Vidéo : Lieux dans le plan complexe défini à l’aide de l’argument

Dans cette vidéo, nous apprendrons à dessiner et interpréter des lieux dans le plan complexe exprimé en termes d’argument.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à dessiner et interpréter des lieux dans le plan complexe, exprimés en termes d’argument. Tout comme nous pouvons utiliser le module pour définir des lieux dans le plan complexe, en considérant la géométrie de ce plan, nous pouvons aussi utiliser les arguments d’un nombre complexe pour interpréter les lieux de points qui satisfont certains critères. Nous considérerons les lieux des demi-plans, des arcs majeurs, des demi-cercles et des arcs mineurs, et les équations cartésiennes qui correspondent à ces éléments dans cette vidéo.

Rappelez-vous, pour un nombre complexe représenté sur un diagramme d’Argand qui est joint par un segment de droite ou une demi-droite à l’origine, l’argument est l’angle que ce segment de droite fait avec l’axe réel positif. Et il est toujours mesuré dans le sens direct. Pour calculer l’argument, nous considérons d’abord dans quel quadrant le point représentant le nombre complexe se trouvera. Pour un nombre complexe de la forme 𝑧 est égal à 𝑎 plus 𝑏𝑖, son argument est donné comme l’arctan de 𝑏 divisé par 𝑎, pour les nombres complexes qui serait représenté dans les premier et quatrième quadrants. Pour les nombres complexes qui seront représentés dans le deuxième quadrant, l’argument est l’arctan de 𝑏 divisé par 𝑎 plus 𝜋. Et si nous regardons un nombre complexe tracé dans le troisième quadrant, son argument est l’arctan de 𝑏 divisé par 𝑎 moins 𝜋.

Maintenant, plutôt que de demander quel est l’argument d’un nombre complexe, nous pourrions alternativement demander quel est le lieu d’un point d’un argument fixe, disons que l’argument de 𝑧 est égal à 𝜋 sur trois radians ? Cela représente l’ensemble des nombres complexes qui se trouvent sur le rayon ou la demi-droite qui fait un angle de 𝜋 sur trois avec l’axe 𝑥 dans le sens direct. Le lieu de 𝑧 est donc cette demi-droite. N’oubliez pas, cependant, que l’argument n’est pas défini lorsque 𝑧 est égal à zéro. Le lieu ne peut donc pas inclure l’origine.

Nous pouvons généraliser cela pour n’importe quelle demi-droite dans le plan complexe, en considérant une transformation en soustrayant un nombre complexe fixe, 𝑧 un. On peut dire que le lieu du point 𝑧 tel que l’argument de 𝑧 moins 𝑧 un est égal à 𝜃 est une demi-droite de mais n’inclut pas le point à 𝑧 un. Cette demi-droite fait un angle de 𝜃 avec la demi-droite horizontale s’étendant de 𝑧 un dans la direction 𝑥 positive. Et il est mesuré dans le sens direct. Voyons un exemple de cela.

Esquissez le lieu de 𝑧 lorsque l’argument de 𝑧 plus deux plus 𝑖 est égal à 𝜋 sur quatre.

Rappelez — vous, le lieu du point 𝑧 lorsque l’argument de 𝑧 moins 𝑧 un est égal à 𝜃 est une droite de moitié de l’exclusion des 𝑧 un. Cette demi-droite fait un angle de 𝜃 avec la demi-droite horizontale dans la direction 𝑥 positive. Et il est mesuré dans le sens direct. Nous commencerons ensuite par écrire l’argument de 𝑧 plus deux plus 𝑖 sous la forme de l’argument de 𝑧 moins 𝑧 un, pour nous assurer que nous pouvons identifier correctement notre valeur de 𝑧 un. Nous factorisons moins un et nous obtenons l’argument de 𝑧 moins moins deux moins 𝑖. Et cela signifie que nous pouvons réécrire notre équation comme l’argument de 𝑧 moins moins deux moins 𝑖 est égal à 𝜋 sur quatre.

Nous pouvons maintenant voir que 𝑧 un est égal à moins deux moins 𝑖. Il s’agit du point final du rayon ou de la demi-droite. Et nous devons rappeler que la demi-droite n’inclut pas réellement ce point. Sur un diagramme d’Argand, 𝑧 un peut être tracé par le point dont les coordonnées cartésiennes sont moins deux, moins un comme indiqué. Et nous avons ajouté ce cercle vide pour montrer que nous ne voulons pas inclure ce point dans notre lieu.

Ensuite, nous utilisons l’argument. L’argument de 𝑧 plus deux plus 𝑖 est 𝜋 sur quatre radians. Cela signifie que le lieu de 𝑧 est l’ensemble des points qui font un angle de 𝜋 sur quatre radians dans le sens direct par rapport à l’horizontale. 𝜋 sur quatre radians équivaut à 45 degrés. Nous ajoutons donc une droite, comme indiqué, à cet angle. Et cela signifie que le lieu de 𝑧 lorsque l’argument de 𝑧 plus deux plus 𝑖 est égal à 𝜋 sur quatre est comme indiqué. Nous pouvons également inverser ce processus pour former l’équation étant donné un diagramme du lieu de 𝑧.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment le lieu peut être exprimé comme une équation cartésienne.

Trouvez l’équation cartésienne du lieu de 𝑤 telle que l’argument de 𝑤 plus trois plus 𝑖 est égal à 𝜋 sur trois.

N’oubliez pas que le lieu sous cette forme est une demi-droite. Nous cherchons à trouver l’équation cartésienne de cette demi-droite. Un bon point de départ est donc de trouver le gradient de cette droite. Nous pouvons trouver le gradient de cette droite en considérant l’argument, qui est 𝜋 de trois radians. Maintenant, la formule du gradient augmente au fil du temps. C’est la même chose que l’opposé sur adjacent. Et, bien sûr, c’est égal à la fonction tangente. On peut alors dire que le gradient de notre droite est égal au tan de 𝜋 sur trois qui est la racine carrée de trois.

Notre prochain travail consiste à trouver le point par lequel cette droite doit passer. Nous utilisons la définition du lieu pour réécrire notre équation. Nous prenons en compte un facteur négatif. Et nous pouvons voir que c’est la même chose que l’argument de 𝑤 moins moins trois moins 𝑖 est égal à 𝜋 sur trois. Et nous pouvons voir alors que notre droite commence au point représentant le nombre complexe moins trois moins 𝑖. Cela aura trois coordonnées cartésiennes négatives, moins un. Remplaçons ces valeurs dans la formule d’une droite, 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 multiplié par 𝑥 moins 𝑥 un.

Lorsque nous le faisons, nous voyons que 𝑦 moins moins un est égal à la racine trois fois 𝑥 moins moins trois. Nous distribuons les parenthèses et simplifions autant que possible. Et nous pouvons voir que l’équation cartésienne de la droite est 𝑦 égale à la racine trois 𝑥 plus trois racine trois moins un. N’oubliez pas, cependant, c’est une demi-droite. Et il n’inclut pas réellement le point à moins trois, moins un. Nous allons donc devoir ajouter une restriction sur 𝑥 ou 𝑦. On peut dire que 𝑥 doit être supérieur à moins trois. Et nous avons trouvé l’équation cartésienne du lieu de 𝑤, étant donné que l’argument de 𝑤 plus trois plus 𝑖 est 𝜋 sur trois.

Le prochain lieu qui nous intéresse est celui d’un cercle. On peut dire que le lieu du point 𝑧 tel que l’argument de 𝑧 moins 𝑧 un sur 𝑧 moins 𝑧 deux est égal à 𝜃 est l’arc de cercle qui sous-tend un angle de 𝜃 entre les points représentés par 𝑧 un et 𝑧 deux, comme le montre le schéma. Si 𝜃 est inférieur à 𝜋 sur deux radians, le lieu est un arc majeur. Si 𝜃 est égal à 𝜋 sur deux, le lieu est un demi-cercle. Et si 𝜃 est supérieur à 𝜋 de deux radians, le lieu est un arc mineur. Maintenant, rappelez-vous, les points d’extrémité ne font pas partie du lieu. Nous incluons donc des points ouverts représentant ces points, comme indiqué. Regardons un exemple qui utilise cette idée.

La figure montre un lieu d’un point 𝑧 dans le plan complexe. Écrivez une équation pour le lieu sous la forme l’argument de 𝑧 moins 𝑎 sur 𝑧 moins 𝑏 est égal à 𝜃, où 𝑎 et 𝑏, qui sont des nombres complexes, et 𝜃, qui est supérieur à zéro et inférieur ou égal à 𝜋, sont des constantes être trouvé.

Rappelez-vous que le lieu d’un point 𝑧 sous cette forme est l’arc de cercle qui sous-tend un angle de 𝜃 entre les points représentés par 𝑧 un et 𝑧 deux. Nous avons trois conditions sur 𝜃. S’il est inférieur à 𝜋 sur deux, le lieu est un arc majeur. S’il est égal à 𝜋 sur deux, c’est un demi-cercle. Et s’il est supérieur à 𝜋 sur deux, le lieu est un arc mineur. Et, rappelez-vous, les points d’extrémité ne font pas partie de ce lieu. Nous pouvons voir en regardant le diagramme que le lieu de notre 𝑧 est l’arc principal d’un cercle. Et cela a du sens parce que 𝜃 est égal à 𝜋 sur cinq radians.

Les extrémités de notre lieu se trouvent à at et 𝐵 dont les coordonnées cartésiennes sont respectivement quatre, moins trois et moins trois, un. Ceux-ci représentent les nombres complexes quatre moins trois 𝑖 et moins trois plus 𝑖. Et, rappelez-vous, ce lieu est tracé dans le sens direct. Étant donné que le point de départ est celui représenté dans le nombre complexe quatre moins trois 𝑖, on peut dire que l’équation de notre lieu est l’argument de 𝑧 moins quatre moins trois 𝑖 sur 𝑧 moins moins trois plus 𝑖 égaux 𝜋 sur cinq. On nous a en fait dit de trouver la valeur des constantes 𝑎, 𝑏 et 𝜃. 𝑎 est quatre moins trois 𝑖, 𝑏 est moins trois plus 𝑖 et 𝜃 est 𝜋 sur cinq.

Dans notre exemple suivant, nous allons pratiquer l’esquisse d’un lieu sous cette forme.

Le point 𝑧 satisfait à l’équation l’argument de 𝑧 moins six sur 𝑧 moins six 𝑖 est égal à 𝜋 sur quatre. Tracez le lieu de 𝑧 sur un diagramme d’Argand.

Le lieu de 𝑧 est l’arc de cercle qui sous-tend un angle de 𝜋 sur quatre radians entre les points représentés sur six et six 𝑖. Rappelez-vous, ceux-ci sont tracés dans le sens direct de six à six 𝑖. Mais ils n’incluent pas réellement ces points eux-mêmes. Ce sont les points du plan d’Argand dont les coordonnées cartésiennes sont respectivement six, zéro et zéro, six. Et puisque 𝜋 sur quatre est inférieur à 𝜋 sur deux, nous savons que nous avons un arc majeur. Nous commençons donc par ajouter les points six, zéro et zéro, six sur notre diagramme d’Argand.

Et puis nous rencontrons un problème. Comment savons-nous où se situe l’arc principal ? Bien sûr, c’est l’arc principal d’un cercle. Mais sans connaître le centre du cercle, nous ne pouvons pas utiliser cette information pour trouver l’arc. Il pourrait en fait s’agir de l’un ou l’autre de ces deux arcs représentés. Ici, nous rappelons le fait que le lieu est dessiné dans le sens direct. Nous avons besoin que l’arc qui commence au point six, zéro et se termine au point zéro, six soit un arc majeur, lorsqu’il est tracé dans cette direction.

Cela signifie que nous devons choisir cet arc à droite. Et, par conséquent, le lieu est comme indiqué. Il n’est pas réellement nécessaire d’ajouter les cordons affichés. Mais ce faisant, nous pouvons voir que nous obtiendrons un angle inférieur à 𝜋 de deux radians. Il est également possible de trouver l’équation cartésienne des lieux sous cette forme. Parfois, vous pouvez adopter une approche géométrique. Mais, en général, une approche algébrique est sensée.

Dans notre dernier exemple, nous considérerons une telle approche algébrique.

Le lieu de 𝑧 satisfait l’équation, l’argument de 𝑧 moins trois 𝑖 sur 𝑧 moins cinq 𝑖 est égal à deux 𝜋 sur trois. Tracez ce lieu sur un diagramme d’Argand et trouvez son équation cartésienne.

Rappelez-vous, le lieu du point 𝑧 tel que l’argument de 𝑧 moins trois 𝑖 sur 𝑧 moins cinq 𝑖 est égal à deux 𝜋 sur trois est l’arc d’un cercle qui sous-tend un angle de deux 𝜋 sur trois radians entre les points représentés sur trois 𝑖 et cinq 𝑖. Cette fois, il commencera à trois 𝑖 et se déplacera dans le sens direct. Deux 𝜋 sur trois est supérieur à 𝜋 sur deux. Nous savons donc que cela forme un arc mineur. Et comme toujours, les points d’extrémité ne font pas partie du lieu. Les points représentés par trois 𝑖 et cinq 𝑖 ont respectivement les coordonnées cartésiennes zéro, trois et zéro, cinq.

Donc, une fois que nous avons tracé ces points sur un diagramme d’Argand, comment décidons-nous où se situe l’arc mineur ? Encore une fois, nous ne connaissons pas le centre du cercle. Nous ne pouvons donc pas utiliser ces informations pour trouver l’emplacement de l’arc. Nous savons cependant que le lieu est dessiné dans le sens direct. Nous avons besoin que l’arc de zéro, trois à zéro, cinq soit un arc mineur, lorsqu’il est tracé dans ce sens direct. Cela signifie que nous voyageons le long de cet arc comme le montre.

Ensuite, nous devons trouver l’équation cartésienne de ce lieu. Dans certains scénarios, nous pouvons trouver cette équation en trouvant le centre et le rayon du cercle. Ici, ce n’est pas si facile. Nous allons donc devoir remplacer 𝑧 égal 𝑥 plus 𝑦𝑖 dans notre équation. Lorsque nous le faisons, nous obtenons que l’argument de 𝑥 plus 𝑦𝑖 moins trois 𝑖 sur 𝑥 plus 𝑦𝑖 moins cinq 𝑖 est deux 𝜋 sur trois. Commençons par évaluer 𝑥 plus 𝑦𝑖 moins trois 𝑖 sur 𝑥 plus 𝑦𝑖 moins cinq 𝑖. Pour évaluer ce problème, nous devons multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur de notre fraction par le conjugué du dénominateur.

Pour trouver le conjugué d’un nombre complexe, on change le signe de la partie imaginaire. Ainsi, le conjugué de 𝑥 plus 𝑦 moins cinq 𝑖 est 𝑥 moins 𝑦 moins cinq 𝑖. Nous allons multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par ce nombre. Au numérateur, on se retrouve avec 𝑥 carré moins 𝑥 𝑦 moins cinq 𝑖 plus 𝑥 𝑦 moins trois 𝑖 moins 𝑦 moins trois fois 𝑦 moins cinq fois 𝑖 carré. Et au dénominateur, nous avons 𝑥 au carré moins 𝑥 fois 𝑦 moins cinq fois 𝑖 plus 𝑥 fois 𝑦 moins cinq fois 𝑖 moins 𝑦 moins cinq au carré 𝑖 au carré. Et nous pouvons voir que moins 𝑥 fois 𝑦 moins cinq fois 𝑖 plus 𝑥 fois 𝑦 moins cinq fois 𝑖 est nul.

Ensuite, en utilisant le fait que 𝑖 au carré est égal à moins un et en distribuant nos parenthèses, nous avons l’expression indiquée. Ensuite, nous collectons les parties réelles et imaginaires. Et maintenant, nous pouvons trouver l’argument de 𝑥 plus 𝑦𝑖 moins trois 𝑖 sur 𝑥 plus 𝑦𝑖 moins cinq 𝑖. Si nous prenons 𝑎 pour être la partie réelle de notre nombre complexe et 𝑏 pour être la partie imaginaire, c’est-à-dire deux 𝑥 sur 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré moins 10𝑥 plus 25, nous pouvons dire que 𝑏 divisé par 𝑎, la partie imaginaire divisée par la partie réelle, doit être égal au tan de deux 𝜋 sur trois. Maintenant, normalement, nous nous demanderions dans quel quadrant se situe le nombre complexe. Mais comme le temps est périodique avec une période de 𝜋 radians, l’ajout ou la soustraction de multiples de 𝜋 à notre valeur de 𝜃 n’a aucun effet sur la valeur de tan 𝜃. Laissez de l’espace pour la prochaine étape.

Nous pouvons dire que deux 𝑥 divisés par 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré moins huit 𝑦 plus 15 est égal au tan de deux 𝜋 sur trois, ce qui est égal à la racine moins trois. Nous multiplions les deux côtés de cette équation par 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré moins huit 𝑦 plus 15. Et puis nous pouvons simplifier un peu en multipliant par la racine moins trois. Et puis, nous ajoutons deux racine trois 𝑥 des deux côtés de cette équation. Nous devons maintenant compléter le carré pour 𝑥 et 𝑦.

Rappelez-vous, nous essayons de trouver l’équation du cercle. C’est 𝑥 plus racine trois au carré moins trois plus 𝑦 moins quatre au carré moins 16 plus que 15. Moins trois moins 16 plus 15 est moins quatre. Nous ajoutons donc quatre des deux côtés de cette équation. Et nous obtenons 𝑥 plus la racine trois tous au carré plus 𝑦 moins quatre tous les carrés égale quatre. Et nous pouvons voir que le centre de notre cercle se trouve maintenant au point avec les coordonnées cartésiennes racine moins trois, quatre. Nous devons, bien sûr, ajouter une restriction sur 𝑥 et 𝑦 pour nous assurer que les points trois 𝑖 et cinq 𝑖 ne se trouvent pas réellement sur le lieu lui-même. Cette restriction est que 𝑥 est supérieur à zéro. Ainsi, l’équation cartésienne de notre lieu est de quatre égaux 𝑥 plus la racine trois tous au carré plus 𝑦 moins quatre tous au carré, uniquement lorsque 𝑥 est supérieur à zéro.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons utiliser les arguments de la même manière que nous pouvons utiliser le module pour définir les lieux dans le plan complexe. Nous avons vu que le lieu d’un point 𝑧 qui satisfait l’argument de 𝑧 moins 𝑧 un est égal à 𝜃 est une demi-droite à l’exclusion des 𝑧 un. Et il fait un angle de 𝜃 à la demi-droite horizontale s’étendant de 𝑧 un dans la direction 𝑥 positive.

Nous avons également vu que 𝜃 doit être mesuré dans le sens direct. Nous avons vu comment le lieu d’un point 𝑧 qui satisfait l’équation l’argument de 𝑧 moins 𝑧 un sur 𝑧 moins 𝑧 deux égaux 𝜃 est un arc. Lorsque 𝜃 est inférieur à 𝜋 sur deux, c’est un arc majeur. Lorsqu’il est égal à 𝜋 sur deux, c’est un demi-cercle. Et quand il est supérieur à 𝜋 sur deux, le lieu est un arc mineur. Et nous avons vu que les points d’extrémité ne peuvent pas faire partie de ce lieu. Et le lieu est mesuré dans le sens direct.

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