Vidéo de la leçon: Estimation des radicaux à l'aide de droites graduées Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à estimer, à trouver la racine 𝑛-ième d'un nombre à l'aide de droites graduées. Ceci est également connu sous le nom d'estimation des radicaux ou des racines. Commençons par définir ce que nous entendons par radicaux.

Un radical est une expression contenant un symbole radical. À lui seul, le symbole radical représente la racine carrée. Si nous avons un trois en exposant, cela signifie la racine du cube. Avec un quatre, cela s'appelle la quatrième racine. Et le format général avec la variable 𝑛 est appelée la racine 𝑛-ième. Pour voir ce que ces racines signifient, regardons quelques exemples.

Nous avons la racine carrée de neuf, la racine cubique de huit et la quatrième racine de 10 000. La racine carrée de neuf demande, quel nombre multiplié par lui-même nous donne une réponse de neuf ? Nous savons que trois fois trois est égal à neuf. Par conséquent, la racine carrée de neuf est trois. La mise en racine carré est l'opposé ou l'inverse de la quadrature.

En ce qui concerne la mise en racine cubique, nous nous demandons quel nombre multiplié par lui-même multiplié par lui-même nous donne à nouveau la réponse. Dans ce cas, 𝑥 multiplié par 𝑥 multiplié par 𝑥 est égal à huit. Deux cubes est égal à huit. Par conséquent, la racine cubique de huit vaut deux. Nous répétons ce processus pour calculer la quatrième racine de 10 000. 10 multiplié par 10 est égal à 100. En multipliant cela par 10, nous obtenons 1 000 et en multipliant par 10, nous obtenons 10 000. 10 à la puissance quatre est 10 000. Donc, la quatrième racine de 10 000 est 10.

Ces trois questions ont des solutions entières. Cela signifie que les trois radicaux, la racine carrée de neuf, la racine cubique de huit et la quatrième racine de 10 000, sont rationnels. Ils peuvent être écrits sous forme d'entier ou de fraction. Cependant, lorsque nous avons affaire à des radicaux, nous nous retrouvons souvent avec des solutions irrationnelles.

Un nombre réel qui ne peut pas être exprimé comme une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers est un nombre irrationnel. Des exemples de nombres irrationnels sont 𝜋 et la racine carrée de trois. Si nous tapons la racine carrée de trois dans notre calculatrice, nous obtenons une réponse de 1,732050808 et ainsi de suite. Il s'agit d'une décimale qui ne se termine pas et ne se reproduit pas. Par conséquent, il ne peut pas être écrit sous forme de fraction. Au cours de cette vidéo, nous allons examiner ces valeurs irrationnelles et essayer de leur trouver des valeurs approximatives.

Si nous considérons deux carrés, le premier avec une longueur de côté de trois et le second avec une longueur de côté de quatre, nous savons que l'aire du premier carré sera égale à trois au carré. Et l'aire du deuxième carré sera égale à quatre au carré. Trois au carré est égal à neuf et quatre au carré est égal à 16. Sur la base de ces figures, nous pouvons conclure que la racine carrée de neuf est égale à trois et la racine carrée de 16 est égale à quatre.

Supposons maintenant que nous avions un troisième carré dont nous ne connaissions pas la longueur de son côté, mais nous savions que son aire est de 12. Si l’aire est égale à 12, la longueur du côté sera égale à la racine carrée de 12. Comme 12 est supérieur à neuf et inférieur à 16, la racine carrée de 12 doit être supérieure à trois et inférieure à quatre. C'est une façon d'estimer les radicaux en trouvant le nombre carré immédiatement supérieur à 12 et le nombre carré immédiatement inférieur à 12.

Cela peut également être affiché sur une droite graduée. Si nous considérons la droite graduée entre les entiers trois et quatre, comme ces valeurs sont égales à la racine carrée de neuf et à la racine carrée de 16, nous savons que la racine carrée de 12 doit se situer entre trois et quatre. Comme 12 est légèrement plus proche de neuf que 16, nous nous attendrions à ce que la racine carrée de 12 soit plus proche de trois que quatre. Il sera légèrement inférieur à 3,5. Nous allons maintenant examiner quelques exemples spécifiques utilisant des droites graduées.

Identifiez laquelle des flèches représente la position de la racine carrée de 30.

Pour répondre à cette question, nous devons d'abord rappeler nos nombres carrés. Les nombres carrés peuvent être calculés en multipliant un entier par lui-même. Le premier nombre carré est un comme un au carré ou un multiplié par un est un. Le deuxième carré est quatre car deux au carré est égal à quatre. Trois au carré est égal à neuf. Les nombres carrés restants jusqu'à 10 carrés sont 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100.

Comme la racine carrée est l'inverse ou l'opposé de la quadrature, nous savons que la racine carrée de neuf est égale à trois. De la même manière, la racine carrée de 16 est égale à quatre. Nous pouvons répéter ce processus en faisant correspondre les radicaux ou les racines avec leurs valeurs entières sur la droite graduée, comme indiqué. Dans cette question, on nous demande d'identifier la flèche qui représente la position de la racine carrée de 30. Comme 30 se situe entre 25 et 36, la racine carrée de 30 doit être supérieure à la racine carrée de 25 et inférieure à la racine carrée de 36. Cela signifie qu'il doit se situer entre les valeurs entières cinq et six. La bonne réponse est donc la flèche b.

Dans notre prochaine question, nous devons déterminer de quel entier notre radical est le plus proche.

Identifiez la flèche qui représente la position de la racine carrée de 24 sur la droite graduée.

Nous rappelons que la quadrature et la racine carrée sont des opérations inverses. Quatre au carré est égal à 16 car quatre multiplié par quatre est 16. Cela signifie que la racine carrée de 16 est égale à quatre. Cela signifie que le radical, la racine carrée de 16, sera au même endroit sur la droite graduée que quatre. En répétant ce processus pour notre autre valeur entière cinq, nous avons cinq au carré est égal à 25, ce qui signifie que la racine carrée de 25 est cinq.

Dans cette question, nous devons identifier si la flèche a ou la flèche b représente la racine carrée de 24. Comme 24 se situe entre 16 et 25, la racine carrée de 24 doit être supérieure à la racine carrée de 16 et inférieure à la racine carrée de 25. Cela signifie que la racine carrée de 24 se situe entre les entiers quatre et cinq. 24 est plus proche de 25 que 16. Par conséquent, la racine carrée de 24 sera plus proche de cinq qu'elle ne le fait de quatre. La bonne réponse est donc la flèche b.

Dans notre prochaine question, nous devons identifier la déclaration correcte.

Laquelle des affirmations suivantes est vraie ? Les cinq déclarations veulent que nous évaluions la racine carrée de 17. L'option (A) dit que la réponse est entre trois et 3,5. Option (B), la réponse est comprise entre 3,5 et quatre. Option (C) la réponse est comprise entre quatre et 4,5. Option (D), la réponse est comprise entre 4,5 et cinq. Ou option (E), la réponse est comprise entre cinq et 5,5.

Nous commencerons cette question en traçant une droite graduée pour établir les deux valeurs entières entre lesquelles se trouve la racine carrée de 17. Considérons les valeurs entières de trois à six. Nous savons que le carré enracinant un nombre est l'opposé de le mettre au carré. Comme trois au carré est égal à neuf, la racine carrée de neuf est égale à trois. Cela signifie que nous pouvons placer les radicaux, la racine carrée de neuf, la racine carrée de 16, la racine carrée de 25 et la racine carrée de 36, sur notre droite graduée.

Le nombre 17 se situe entre 16 et 25. Par conséquent, la racine carrée de 17 est supérieure à la racine carrée de 16 et inférieure à la racine carrée de 25. Nous savons que la racine carrée de 16 est égale à quatre et la racine carrée de 25 est égal à cinq. Nous pouvons donc conclure que la racine carrée de 17 se situe entre quatre et cinq. Nous pouvons donc éliminer les options (A), (B) et (E).

4,5 est à mi-chemin entre quatre et cinq. 17 est beaucoup plus proche de 16 que de 25. Il est un de 16 mais huit de 25. Cela signifie que la racine carrée de 17 sera plus proche de la racine carrée de 16 que de la racine carrée de 25. Nous pouvons donc, conclure que la racine carrée de 17 se situe entre quatre et 4,5. Cela signifie que l'énoncé (C) est vrai. Si vous évaluez la racine carrée de 17, la réponse est comprise entre quatre et 4,5.

Les deux dernières questions que nous examinons concernent l'estimation des racines cubiques.

Lequel des nombres suivants est représenté par la flèche sur la droite graduée ? Est-ce (A) la racine cubique de 12, (B) la racine cubique de 15, (C) la racine cubique de 27, (D) la racine cubique de 45, ou (E) la racine cubique de 64 ?

Afin de répondre à cette question, il convient d'abord de considérer nos numéros de cube. Afin de découper un nombre, nous le multiplions par lui-même et par lui-même. Cela signifie qu'un cube est égal à un. Deux cubes est égal à huit, car deux multiplié par deux est égal à quatre, et la multiplication par deux nous donne huit. Trois cubes est égal à 27. Poursuivant cette liste pour les valeurs entières que nous avons sur notre droite graduée, nous avons 64, 125, 216 et 343.

La mise en racine cubique est la réciproque ou l’opération inverse du cubage. Par conséquent, la racine cubique de huit vaut deux. Nous pouvons donc faire correspondre les radicaux, la racine cubique de un, la racine cubique de huit, la racine cubique de 27, et ainsi de suite, avec les valeurs entières de un à sept. La flèche sur la droite graduée se situe entre trois et quatre. Cela signifie que notre réponse doit être supérieure à la racine cubique de 27 et inférieure à la racine cubique de 64. La seule de nos cinq valeurs qui se situe entre ces deux est la racine cubique de 45. La bonne réponse est l'option (D). La racine cubique de 45 est supérieure à trois et inférieure à quatre.

Les options (C) et (E) ne peuvent pas être correctes car elles sont égales à trois et quatre, respectivement. Ce sont des valeurs entières ; par conséquent, la racine cubique de 27 et la racine cubique de 64 sont rationnelles. La racine cubique de 12 et la racine cubique de 15 se situeraient toutes les deux entre deux et trois, car 12 et 15 sont supérieurs à huit mais inférieurs à 27.

Identifiez laquelle des flèches représente la position de la racine cubique de 23.

Afin de répondre à cette question, considérons d'abord les numéros de cube. Afin de cube un nombre, nous multiplions le nombre par lui-même, puis à nouveau lui-même. Par conséquent, un cube est égal à un, deux cubes est égal à huit, trois cubes est égal à 27. Cette liste continuerait pour quatre cubes, cinq cubes et six cubes, comme indiqué. Nous savons que la mise en racine cubique est l'inverse ou l'opposé du cubage. Par conséquent, la racine cubique de huit vaut deux, la racine cubique de 27 est trois, la racine cubique de 64 est quatre, et ainsi de suite.

On nous a demandé d'identifier la flèche qui représente la racine cubique de 23. 23 se situe entre les deux nombres cubes huit et 27. Cela signifie que la racine cubique de 23 est supérieure à la racine cubique de huit mais inférieure à la racine cubique de 27. Ces valeurs sont respectivement égales à deux et trois. La racine cubique de 23 se situe entre les valeurs entières deux et trois. Cela signifie que la flèche correcte est la flèche b. Le radical, la racine cubique de 23, se situe entre deux et trois.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous pouvons estimer la valeur d'une racine irrationnelle carrée ou cubique en trouvant les deux nombres carrés ou cubiques les plus proches. Par exemple, nous savons que 30 se situe entre les nombres carrés 25 et 36. Cela signifie que la racine carrée de 30 doit se situer entre la racine carrée de 25 et la racine carrée de 36. La racine carrée de 25 est égale à cinq, et la racine carrée de 36 est six. Par conséquent, la racine carrée de 30 est supérieure à cinq et inférieure à six. Il se situe entre les deux valeurs entières cinq et six.

Nous avons également constaté que nous pouvons utiliser une droite graduée pour identifier la valeur entière dont un radical est le plus proche. Comme dans l'exemple ci-dessus, nous savons que la racine carrée de 26 se situe entre cinq et six. Si nous considérons la droite graduée entre cinq et six, nous savons que le point milieu est 5,5. C'est à mi-chemin entre la racine carrée de 25 et la racine carrée de 36. Comme 26 est nettement plus proche de 25 que 36, la racine carrée de 26 sera plus proche de la racine carrée de 25. Nous pouvons donc conclure que le carré la racine de 26 est la plus proche de la valeur entière cinq.