Vidéo question :: Utiliser les propriétés de droites parallèles et résoudre des équations linéaires pour déterminer la valeur de deux inconnues Mathématiques

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Sachant que 𝐴𝐵 égale deux 𝑥 plus un centimètres, 𝐵𝐶 égale 𝑥 plus trois centimètres, 𝐷𝐸 égale trois 𝑥 moins un centimètres, 𝐸𝐹 égale 𝑦 centimètres, 𝐺𝐻 égale 11 centimètres et 𝐻𝐼 égale 10 centimètres, déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

C’est toujours une bonne idée de commencer une question comme celle-ci, impliquant un diagramme, en indiquant toute information de longueur qui n’est pas déjà écrite. Nous pouvons alors voir plus clairement que l’on nous donne six longueurs. Trois d’entre elles impliquent la valeur inconnue 𝑥 et l’une d’elles implique la valeur inconnue 𝑦.

Alors, que pouvons-nous observer de plus à propos de cette figure ? Eh bien, nous pouvons voir à partir de la droite ici que nous avons trois droites parallèles : 𝐴𝐺, 𝐵𝐻 et 𝐶𝐼. Les trois autres droites sur ce diagramme sont toutes sécantes. Rappelez-vous qu’une sécante est une droite qui coupe deux droites ou plus dans le même plan en des points distincts. Le fait que nous ayons ces trois droites parallèles et sécantes signifie que nous pouvons appliquer le théorème de Thalès. Ce théorème stipule que si trois droites parallèles ou plus coupent deux sécantes, alors elles coupent les sécantes proportionnellement.

Afin de déterminer les valeurs manquantes en utilisant ce théorème, il convient de noter que les segments de droite 𝐺𝐻 et 𝐻𝐼 ont tous deux des valeurs numériques pour leurs longueurs. Si nous voulions d’abord calculer la valeur de 𝑥, alors nous ne voudrions pas inclure le segment de droite 𝐸𝐹 dans l’affirmation de proportionnalité car cela implique l’inconnue 𝑦. Voyons donc comment nous pouvons écrire le segment 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 dans un énoncé de proportionnalité avec 𝐺𝐻 et 𝐻𝐼.

Il y a quelques déclarations de proportions différentes que nous pourrions écrire, mais un exemple serait que 𝐴𝐵 sur 𝐵𝐶 est égal à 𝐺𝐻 sur 𝐻𝐼. Il suffit ensuite d’inscrire les longueurs que nous avons. Nous avons donc deux 𝑥 plus un sur 𝑥 plus trois égale 11 sur 10. Pour commencer à simplifier, nous pouvons effectuer un produit en croix. Nous avons donc 10 fois deux 𝑥 plus un égale 11 fois 𝑥 plus trois. Nous devons maintenant effectuer une manipulation algébrique. Dans le membre de gauche, nous multiplions 10 par chacun des termes entre parenthèses. Nous avons donc 20𝑥 plus 10. De la même manière, dans le membre de droite, nous multiplions 11 par chacun des termes. Nous avons donc 11𝑥 plus 33.

La prochaine étape consiste à rassembler tous les termes impliquant 𝑥 dans un membre de l’équation et toutes les valeurs numériques dans l’autre. Nous pouvons le faire en deux étapes ou en une seule en soustrayant 11𝑥 et 10 des deux membres de l’équation, ce qui nous donne neuf 𝑥 égale 23. En divisant les deux membres par neuf, nous avons 𝑥 égale 23 sur neuf. Nous pouvons laisser cette réponse en fraction ou calculer sa valeur décimale. Si nous n’avions pas de calculatrice, nous pourrions établir que 23 sur neuf est égal à deux et cinq neuvièmes. Cinq neuvièmes donne 0,5555 etc. Et donc si nous voulions un chiffre à deux décimales, nous pouvons dire que 𝑥 vaut environ 2,56.

Nous avons donc trouvé une réponse pour la valeur de 𝑥. Voyons voir si nous pouvons travailler sur la deuxième partie de cette question pour trouver la valeur de 𝑦. Donc, l’inconnue 𝑦 est présente dans le segment de droite de 𝐸𝐹. Il est donc judicieux d’utiliser les segments de droite 𝐸𝐹, 𝐷𝐸, 𝐺𝐻 et 𝐻𝐼 dans un énoncé de proportion. On pourrait écrire que 𝐷𝐸 sur 𝐸𝐹 est égal à 𝐺𝐻 sur 𝐻𝐼. Quand il s’agit de remplir la longueur du segment de droite 𝐷𝐸, nous devrons remplacer la valeur que nous avons trouvée pour 𝑥. Nous pouvons utiliser la fraction de 23 sur neuf ou deux et cinq neuvièmes plutôt que la valeur décimale. Mais si nous utilisons la valeur décimale, assurons-nous d’utiliser la valeur qui se poursuit à l’infini.

Après avoir substitué cette valeur, nous obtenons que la longueur du segment de droite 𝐷𝐸 est de 20 sur trois centimètres. Une fois que nous avons rempli les informations de longueur dans l’équation donnée, nous avons 20 sur trois sur 𝑦 est égal à 11 sur 10. En multipliant par deux, nous avons que 10 fois 20 sur trois est égal à 11𝑦. Nous pouvons alors simplifier le membre de gauche. Et 10 fois 20 sur trois vaut 200 sur trois.

Enfin, nous divisons les deux membres de cette équation par 11. Nous pouvons donner la valeur de 𝑦, sous forme de fraction ou de nombre décimal. En fraction, c’est six et deux sur 33. En tant que nombre décimal, nous obtenons la réponse que 𝑦 est égal à 6,06 etc. En arrondissant à deux décimales, on peut dire que 𝑦 est d’environ 6,06. Nous avons maintenant terminé la question. Nous avons trouvé les deux valeurs 𝑥 et 𝑦. En tant qu’approximations décimales à deux décimales, nous avons 𝑥 égale 2,56 et 𝑦 égale 6,06.