Vidéo question :: Déterminer l’angle entre deux vecteurs en fonction de leur produit scalaire Physique

Transcription de la vidéo

Considérons les deux vecteurs 𝐩, de norme 7,7, et 𝐪, de norme 15. Le produit scalaire des deux vecteurs est 27. Quel est l’angle entre les vecteurs ? Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.

Alors, dans cette question, on nous dit que nous avons deux vecteurs. On nous donne les normes de chacun d’eux, et on nous dit la valeur de leur produit scalaire. La question nous demande de trouver l’angle entre les vecteurs. Nous avons donc besoin d’un moyen de calculer cet angle à partir des informations données, c’est-à-dire à partir des normes des deux vecteurs et de la valeur de leur produit scalaire. Heureusement pour nous, le produit scalaire de deux vecteurs peut être défini en fonction de la norme des vecteurs et de l’angle entre ces vecteurs.

Considérons deux vecteurs généraux 𝐀 et 𝐁 avec un certain angle 𝜃 entre eux. Le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 est défini comme la norme de 𝐀 multipliée par la norme de 𝐁 multipliée par le cosinus de l’angle 𝜃 entre eux. Mais comment cela nous aide-t-il ? Eh bien, dans notre situation, nous connaissons la valeur du produit scalaire et nous connaissons les normes des deux vecteurs. Dans cette formule, nous voulons trouver cet angle. Commençons donc par faire du cosinus de 𝜃 le sujet de cette équation. Nous divisons les deux côtés de l’équation par la norme de 𝐀 et par la norme de 𝐁. À la droite de cette équation, les normes du numérateur et du dénominateur s’annulent. Ensuite, en échangeant les côtés gauche et droit de cette équation, nous pouvons écrire que le cosinus de 𝜃 est égal au produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 divisé par la norme de 𝐀 multipliée par la norme de 𝐁.

Pour faire de 𝜃 le sujet, nous devons ensuite prendre l’arccosinus (la fonction inverse du cosinus) des deux côtés de l’équation. Maintenant, nous avons une expression pour l’angle entre nos deux vecteurs compte tenu de leurs norme et de la valeur de leur produit scalaire. C’est justement ce dont nous avions besoin pour répondre à cette question. Dans notre cas, nous avons les vecteurs 𝐩 et 𝐪. Étiquetons l’angle entre eux 𝜑 afin de le distinguer du 𝜃 que nous avons utilisé dans notre formule générale. Ensuite, nous pouvons prendre notre équation générale et l’écrire pour notre cas spécifique avec 𝐩, 𝐪 et 𝜑. Nous avons que l’angle entre nos vecteurs, c’est-à-dire 𝜑, est égal à l’arccosinus du produit scalaire de 𝐩 et 𝐪 divisé par la norme de 𝐩 multipliée par la norme de 𝐪.

Remplaçons nos valeurs. On nous dit que le produit scalaire de 𝐩 et 𝐪 a une valeur de 27. On nous dit que la norme de 𝐩 est 7,7 et la norme de 𝐪 est 15. La substitution des valeurs nous donne une expression que nous pouvons calculer afin de trouver l’angle 𝜑. Si nous faisons le calcul, nous constatons que notre valeur de l’angle 𝜑 est de 76,48109 et ainsi de suite avec des décimales supplémentaires. Notez cependant que la question nous demande de donner notre réponse arrondie à une décimale près. Donc, à ce niveau de précision, notre résultat final est que l’angle 𝜑 entre les deux vecteurs 𝐩 et 𝐪 est égal à 76,5 degrés.