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Vidéo de question : Déterminer la mesure d’un angle en fonction de la mesure de son arc en utilisant un angle inscrit Mathématiques

Sachant que [𝐵𝐶) est une tangente au cercle, déterminez la mesure de ∠𝐴𝐵𝐶.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝐵𝐶 est une tangente au cercle, déterminez la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶.

Alors maintenant, pour résoudre ce problème, nous allons utiliser ce qu’on appelle le théorème des segments alternés. Et le théorème des segments alternés nous dit en fait que l’angle à la tangente est égal à l’angle intérieur opposé. Alors, qu’est-ce que cela signifie réellement ? Eh bien, j’ai dessiné ici un croquis pour nous aider à y voir plus clair.

Nous avons obtenu l’angle 𝑎 qui est notre angle sur la tangente. Et selon le théorème des segments alternés, cet angle doit en fait être égal à l’angle intérieur opposé - donc dans ce cas 𝑏. Très bien, nous avons une relation. Mais comment l’avons-nous obtenue ? Et je pense qu’il est important de le savoir. Donc, ce que je vais faire, c’est vous montrer comment nous pouvons le prouver. Donc, ce que j’ai fait pour nous aider à le prouver est de dessiner deux triangles identiques allant du centre de notre cercle au bord de notre cercle.

Eh bien, la première chose que nous savons réellement est que l’angle entre la tangente et le rayon doit être égal à 90 degrés. Donc, donc, 𝑎 plus 𝑥 doit être égal à 90 degrés. Et ce que nous savons aussi, c’est que 90 plus 𝑥 plus 𝑦 doit être égal à 180 degrés car il y a 180 degrés dans un triangle. Et maintenant, il y a trois angles à l’intérieur parce que nous avons le 90 degrés ou l’angle droit au milieu. Eh bien, de cela, nous pouvons voir que 𝑥 plus 𝑦 doit être égal à 90 degrés parce que si nous soustrayons 90 degrés de chaque côté de l’équation, il nous reste juste 𝑥 plus 𝑦 égale 90 degrés.

Eh bien, cela nous permet en fait de déterminer une relation très importante car si nous regardons attentivement, nous pouvons voir que nous avons 𝑎 et 𝑦 qui tous deux doivent être égaux à la même chose car 𝑎 et 𝑦 plus 𝑥 égalent tous les deux 90 degrés. Donc, nous pouvons dire que 𝑎 est égal à 𝑦. D’accord, nous connaissons maintenant cette relation et elle deviendra très utile dans une seconde.

Passons à 𝑏. Eh bien, pour nous aider à trouver 𝑏, nous avons en fait une relation que nous connaissons, à savoir que l’angle à la circonférence est la moitié de l’angle au milieu. Donc, nous pourrions regarder le croquis que j’ai fait pour décider ici. Nous pourrions dire que si l’angle à la circonférence est 𝑥, alors l’angle du milieu va être de deux 𝑥. Nous pouvons donc dire que l’angle 𝑏 - vu que c’est l’angle à la circonférence - sera égal à la moitié de l’angle au milieu ou que l’angle au milieu sera de deux 𝑦. On peut donc dire que 𝑏 est égal à la moitié de deux 𝑦, ce qui nous donne donc que 𝑏 est égal à 𝑦.

Et c’est l’information clé car cela nous ramène à ce que nous avons vu plus tôt, où nous avons dit que 𝑎 est égal à 𝑦. Eh bien, si nous avons obtenu 𝑎 égale 𝑦 et 𝑏 égale 𝑦, alors 𝑎 doit être égal à 𝑏. Donc, nous pouvons dire d’accord, très bien, le théorème des segments alternatifs est correct et nous l’avons prouvé sans travailler ici.

D’accord, nous connaissons maintenant le théorème des segments alternatifs et nous l’avons démontré. Revenons en arrière et trouvons la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶. Eh bien, en utilisant les connaissances que nous venons d’acquérir, nous pouvons dire que la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 doit être égale à 78 degrés. Et encore une fois, nous devons donner notre justification. Et c’est à cause du théorème des segments alternés. Et nous sommes arrivés à cela parce que l’angle à la tangente est l’angle 𝐴𝐵𝐶. Et cela doit être égal à l’angle intérieur opposé, qui dans ce cas est l’angle 𝐴𝐷𝐵 de valeur 78 degrés.

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