Vidéo : Trouver la relation entre les côtés et leurs angles correspondants dans un triangle à l’aide d’une autre relation

À partir de la figure ci-dessous, détermine l’inégalité correcte à partir de ce qui suit. [A] 𝐴𝐵 > 𝐶𝐵 [B] 𝐴𝐵 < 𝐶𝐵 [C] 𝐴𝐵 > 𝐴𝐶 [D] 𝐴𝐶 < 𝐶𝐵.

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Transcription de vidéo

À partir de la figure ci-dessous, détermine l’inégalité correcte à partir des éléments suivants : 𝐴𝐵 est strictement supérieur à 𝐶𝐵, 𝐴𝐵 est strictement inférieur à 𝐶𝐵, 𝐴𝐵 est strictement supérieur à 𝐴𝐶, ou 𝐴𝐶 est strictement inférieur à 𝐶𝐵.

En regardant la figure, nous pouvons voir que 𝐴𝐵, 𝐶𝐵 et 𝐴𝐶 représentent les longueurs des côtés d’un triangle. Nous avons quatre possibilités de relations pouvant exister entre les longueurs de paires de côtés différentes. La figure ne nous a pas donné de longueur. Au lieu de cela, nous avons reçu des informations sur certains des angles. Cela suggère que nous devons examiner la relation entre la longueur des côtés et la taille des angles dans un triangle. Nous allons donc aborder cette question en utilisant l’inégalité du triangle côté-angle.

Voici ce que nous dit l’inégalité des triangles côté-angle. Si un angle d’un triangle a une mesure plus grande qu’un autre angle, le côté opposé à l’angle le plus grand est plus long que le côté opposé à l’angle le plus petit. En gros, cela signifie que le côté le plus long d’un triangle est opposé à l’angle le plus grand. Le côté le plus court est opposé à l’angle le plus petit. Et le côté médian est opposé à l’angle médian. Dans la figure, cependant, nous n’avons actuellement que la mesure d’un des angles du triangle. Nous devons donc réfléchir à la manière de trouver les autres angles.

Tout d’abord, considérons l’angle 𝐴𝐵𝐶. Nous pouvons voir que les droites 𝐴𝐷 et 𝐶𝐵 sont parallèles car elles ont été marquées avec des flèches bleues sur leur longueur. La droite 𝐴𝐵 est transversale à ces droites parallèles. Et par conséquent, nous pouvons voir que l’angle 𝐴𝐵𝐶 et l’angle de 66 degrés sont des angles alternes internes. Ce qui signifie qu’ils sont superposables. Donc l’angle 𝐴𝐵𝐶 mesure aussi 66 degrés.

Maintenant que nous connaissons les mesures de deux des angles du triangle, nous pouvons calculer le troisième car la somme des mesures des angles dans un triangle est toujours égale à 180 degrés. Donc, l’angle 𝐴𝐶𝐵 peut être trouvé en soustrayant 52 degrés et 66 degrés de 180 degrés. Il mesure 62 degrés.

Alors, maintenant que nous connaissons les mesures des trois angles du triangle, nous pouvons en déduire quelque chose sur la longueur des trois côtés. L’angle le plus grand du triangle est de 66 degrés. Et l’inégalité des triangles côté-angle nous dit que le côté le plus long du triangle sera opposé à cet angle. Donc, le côté le plus long du triangle est le côté 𝐴𝐶. Le deuxième plus grand angle du triangle est l’angle de 62 degrés qui est opposé au côté 𝐴𝐵. Cela signifie alors que 𝐴𝐵 est le deuxième côté le plus long du triangle. L’angle le plus petit de 52 degrés est opposé au côté le plus court du triangle. Donc, 𝐶𝐵 est le côté le plus court.

Maintenant que les trois côtés du triangle sont ordonnés du plus long au plus court, nous pouvons nous concentrer sur les quatre inégalités et déterminer celles qui sont vraies. Tout d’abord, est-ce que 𝐴𝐵 est supérieure à 𝐶𝐵 ? Oui, 𝐴𝐵 apparaît au-dessus de 𝐶𝐵 dans la liste. Ce qui signifie que cette première inégalité est vraie. Est-ce que 𝐴𝐵 est inférieure à 𝐶𝐵 ? Eh bien, c’est l’inverse de l’inégalité que nous venons de montrer comme étant vraie. Par conséquent, celle-ci doit être fausse. Troisièmement, est-ce que 𝐴𝐵 est supérieure à 𝐴𝐶 ? Non, 𝐴𝐶 est le côté le plus long du triangle. Donc, cette inégalité est également fausse. Et finalement, 𝐴𝐶 est inférieure à 𝐶𝐵 ? Encore une fois, c’est faux. 𝐴𝐶 est le côté le plus long du triangle.

Nous pouvons donc en conclure que sur les quatre inégalités, une seule est vraie. 𝐴𝐵 est supérieure à 𝐶𝐵.

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