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Vidéo de question : Déterminer la mesure d’un angle central en fonction de la mesure de son arc en utilisant la mesure d’un autre angle inscrit Mathématiques

Déterminez la mesure de 𝑚∠𝐴𝐵𝐶.

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Transcription de vidéo

Déterminez la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶.

Commençons par identifier l’angle dont on nous demande de déterminer la mesure. C’est l’angle formé lorsque nous passons de 𝐴 à 𝐵 à 𝐶. Voilà donc cet angle ici sur la figure. Donc, c’est un angle inscrit sur la circonférence du cercle. Nous savons donc que sa mesure sera la moitié de son arc intercepté. Son arc intercepté est l’arc 𝐴𝐶. Nous avons donc l’équation la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 est égale à la moitié de la mesure de l’arc 𝐴𝐶.

Voyons alors comment nous pourrions calculer la mesure de cet arc. Nous pouvons voir que l’autre information donnée dans la question est, d’abord, l’angle formé par l’intersection de deux cordes à l’intérieur d’un cercle, les cordes 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷. On nous donne aussi la mesure de l’arc intercepté par cet angle, la mesure de l’arc 𝐵𝐷, qui est de 98 degrés. Le théorème des angles des cordes sécantes nous dit que la mesure de l’angle entre deux cordes qui se croisent à l’intérieur d’un cercle est la moitié de la somme des mesures des arcs interceptés par l’angle et son angle vertical. L’arc intercepté par l’angle de 88 degrés est l’arc 𝐵𝐷, et l’arc intercepté par son angle vertical est l’arc 𝐴𝐶. Donc, nous pouvons former une équation 88 degrés égale la moitié de la mesure de l’arc 𝐵𝐷 plus la mesure de l’arc 𝐴𝐶.

Rappelez-vous cependant que nous connaissons la mesure de l’arc 𝐵𝐷. Elle nous est donnée dans la figure comme étant de 98 degrés. Nous pouvons donc substituer cette valeur dans notre équation, et nous pourrons ensuite résoudre pour trouver la mesure de l’arc 𝐴𝐶. Nous avons 88 degrés est égal à la moitié de 98 degrés plus la mesure de l’arc 𝐴𝐶. En multipliant chaque membre de l’équation par deux, nous avons 176 degrés égale 98 degrés plus la mesure de l’arc 𝐴𝐶. Et enfin, en soustrayant 98 degrés de chaque côté, nous constatons que la mesure de l’arc 𝐴𝐶 est de 78 degrés.

La dernière étape de ce problème consiste à prendre cette valeur pour la mesure de l’arc 𝐴𝐶 et à la remplacer dans notre première équation. Nous avons alors que la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶, qui est la moitié de la mesure de son arc intercepté, est un demi multiplié par 78 degrés, soit 39 degrés. Ainsi, en rappelant la relation entre les mesures d’un angle inscrit et de son arc intercepté ainsi que les angles du théorème des cordes sécantes, nous avons constaté que la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 est de 39 degrés.

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