Vidéo de question : Utiliser les formules de duplication pour déterminer la valeur d’une expression trigonométrique Mathématiques

Calculez, sans utiliser la calculatrice, la valeur de (sin 2𝐵)/(2 cos 2𝐵), sachant que cos 𝐵=4/5, où 3𝜋/2 < 𝐵 < 2𝜋.

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Transcription de vidéo

Déterminez, sans utiliser la calculatrice, la valeur du sinus de deux 𝐵 sur deux fois le cosinus de deux 𝐵, sachant que le cosinus de l’angle 𝐵 est égal à quatre cinquièmes, où 𝐵 est compris entre trois 𝜋 sur deux et deux 𝜋.

Avant de nous concentrer sur l’expression qui nous est donnée, on commence par examiner les informations dont on dispose. On nous dit que le cosinus de l’angle 𝐵 est égal à quatre cinquièmes et que cet angle 𝐵 est compris entre trois 𝜋 sur deux et deux 𝜋 radians. On peut faire une figure pour nous aider à déterminer le signe du sinus, du cosinus et de la tangente de tout angle compris entre zéro et deux 𝜋. Dans cette question, on sait que l’angle 𝐵 appartient au quatrième quadrant. Dans ce quadrant, le cosinus est positif, le sinus et la tangente sont négatifs. On précise également dans l’énoncé que le cosinus de l’angle 𝐵 est égal à quatre cinquièmes. On peut utiliser ces informations ainsi que certaines identités trigonométriques pour calculer le sinus et la tangente de l’angle 𝐵.

On rappelle que le sinus au carré de 𝜃 plus le cosinus au carré de 𝜃 est égal à un. Par conséquent, le sinus au carré de 𝐵 plus quatre cinquièmes au carré est égal à un. Pour calculer quatre cinquièmes au carré, on élève au carré le numérateur et le dénominateur séparément et on obtient 16 sur 25. On soustrait ensuite ce résultat des deux côtés de l’équation. On a alors que le sinus au carré de 𝐵 est égal à neuf sur 25. Si on prend la racine carrée des deux côtés de l’équation, on obtient que le sinus de l’angle 𝐵 est égal à plus ou moins la racine carrée de neuf sur 25. On simplifie le membre de droite en plus ou moins trois cinquièmes. Et puisqu’on sait que le sinus de l’angle 𝐵 doit être négatif, on en déduit qu’il est égal à moins trois cinquièmes.

On sait que la tangente de tout angle 𝜃 est égale au sinus de 𝜃 divisé par le cosinus de 𝜃. Par conséquent, la tangente de l’angle 𝐵 est égale à moins trois cinquièmes divisé par quatre cinquièmes. On simplifie le membre de droite en moins trois quarts. On a maintenant les valeurs du sinus de l’angle 𝐵, de son cosinus et de sa tangente. La prochaine étape consiste à essayer de remplacer ces valeurs dans l’expression qui nous est donnée, le sinus de deux 𝐵 sur deux fois le cosinus de deux 𝐵. On peut y parvenir en utilisant les formules de duplication. On sait que le sinus de deux 𝜃 est égal à deux fois le sinus de 𝜃 fois le cosinus de 𝜃. Et que le cosinus de deux 𝜃 est égal au cosinus au carré de 𝜃 moins le sinus au carré de 𝜃.

Par conséquent, on peut réécrire notre expression du sinus de deux 𝐵 sur deux fois le cosinus de deux 𝐵 comme ceci. On divise le numérateur et le dénominateur par deux pour obtenir le sinus de 𝐵 fois le cosinus de 𝐵, le tout divisé par le cosinus au carré de 𝐵 moins le sinus au carré de 𝐵. On peut maintenant remplacer les valeurs moins trois cinquièmes et quatre cinquièmes dans cette expression. Le numérateur devient moins trois cinquièmes fois quatre cinquièmes et le dénominateur devient quatre cinquièmes au carré moins moins trois cinquièmes au carré. Moins trois cinquièmes fois quatre cinquièmes est égal à moins douze sur 25. Quatre cinquièmes au carré moins moins trois cinquièmes au carré est égal à sept sur 25. Cela se simplifie en moins 12 sur sept. Par conséquent, la valeur du sinus de deux 𝐵 sur deux fois le cosinus de deux 𝐵 est moins douze septièmes.

Pour résoudre ce problème, on aurait aussi pu utiliser le fait que le sinus de deux 𝐵 divisé par le cosinus de deux 𝐵 est égal à la tangente de deux 𝐵. Cela nous aurait permis de réécrire notre expression sous la forme tangente de deux 𝐵 sur deux. Puis on aurait utilisé le fait que la tangente de deux 𝜃 est égale à deux fois la tangente de 𝜃 sur un moins la tangente au carré de 𝜃. Notre expression se serait alors simplifiée en la tangente de 𝐵 sur un moins la tangente au carré de 𝐵. En remplaçant la tangente de 𝐵 par moins trois quarts, on aurait à nouveau obtenu une réponse de moins douze septièmes.

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