Transcription de la vidéo
Calculez la limite quand 𝑥 tend vers zéro de neuf 𝑥 divisé par le sinus de 10𝑥 moins la tangente de deux 𝑥 divisé par deux 𝑥.
Dans cette question, on nous demande d’évaluer la limite de la différence de deux quotients. Le premier quotient est une fonction linéaire divisée par une fonction trigonométrique. Et le deuxième terme est une fonction trigonométrique divisée par une fonction linéaire. Et il y a plusieurs façons d’évaluer cette limite. Puisque nous pouvons évaluer toutes les parties de cette limite en utilisant la substitution directe, nous pouvons commencer par essayer d’évaluer cette limite par substitution directe.
La substitution de 𝑥 égal à zéro dans notre fonction nous donne neuf fois zéro divisé par le sinus de 10 fois zéro moins la tangente de deux multipliée par zéro divisé par deux fois zéro. Et si nous évaluons les numérateurs et les dénominateurs de chaque terme séparément, nous pouvons voir que nous obtenons zéro divisé par zéro moins zéro divisé par zéro.
En particulier, cela nous indique que la limite de la première fonction est une forme indéterminée en utilisant la substitution directe. Et la limite du deuxième terme est également une forme indéterminée en utilisant la substitution directe. Nous ne pouvons donc pas évaluer la limite de l’un ou l’autre terme par substitution directe. Donc, au lieu de cela, nous allons devoir utiliser une méthode différente. Puisque chaque terme est le quotient d’une fonction linéaire et d’une fonction trigonométrique, nous le ferons en rappelant certains de nos résultats utiles sur les limites trigonométriques.
En particulier, on peut rappeler que pour toute constante réelle 𝑎, la limite quand 𝑥 tend vers zéro du sinus de 𝑎𝑥 divisé par 𝑥 est égal à 𝑎. Et pour toute constante réelle 𝑎, la limite quand 𝑥 tend vers zéro de la tangente de 𝑎𝑥 divisé par 𝑥 est également égale à 𝑎. Et ces deux termes sont presque dans la forme exacte dont nous avons besoin. Nous avons juste besoin de les réorganiser légèrement en utilisant nos propriétés de la limite.
Commençons par le premier terme. Nous pouvons voir que nous divisons par le sinus de 10𝑥. Cependant, dans notre résultat sur la limite, nous avons le sinus de 𝑎𝑥 au numérateur. Nous pouvons contourner ce problème en prenant l’inverse des deux côtés de nos résultats sur la limite. Nous devrons utiliser la règle des puissances pour les limites pour prendre l’inverse à l’intérieur de notre limite. Et bien sûr, cela signifie que 𝑎 ne doit pas être nul puisque nous divisons par 𝑎. Cela nous donne la limite quand 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 divisé par le sinus de 𝑎𝑥 est égal à un divisé par 𝑎 à condition que 𝑎 soit différent de zéro.
Nous pouvons maintenant évaluer la limite de chaque terme séparément en utilisant ces résultats sur la limite. Commençons donc par prendre la limite d’une différence comme différence des limites. Cela nous donne alors la limite quand 𝑥 tend vers zéro de neuf 𝑥 divisé par le sinus de 10𝑥 moins la limite quand 𝑥 tend vers zéro de la tangente de deux 𝑥 divisée par deux 𝑥. Et il convient de noter que nous ne pouvons diviser notre limite comme la différence de deux limites que si ces deux limites existent. Mais nous pouvons justifier cela en utilisant nos deux résultats sur les limites.
Commençons par la première limite. Nous voulons utiliser le fait que la limite quand 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 divisé par le sinus de 𝑎𝑥 est un sur 𝑎. Notre limite est presque sous cette forme. Nous allons juste devoir déplacer le facteur constant de neuf en dehors de notre limite. Cela nous donne neuf fois la limite quand 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 divisé par le sinus de 10𝑥. Maintenant, notre valeur de 𝑎 est égale à 10. Donc, cela équivaut à nous donner un sur 10.
Nous obtenons une chose très similaire dans notre deuxième limite. Nous voulons utiliser le fait que la limite quand 𝑥 tend vers zéro de la tangente de 𝑎𝑥 divisé par 𝑥 est égale à 𝑎. Cependant, nous n’avons pas 𝑥 dans notre dénominateur. Au lieu de cela, nous avons deux 𝑥. Nous allons donc devoir prendre un facteur constant égal à un demi en dehors de notre limite. Ensuite, nous obtenons que la limite quand 𝑥 tend vers zéro de la tangente de deux 𝑥 divisée par 𝑥 est le coefficient de 𝑥, qui est deux.
Donc, cela nous donne juste neuf multiplié par un dixième moins un demi multiplié par deux. Et nous pouvons alors évaluer cela. Neuf fois un dixième est neuf sur 10, et un demi multiplié par deux est un. Nous obtenons donc neuf sur 10 moins un, qui est égal à moins un dixième, ce qui est notre réponse finale.
Par conséquent, nous avons calculé que la limite quand 𝑥 tend vers zéro de neuf 𝑥 divisé par le sinus de 10𝑥 moins la tangente de deux 𝑥 divisé par deux 𝑥 est moins un sur 10.