Vidéo : Tatouages en maths

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Tatouages en maths

06:56

Transcription de vidéo

Hé les gars ! juste une courte vidéo hors du commun pour vous aujourd’hui. Un de mes amis, Cam, a récemment eu un tatouage de maths. Ce n’est pas quelque chose que je recommanderais. Mais il a dit à son équipe de travail que s’ils atteignaient un certain objectif, ils le feraient. Et bien, l’incitation a fonctionné.

Les initiales de Cam sont CSC, qui est le raccourci de la fonction cosécante en trigonométrie. Il a donc décidé de faire de son tatouage une représentation géométrique de la fonction. C’est un peu comme une signature sans mots écrite en mathématiques pures. Il m’a fait réfléchir sur la raison pour laquelle nous enseignons aux étudiants les fonctions trigonométriques : cosécante, sécante et cotangente. Et je me suis rendu compte qu’il y avait quelque chose de poétique dans ce tatouage en particulier. Tout comme les tatouages sont peints artificiellement mais deviennent permanents comme s’ils constituaient une partie essentielle de la chair du destinataire, le fait que la cosécante soit une fonction nommée est en quelque sorte une construction artificielle des mathématiques.

La trigonométrie aurait tout aussi bien pu exister intacte sans que la cosécante ait jamais été nommée. Mais parce qu’il en a été ainsi, il a cette permanence étrange et artificielle dans nos conventions et, dans une certaine mesure, dans notre système éducatif. En d’autres termes, le cosécante n’est pas qu’un tatouage sur la poitrine de Cam. C’est un tatouage sur les mathématiques, quelque chose qui semblait raisonnable et même digne de l’immortalité à ses débuts, mais qui ne tient pas nécessairement avec le temps.

Ici, permettez-moi de vous montrer à tous une image du tatouage qu’il a choisi car peu de gens connaissent la représentation géométrique du cosécante. Chaque fois que vous avez un angle, généralement représenté par la lettre grecque 𝜃, il est courant dans la trigonométrie pour le relier à un point correspondant sur le cercle unité, le cercle avec le rayon d’un centré à l’origine dans le plan 𝑥𝑦. La plupart des étudiants en trigonométrie ont appris que la distance entre ce point ici sur le cercle et l’axe des 𝑥 est le sinus de l’angle. Et la distance entre ce point et l’axe des 𝑦 est le cosinus de l’angle. Et ces longueurs donnent une compréhension vraiment merveilleuse de ce que sont le cosinus et le sinus.

Les gens pourraient apprendre que la tangente d’un angle est un sinus divisé par un cosinus et que la cotangente est l’inverse, un cosinus divisé par un sinus. Mais relativement peu d’entre eux ont appris qu’il existait également une belle interprétation géométrique pour chacune de ces quantités. Si vous tracez une ligne tangente au cercle en ce point, la distance entre ce point et l’axe des 𝑥 le long de cette tangente est bien la tangente de l’angle. Et la distance le long de cette ligne jusqu’au point où elle rencontre l’axe 𝑦, c’est bien la cotangente de l’angle. Encore une fois, cela donne une idée vraiment intuitive de la signification de ces quantités. Vous imaginez en quelque sorte modifier 𝜃 et voir quand la cotangente devient plus petite, quand la tangente devient plus grande. Et c’est un bon test pour tous les étudiants qui travaillent avec eux.

De même, sécantes, qui est défini comme un divisé par le cosinus et cosécante, qui est défini comme un divisé par le sinus de 𝜃, ont chacun leurs propres lieux sur ce diagramme. Si vous regardez le point où cette ligne tangente croise l’axe 𝑥, la distance entre ce point et l’origine est la sécante de l’angle ; c’est-à-dire un divisé par le cosinus. De même, la distance entre l’endroit où cette ligne tangente traverse l’axe des 𝑦 et l’origine est la cosécante de l’angle ; c’est-à-dire un divisé par le sinus. Si vous vous demandez pourquoi sur la terre qui est vrai, remarquez que nous avons deux triangles rectangles semblables ici, un petit intérieur du cercle et ce grand triangle dont l’hypoténuse repose sur l’axe des 𝑦. Je vous laisse le soin de vérifier que cet angle intérieur se trouve à la pointe de 𝜃, l’angle avec lequel nous avons commencé à l’origine à l’intérieur du cercle.

Maintenant, pour chacun de ces triangles, je veux que vous réfléchissiez sur le rapport de la longueur du côté opposé 𝜃 à la longueur de l’hypoténuse. Pour le petit triangle, la longueur du côté opposé est le sinus de 𝜃 et de l’hypoténuse est que le rayon, celui qui nous défini pour avoir une longueur. Donc, le rapport est juste un sinus de 𝜃 divisé par un. Maintenant, quand on regarde le grand triangle, le côté opposé de 𝜃 est cette ligne radiale de longueur un. Et l’hypoténuse est maintenant cette longueur sur l’axe 𝑦, celle que je revendique est la cosécante. Si vous prenez ici la réciproque de chaque côté, vous voyez que cela correspond au fait que la cosécante de 𝜃 est une divisée par un sinus. Un peu cool, non ?

Il est aussi un peu agréable que sinus, tangente et sécante correspondent tous à des longueurs de lignes qui vont en quelque sorte à l’axe des 𝑥. Et puis le cosinus correspondant, cotangente et cosécante sont alors des longueurs de lignes allant aux endroits correspondants sur l’axe des 𝑦. Et sur un diagramme comme celui-ci, il peut être plaisant que ces six fonctions soient nommées séparément. Mais dans toute utilisation pratique de la trigonométrie, vous pouvez vous en tirer simplement en utilisant sinus, cosinus et tangente. En fait, si vous le vouliez vraiment, vous pouvez définir ces six critères uniquement en termes de sinus. Mais le genre de choses que cosinus et tangent correspondent correspond assez souvent qu’il est plus commode de leur donner leurs propres noms. Mais cosécante, sécante et cotangente ne se pose jamais vraiment dans la résolution de problèmes d’une manière qui n’est pas aussi pratique à écrire en termes de sinus, cosinus et tangente.

À ce stade, il s’agit vraiment d’ajouter plus de mots pour que les étudiants puissent apprendre sans trop d’utilité supplémentaire. Et si vous introduisez la sécante en tant que cosinus et cosinus, le décalage de ce préfixe ne constitue probablement qu’un élément de confusion supplémentaire dans une classe sujette à de la confusion pour nombre de ses étudiants. La raison pour laquelle ces six fonctions ont des noms distincts, soit dit en passant, c’est qu’avant les ordinateurs et les calculatrices, si vous faisiez de la trigonométrie, peut-être parce que vous êtes un marin, un astronome ou un ingénieur, vous trouveriez les valeurs suivantes : pour ces fonctions en utilisant de grands graphiques qui viennent d’enregistrer des paires entrée-sortie connues. Et lorsque vous ne pouvez pas facilement brancher quelque chose comme une divisée par le sinus de 30 degrés dans une calculatrice, il peut être judicieux de disposer d’une colonne dédiée à cette valeur avec un nom dédié.

Et si vous avez un diagramme comme celui-ci à l’esprit lorsque vous prenez des mesures avec sinus, tangente et sécante ayant des significations bien symétriques pour cosinus, cotangente et cosécante, appelez cette cosécante, au lieu de celle divisée par sinus, un sens. Et cela pourrait en fait rendre plus facile la mémorisation géométrique. Mais les temps ont changé et la plupart des cas d’utilisation de trigonométrie n’impliquent tout simplement pas de tableaux de valeurs et de diagrammes comme celui-ci. Par conséquent, la cosécante et ses frères sont des tatouages sur des mathématiques, des idées dont la permanence dans nos conventions est notre propre action et non le résultat de la nature elle-même.

Et en général, je pense en fait que c’est une bonne leçon pour tout étudiant qui apprend un nouveau morceau de math, quel que soit son niveau. Il vous suffit de prendre un moment pour vous demander si ce que vous apprenez est fondamental pour les mathématiques et la nature elle-même ou si ce que vous regardez est en réalité simplement encré sur le sujet et pourrait tout aussi bien avoir, été encré d’une manière complètement différente.

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