Transcription de la vidéo
On pose 𝑓 de 𝑥 égale trois logarithme népérien de deux 𝑥 plus quatre logarithme népérien de 𝑥. Calculez 𝑓 prime de un.
Maintenant, la première chose que nous pouvons faire si nous cherchons à dériver notre fonction est de mettre de côté le terme constant car il n’entre pas en jeu dans la dérivation. Nous avons maintenant trois multiplié par, puis la dérivée de logarithme népérien de deux 𝑥 plus quatre logarithme népérien de 𝑥. Ensuite, pour résoudre le problème et déterminer la dérivée de l’expression, nous allons devoir utiliser l’une de nos règles de dérivation. Et c’est celle qui est basée sur le logarithme népérien, qui est ln.
Nous savons donc que si nous voulons trouver la dérivée de logarithme népérien de - et dans ce cas, nous allons dire 𝑢 de 𝑥, c’est-à-dire une simple fonction - alors elle est égale à un sur 𝑢 de 𝑥 multiplié par la dérivée de 𝑢 de 𝑥. Nous allons donc obtenir trois multiplié par, puis un sur deux 𝑥 plus quatre logarithme népérien de 𝑥. Et ceci car il s’agit de notre 𝑢 de 𝑥. Voilà donc notre fonction lorsque nous utilisons la règle pour dériver quelque chose de ce genre. Ensuite, nous multiplions cela par la dérivée de deux 𝑥 plus quatre logarithme népérien de 𝑥.
Et comme nous le savons avec la dérivation, ce que nous pouvons faire lorsque nous dérivons une expression comme celle-ci, c’est dériver chaque terme séparément. Donc, nous pouvons dériver deux 𝑥 et nous pouvons dériver quatre logarithme népérien de 𝑥. Tout d’abord, si nous dérivons deux 𝑥, nous allons simplement obtenir deux. Parce que nous multiplions le coefficient par l’exposant. Donc, nous avons deux multiplié par un qui est juste deux. Et puis, nous réduisons l’exposant de un à zéro. Nous obtenons donc deux multiplié par un, c’est-à-dire deux.
Ensuite, ce que nous allons faire pour dériver le deuxième terme, c’est utiliser une autre de nos règles. Si nous avons dérivée de logarithme népérien de 𝑥, elle est égale à un sur 𝑥. Donc, si nous cherchons à dériver logarithme népérien de 𝑥, la première chose que nous pouvons faire - normalement - est de retirer la constante quatre. Nous avons donc quatre multiplié par la dérivée de logarithme népérien de 𝑥, ce qui va nous donner quatre sur 𝑥. Et c’est parce que nous allons avoir quatre multiplié par un sur 𝑥 qui donne quatre sur 𝑥. Il nous reste donc une seule expression. Et cette expression est trois multiplié par deux - c’était la dérivée de deux 𝑥 - plus quatre sur 𝑥 - c’était la dérivée de quatre logarithme népérien de 𝑥. Et le tout sur deux 𝑥 plus quatre logarithme népérien de 𝑥.
À ce stade, nous pourrions être tentés de simplifier. Mais ce n’est pas nécessaire car ce que nous essayons de trouver, c’est la valeur de cette expression, donc la valeur de la dérivée, lorsque 𝑥 égale un. Et donc, pour ce faire, ce que nous devons faire, c’est que nous devons remplacer 𝑥 par un dans notre dérivée. Nous obtenons donc trois multiplié par deux plus quatre sur un sur deux multiplié par un plus quatre dans logarithme népérien de un. Cela nous donne 18 sur deux. C’est le résultat de trois multiplié par deux plus quatre. Eh bien, deux plus quatre donne six. Trois fois six égale 18. Regardons ensuite le dénominateur : nous avons deux multiplié par un c’est-à-dire deux, plus quatre logarithme népérien de un c’est-à-dire zéro. Il nous reste donc deux au dénominateur. Donc, la réponse finale est neuf.
Donc, nous pouvons dire que pour la fonction 𝑓 de 𝑥 égale trois logarithme népérien de deux 𝑥 plus quatre logarithme népérien de 𝑥, alors la dérivée première lorsque 𝑥 est égal à un vaut neuf.