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Vidéo de la leçon : Propriétés de la matrice inverse Mathématiques

Dans cette leçon, nous allons apprendre à utiliser certaines propriétés de la matrice inverse.

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Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre à utiliser certaines propriétés de la matrice inverse. À ce stade, vous devez être à l’aise avec le calcul du déterminant et de l’inverse des matrices deux deux et trois trois. Tout d’abord, avant de commencer, rappelons la notion de matrice identité, la matrice dont les éléments le long de la diagonale principale, c’est-à-dire la diagonale du haut à gauche jusqu’en bas à droite, sont un et les autres éléments sont zéro. Ainsi, la matrice identité deux par deux est un, zéro, zéro, un. Et la matrice identité trois par trois est un, zéro, zéro, zéro, un, zéro, zéro, zéro, un.

Rappelons qu’une matrice carrée 𝐴 est dite inversible s’il existe une matrice 𝐴 moins un telle que 𝐴 multiplié par 𝐴 moins un est égal à 𝐴 moins un multiplié par 𝐴, qui est égal la matrice identité. Donc ce que nous pouvons dire de cette définition, c’est que si 𝐵 est l’inverse de 𝐴, alors le produit 𝐴𝐵 et le produit 𝐵𝐴 nous donnent la matrice identité. Et nous pouvons utiliser cela pour vérifier si deux matrices 𝐴 et 𝐵 sont l’inverse l’une de l’autre.

Voyons donc maintenant les propriétés de la matrice inverse. D’après la définition de l’inverse d’une matrice, nous avons que l’inverse de l’inverse de 𝐴 est juste 𝐴. Deuxièmement, nous avons que l’inverse du produit 𝐴𝐵 est l’inverse de 𝐵 multiplié par l’inverse de 𝐴. Nous devons être très prudents avec celui-ci car il pourrait être facile de penser que cela donne l’inverse de 𝐴 multiplié par l’inverse de 𝐵. Mais nous savons que la multiplication matricielle n’est pas commutative.

Nous pouvons faire une démonstration rapide pour montrer comment cela fonctionne. Rappelez-vous, nous avons dit que si nous multiplions une matrice par son inverse, nous obtenons la matrice identité. Donc si nous prenons la matrice 𝐴𝐵 et la multiplions par son inverse, qui est 𝐵 moins un multiplié par 𝐴 moins un, nous devrions obtenir la matrice identité. Alors vérifions cela. En raison de la propriété associative de la multiplication matricielle, c’est la même chose que 𝐴 multiplié par 𝐵 multiplié par 𝐵 moins un multiplié par 𝐴 moins un. Et nous savons que 𝐵 multiplié par 𝐵 moins un nous donne nécessairement la matrice identité, de par la définition même d’une matrice inversible. Nous avons donc 𝐴 multiplié par la matrice identité multiplié par 𝐴 moins un. Mais multiplier une matrice par la matrice identité nous donne simplement la même matrice. C’est donc simplement 𝐴 multiplié par 𝐴 moins un. Et encore une fois, de par la définition d’une matrice inversible, nous savons que 𝐴 multiplié par 𝐴 moins un nous donne simplement la matrice identité.

Ainsi, puisque lorsque nous multiplions 𝐴𝐵 par son inverse, qui est 𝐵 moins un multiplié par 𝐴 moins un nous obtenons la matrice identité, nous avons montré que 𝐵 moins un multiplié par 𝐴 moins un est définitivement l’inverse de 𝐴𝐵. Et pour une preuve concluante, nous pourrions montrer par la même méthode que 𝐵 moins un multiplié par 𝐴 moins un multiplié par 𝐴𝐵 nous donne également la matrice identité.

Passons maintenant à la troisième propriété de la matrice inverse. 𝐴 transposé moins un est égal à 𝐴 moins un transposé. Rappelez-vous, cette notation 𝑇 signifie la transposée de la matrice. Et nous transposons une matrice en échangeant les lignes avec les colonnes. Par exemple, si nous avons la matrice 𝐴 un, quatre, six, deux, alors la matrice 𝐴 transposé est égale à un, six, quatre, deux. Encore une fois, nous pouvons vérifier ce résultat car nous savons que nous pouvons prendre une matrice et la multiplier par son inverse pour obtenir la matrice identité. Donc si nous prenons la matrice 𝐴 transposé et la multiplions par son inverse, qui est 𝐴 moins un transposé, nous devrions obtenir la matrice identité.

Pour procéder à partir de là, nous rappelons la propriété de la transposition matricielle. 𝐴𝐵 transposé est 𝐵 transposé multiplié par 𝐴 transposé. Cela signifie que ceci est égal à 𝐴 moins un multiplié par 𝐴 transposé. Mais de par la définition de la matrice inverse, nous savons que 𝐴 moins un multiplié par 𝐴 nous donne la matrice identité. Nous obtenons donc la transposée de la matrice identité. Mais si nous transposons la matrice identité, nous obtenons simplement la matrice identité. Nous avons donc montré que multiplier 𝐴 transposé par 𝐴 moins un transposé nous donne la matrice identité, ce qui confirme cette propriété. Et pour une preuve concluante par une méthode similaire, nous pouvons montrer que 𝐴 moins un transposé multiplié par 𝐴 transposé nous donne également la matrice identité.

Et enfin, nous avons 𝐴 puissance 𝑛 moins un est égal à 𝐴 moins un puissance 𝑛. Encore une fois, nous pouvons le montrer en prouvant que 𝐴 puissance 𝑛 multiplié par 𝐴 moins un puissance 𝑛 va nous donner la matrice identité. Nous voyons que nous allons pouvoir apparier les 𝐴 avec les 𝐴 moins un. Et chaque fois que nous ferons cela, nous obtiendrons la matrice identité. Nous savons que nous avons le même nombre de 𝐴 que de 𝐴 moins un. Donc en les appariant et en les multipliant, nous savons que nous allons nous retrouver avec la matrice identité. Et par une méthode similaire, nous pouvons montrer que 𝐴 moins un puissance 𝑛 multiplié par 𝐴 à la puissance 𝑛 nous donne également la matrice identité. Voyons donc maintenant comment utiliser ces propriétés pour répondre à certaines questions.

Si 𝐴 est une matrice, laquelle des matrices suivantes est égale à 𝐴 moins un au carré ? 𝐴 à la puissance un demi, 𝐴 au carré, 𝐴 moins à la puissance un demi ou 𝐴 au carré moins un.

Nous pouvons répondre à cette question en rappelant la propriété des matrices inverses. C’est-à-dire 𝐴 puissance 𝑛 moins un est égal à 𝐴 moins un puissance 𝑛, car 𝑛 est un entier positif. En gardant cela à l’esprit, nous pouvons dire que 𝐴 au carré moins un est égal à 𝐴 moins un au carré. Mais revérifions cette relation pour être sûrs. Nous avons trouvé que 𝐴 au carré moins un est 𝐴 moins un au carré. Nous savons aussi que si nous prenons une matrice et la multiplions par son inverse, nous devrions obtenir la matrice identité. Alors vérifions cela.

Si nous prenons la matrice 𝐴 au carré et la multiplions par son inverse 𝐴 moins un au carré, nous devrions obtenir la matrice identité. Nous pouvons simplement écrire cela comme 𝐴 multiplié par 𝐴 multiplié par 𝐴 moins un multiplié par 𝐴 moins un. Et en raison de la propriété d’associativité de la multiplication matricielle, nous pouvons l’écrire de cette façon. Nous savons que 𝐴 multiplié par 𝐴 moins un nous donne la matrice identité. Et nous savons que multiplier une matrice par la matrice identité nous donne simplement la même matrice. Donc c’est simplement 𝐴 multiplié par 𝐴 moins un, ce qui nous donne la matrice identité.

Si 𝐴 est une matrice, laquelle des options suivantes est égale à 𝐴 moins un transposé ?

Rappelons que cette notation signifie que l’on prend la transposée d’une matrice. Cela signifie simplement que nous échangeons les lignes avec les colonnes. Par exemple, si nous avons la matrice 𝑋 est égal à deux, un, six, sept, 𝑋 transposé est égal à deux, six, un, sept. Pour répondre à cette question, nous rappelons la propriété de la matrice inverse. C’est-à-dire 𝐴 transposé moins un est égal à 𝐴 moins un transposé. Et cela nous montre que notre réponse est la première option. 𝐴 moins un transposé est égal à 𝐴 transposé moins un. Donc ce que nous disons est que si nous prenons la matrice 𝐴, trouvons son inverse, puis la transposons, c’est exactement le même résultat que nous obtiendrions en prenant la matrice 𝐴, en la transposant, puis en trouvant l’inverse.

Considérons la matrice 𝐴 égale moins trois, un, moins deux, cinq. Trouvez 𝐴 moins un moins un.

Rappelons que la définition de l’inverse de 𝐴 est la matrice telle que 𝐴 multiplié par 𝐴 moins un est égal à la matrice identité. Nous avons une méthode pour trouver l’inverse d’une matrice deux deux. Autrement dit, étant donné que la matrice 𝑋 est égale à 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑋 inverse est égal à un sur 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 multiplié par la matrice 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎. Donc pour trouver l’inverse de l’inverse de 𝐴, nous pourrions utiliser cette méthode pour trouver l’inverse de 𝐴, puis répéter la méthode pour trouver l’inverse de cela.

Cependant, nous avons une propriété de l’inverse d’une matrice qui peut nous aider faire cela un peu plus vite. C’est-à-dire que l’inverse de l’inverse de 𝐴 est simplement égal à 𝐴. Donc si nous prenons une matrice et trouvons son inverse puis inversons cette matrice, nous retrouvons la matrice originale. Donc en fait, l’inverse de l’inverse de notre matrice 𝐴 est simplement la matrice 𝐴 moins trois, un, moins deux, cinq.

Étant donné les matrices 𝐴 et 𝐵, où 𝐴 est égal à un, moins deux, trois, zéro, moins un, quatre, zéro, zéro, un et 𝐵 est égal à un, moins deux, cinq, zéro, moins un, quatre, zéro, zéro, un, trouvez 𝐴𝐵. Et la deuxième partie de la question dit : « Sans autre calcul, trouvez 𝐴 moins un ».

Donc la première chose que nous allons faire ici est de trouver le produit 𝐴𝐵. En utilisant la méthode habituelle pour multiplier les matrices trois par trois, nous trouvons que 𝐴𝐵 est un, zéro, zéro, zéro, un, zéro, zéro, zéro, un. Et nous remarquons que c’est en fait la matrice identité trois trois. Alors, qu’est-ce que cela signifie pour nos matrices 𝐴 et 𝐵 ?

Bien, la définition de la matrice inverse est notée 𝐴 moins un telle que 𝐴 multiplié par 𝐴 moins un est égal à la matrice identité. Donc le fait que nous ayons trouvé que le produit 𝐴𝐵 soit la matrice identité signifie que la matrice 𝐵 est nécessairement l’inverse de la matrice 𝐴.

La deuxième partie de la question dit : « Sans autre calcul, trouvez 𝐴 moins un. » Bien, puisque lorsque nous calculons le produit 𝐴𝐵 nous obtenons la matrice identité, cela signifie que la matrice 𝐵 est l’inverse de 𝐴. Par conséquent, 𝐴 moins un est la matrice 𝐵, qui est un, moins deux, cinq, zéro, moins un, quatre, zéro, zéro, un.

Sachant que 𝐴𝐵 moins un est égal à un sixième multiplié par cinq, moins trois, moins 33, 21 et 𝐴 est égal à moins deux, moins un, moins trois, moins deux, déterminez 𝐵 moins un.

Commençons par un bref rappel de l’inverse d’une matrice. L’inverse d’une matrice carrée 𝐴, 𝐴 moins un, est la matrice telle que 𝐴 multiplié par 𝐴 moins un nous donne la matrice identité. Aussi, une propriété de la matrice inverse qui va nous être utile ici est 𝐴𝐵 moins un égale 𝐵 moins un multiplié par 𝐴 moins un. Donc, comme on nous dit que l’inverse du produit 𝐴𝐵 est un sixième multiplié par la matrice cinq, moins trois, moins 33, 21, alors à partir de cette propriété de la matrice inverse, on peut dire que c’est la même chose que 𝐵 moins un multiplié par 𝐴 moins un. Mais comment cela va-t-il nous aider à trouver 𝐵 moins un ?

Bien, il y a une petite astuce que nous pouvons appliquer ici. Et tout ce dont on a besoin, c’est de se souvenir de la définition de l’inverse d’une matrice. On peut trouver la matrice 𝐵 moins un, 𝐴 moins un, 𝐴 en multipliant 𝐵 moins un, 𝐴 moins un par 𝐴 à droite. Donc multiplions maintenant ces deux matrices pour voir ce que nous obtenons. Nous le faisons de la manière habituelle en multipliant deux matrices deux par deux. Puis nous pouvons simplifier chaque élément. Et nous nous retrouvons avec un sixième multiplié par la matrice moins un, un, trois, moins neuf. Nous nous souvenons ensuite que lorsque nous avons un scalaire multiplié par une matrice, nous pouvons simplement multiplier chaque élément par ce scalaire. Et cela nous donne la matrice moins un sur six, un sur six, un sur deux, moins trois sur deux. Mais comment cela nous a-t-il aidé à trouver la matrice 𝐵 moins un ?

Bien, ce que nous avons trouvé est la matrice 𝐵 moins un multiplié par 𝐴 moins un multiplié par 𝐴. Et à partir de la définition de la matrice inverse, 𝐴 moins un multiplié par 𝐴 nous donne la matrice identité. Donc ce que nous avons réellement trouvé, c’est la matrice 𝐵 moins un multipliée par la matrice identité. Mais multiplier une matrice par la matrice identité nous donne simplement cette matrice. Donc ce que nous avons trouvé, c’est la matrice 𝐵 moins un. Ainsi, en utilisant la définition de l’inverse d’une matrice et l’une des propriétés de l’inverse d’une matrice, nous avons pu trouver une matrice inconnue en utilisant l’inverse de la matrice.

Résumons maintenant les points clés de cette leçon. Pour les matrices carrées 𝐴 et 𝐵, nous avons que l’inverse de l’inverse de 𝐴 est simplement égal à 𝐴. L’inverse du produit 𝐴𝐵 est égal à 𝐵 moins un multiplié par 𝐴 moins un. 𝐴 transposé moins un est égal à 𝐴 moins un transposé. Ainsi, que nous transposions la matrice puis l’inversions ou que nous inversions la matrice puis la transposions, nous obtenons le même résultat. Enfin, élever la matrice 𝐴 à la puissance 𝑛 puis l’inverser nous donne le même résultat que d’inverser la matrice 𝐴 puis l’élever à la puissance 𝑛. Et cela est vrai pour tout entier positif 𝑛.

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