférieure à zéro. Et donc, pour vérifier si le graphique donné représente une fonction de densité de probabilité, nous allons examiner ces deux propriétés.
Nous allons commencer par la seconde. Nous allons vérifier que chaque probabilité individuelle est dans l’intervalle fermé zéro un. La première barre atteint une hauteur d’un sixième. Donc, si la fonction dans le graphique est une fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire discrète 𝑥, alors elle nous dit que la probabilité que 𝑥 soit égal à un et, par conséquent, 𝑓 de un, est égale à un sixième. De même, la probabilité que 𝑥 soit égal à deux, ou 𝑓 de deux, est de trois sixièmes. Et enfin, 𝑓 de trois est deux sixièmes. Nous pouvons assez rapidement voir que chacune de ces valeurs individuelles de 𝑓 de 𝑥 est dans l’intervalle fermé zéro un. Et ainsi la deuxième propriété est satisfaite.
Nous allons maintenant vérifier la première propriété. En d’autres termes, nous allons ajouter chacune de ces valeurs et vérifier qu’elles donnent un. Cela nous donne un sixième plus trois sixièmes plus deux sixièmes. On obtient six sixièmes, ce qui est égal à un. Et ainsi la première propriété est satisfaite. La somme de toutes les valeurs de 𝑓 de 𝑥 est un. Et donc, la fonction dans le graphique donné peut être une fonction de densité de probabilité. La réponse est oui.
