Transcription de vidéo
Déterminez la dérivée première de 𝑓 de 𝑥 égale neuf 𝑥 au carré moins 𝑥 moins sept multiplié par sept 𝑥 au carré moins huit 𝑥 moins sept en 𝑥 égale moins un.
On nous demande de trouver la dérivée première de cette fonction en une valeur donnée de 𝑥. Pour faire cela, nous devons chercher la dérivée de la fonction, puis substituer 𝑥 est égal à moins un. La fonction qui nous a été donnée est le produit de deux polynômes. Nous pourrions distribuer les parenthèses pour donner une seule fonction polynôme et ensuite déterminer la dérivée. Mais nous pouvons également aborder ce problème en appliquant la règle de dérivation d’un produit. Cela indique que pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, la dérivée de leur produit 𝑢𝑣 est égale à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. En d’autres termes, nous multiplions chaque fonction par la dérivée de l’autre et additionnons ces expressions ensemble.
Pour la fonction donnée alors, nous pouvons poser 𝑢 égal au premier polynôme et 𝑣 égal au second. Nous devons trouver la dérivée de chaque fonction séparément. Et comme ils sont tous deux des polynômes, nous devons rappeler la règle de dérivation d’un produit. Cela indique que pour les constantes réelles 𝑎 et 𝑛, la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑎 multiplié par 𝑥 à la puissance 𝑛 est 𝑎𝑛𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. En d’autres termes, nous multiplions par l’exposant puis réduisons l’exposant par un. L’application de cette règle à la fonction 𝑢 donne d𝑢 sur d𝑥 égale 18𝑥 moins un. Rappelez-vous que la dérivée d’une constante par rapport à 𝑥 est simplement zéro. En appliquant la même règle à 𝑣, on obtient d𝑣 sur d𝑥 égale 14𝑥 moins huit.
Ensuite, nous substituons chacune de ces expressions dans la règle du produit, donnant 𝑓 prime de 𝑥 égale neuf 𝑥 au carré moins 𝑥 moins sept multiplié par 14𝑥 moins huit plus sept 𝑥 au carré moins huit 𝑥 moins sept multiplié par 18𝑥 moins un. Le développement du premier ensemble de parenthèses donne 126𝑥 au cube moins 72𝑥 au carré moins 14𝑥 au carré plus huit 𝑥 moins 98𝑥 plus 56. Puis le développement du deuxième ensemble de parenthèses donne 126𝑥 au cube moins sept 𝑥 au carré moins 144𝑥 au carré plus huit 𝑥 moins 126𝑥 plus sept.
Ensuite, nous devons simplifier en regroupant les termes semblables dans cette expression. Cela donne 𝑓 prime de 𝑥 égale 252𝑥 au cube moins 237𝑥 au carré moins 208𝑥 plus 63. Nous avons donc trouvé une expression pour la dérivée première de la fonction 𝑓 de 𝑥. Nous devons maintenant évaluer cette dérivée lorsque 𝑥 est égal à moins un. La substitution de 𝑥 est égale à moins un donne 252 multiplié par moins un au cube moins 237 multiplié par moins un au carré moins 208 multiplié par moins un plus 63. C’est moins 252 moins 237 plus 208 plus 63, ce qui est égal à moins 218.
Ainsi, en utilisant la règle du produit pour dériver la fonction donnée, nous avons constaté que la dérivée première de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale moins un est moins 218. Notez qu’il aurait également été possible de substituer 𝑥 égal à moins un dans l’expression non simplifiée de la dérivée et d’évaluer à ce stade.
