Vidéo : Évaluer des inconnues dans des formules données par substitution directe à l’aide de racines cubiques

Le rayon 𝑟 d’une sphère est donné par la formule = (3𝑉/4𝜋)¹ᐟ³, où 𝑉 est le volume de la sphère. Détermine la différence de rayon entre une sphère de volume 36𝜋 et une sphère de volume 2304𝜋.

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Le rayon 𝑟 d’une sphère est donné par la formule 𝑟 égale trois 𝑉 sur quatre 𝜋 à la puissance un tiers, où 𝑉 est le volume de la sphère. Détermine la différence de rayon entre une sphère de volume 36𝜋 et une sphère de volume 2304𝜋.

Pour résoudre ce problème, nous allons devoir trouver le rayon de la sphère de volume 36𝜋 et le rayon de la sphère de volume 2304𝜋. Et je vais commencer par la sphère de volume 36𝜋. Nous allons donc utiliser l’équation 𝑟 égale trois 𝑉 sur quatre 𝜋 à la puissance un tiers.

Très bien, substituons notre valeur 36𝜋 à 𝑉. Donc nous allons obtenir 𝑟 est égal à trois multiplié par 36𝜋 sur quatre 𝜋 à la puissance un tiers. Bien, simplifions maintenant. Eh bien, tout d’abord, si nous divisons le 36 par quatre, nous obtenons neuf. Puis, si nous divisons 36𝜋 par 𝜋, les 𝜋 s’annulent. Donc, il nous reste trois multiplié par neuf, le tout à la puissance un tiers.

Et maintenant, ce que nous pouvons faire, c’est d’utiliser l’une de nos règles sur les exposants qui dit que si nous avons 𝑥 à la puissance un sur 𝑎, cela équivaut à la 𝑎-ième racine de 𝑥. Nous avons donc trois multiplié par neuf. Donc, ça va être 27 et puis ça va être 27 à la puissance un tiers, qui est la racine cubique de 27, qui est égal à trois. Très bien, nous avons trouvé le rayon de notre première sphère. Et le rayon de notre première sphère est trois.

Passons maintenant à la sphère avec le volume 2304𝜋. Cette fois, nous allons remplacer 𝑉 égal à 2304𝜋 dans notre formule. Nous allons donc obtenir 𝑟 est égal à trois multiplié par 2304𝜋 sur quatre 𝜋, le tout à la puissance un tiers.

Encore une fois, nous allons simplifier. Et tout d’abord, nous allons diviser 2304 par quatre. Nous allons simplement faire cela en utilisant cette méthode ici. Donc nous avons quatre qui divise deux qu’on ne fait pas. Donc, c’est zéro. Et ensuite, nous conservons le deux. Et puis, nous voyons quatre qui divise 23 en cinq avec un reste de trois. Puis quatre divise 30 en sept avec un reste de deux. Ensuite, quatre divise 24 en six. Nous avons donc 576. Et encore une fois, les 𝜋 s’annulent parce que 𝜋 divisé par 𝜋 vaut un. Nous sommes donc avec 𝑟 est égal à trois multiplié par 576 à la puissance un tiers.

Encore une fois, nous utilisons la règle connue qui nous dit que 𝑥 à la puissance un sur 𝑎 est égal à la 𝑎-ième racine de 𝑥. Nous obtenons donc la racine cubique de 1728. Nous obtenons donc 𝑟 égal à 12.

Alors maintenant, nous passons à la dernière partie du problème qui dit « détermine la différence de rayon entre une sphère de volume 36𝜋 et une sphère de volume 2304𝜋 ». Ainsi, pour déterminer la différence, il nous faut 12, car c’est le rayon de notre sphère de volume 2304𝜋 moins trois parce que c’est le rayon de notre sphère de volume 36𝜋.

Nous pouvons donc dire que, étant donnée la formule 𝑟 est égal à trois 𝑉 sur quatre 𝜋 à la puissance un tiers, nous pouvons dire que la différence de rayon entre une sphère de volume 36𝜋 et une sphère de 2304𝜋 est égale à neuf.

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