Vidéo de la leçon : Vitesse orbitale Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer la vitesse orbitale d'un objet se déplaçant sur une orbite circulaire étant donné son rayon orbital et la masse de l'objet sur lequel il tourne.

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Transcription de vidéo

Dans cette leçon sur la vitesse orbitale, nous allons apprendre à relier la vitesse orbitale d’un objet à des informations sur l’attraction gravitationnelle entre l’objet et le corps autour duquel il orbite.

Pour un objet se déplaçant le long d’une trajectoire circulaire, la vitesse de l’objet est toujours tangente à la trajectoire. Et cela est vrai peu importe où sur l’objet se trouve le cercle. La raison pour laquelle la vitesse est toujours tangente à la trajectoire est que la vitesse pointe dans la direction du mouvement. Et si nous nous rapprochons à un moment donné sur la portion de la trajectoire où se trouve l’objet, la trajectoire ressemblera de plus en plus à la droite tangente à la trajectoire en ce point. Ainsi, à un instant donné, le mouvement de l’objet semble être le long de la tangente à la trajectoire. Ainsi, la vitesse est tangente à la trajectoire en chaque point.

Nous allons nous intéresser aux objets qui ont une vitesse constante lorsqu’ils se déplacent autour du cercle. Cela signifie que la grandeur des vecteurs de vitesse est la même en chaque point. Cependant, comme nous pouvons le voir clairement sur le schéma, la direction de la vitesse change. Mais si la vitesse d’un objet change de direction, l’objet accélère. Nous appelons cette accélération l’accélération centripète.

Sous forme de formule, nous pouvons écrire 𝑎 c, l’accélération centripète, est égale à 𝑣 au carré sur 𝑟, où 𝑣 est la vitesse de l’objet et 𝑟 est le rayon de la trajectoire circulaire. Cette expression nous donne la grandeur de l’accélération centripète. La direction de l’accélération centripète sera radiale et orientée vers l’intérieur, vers le centre du cercle. Visuellement, nous pouvons voir que cette direction est la bonne parce que pour que le vecteur de vitesse reste tangent au cercle en chaque point, nous devons continuellement déplacer la tête du vecteur vers le centre du cercle.

Maintenant, rappelons la deuxième loi de Newton. Elle nous dit qu’un objet en accélération avec une masse de 𝑚 subira une force dont la grandeur est la masse multipliée par l’accélération et dont la direction est la même que celle de l’accélération. En d’autres termes, pour que notre masse reste sur la trajectoire circulaire, elle doit subir en permanence une force centripète qui a la même direction que l’accélération centripète. Focalisons nous maintenant sur le cas particulier qui nous intéresse, les orbites circulaires.

Pour que notre objet reste en orbite autour d’une planète, il doit y avoir une source de force centripète. Eh bien, dans une situation comme celle-ci, il y a une force qui agit radialement vers l’intérieur entre la planète et l’objet. Et c’est la force de gravité. La direction de la force gravitationnelle est radiale, orientée vers l’intérieur. La grandeur de la force gravitationnelle en termes de la masse de la planète, M majuscule, la masse de l’objet 𝑚 minuscule et le rayon 𝑟, mesuré du centre de la planète à la trajectoire orbitale, est donnée par. 𝐺, la constante gravitationnelle universelle, multipliée par la masse de la planète multipliée par la masse de l’objet divisé par la distance entre eux au carré.

La distance entre eux est la même que le rayon de l’orbite, car à chaque point le long du chemin, l’objet sera à une distance 𝑟 du centre de la planète. Notez que lorsque nous parlons du centre de la planète ou du centre de l’objet, nous voulons dire leurs centres de gravité. Notre objectif était de relier la vitesse orbitale de l’objet à des informations sur l’attraction gravitationnelle entre l’objet et la planète. La dernière observation dont nous avons besoin avant de dériver une formule est que l’attraction gravitationnelle entre la planète et l’objet fournit la force centripète sur l’objet pour le maintenir sur son chemin.

Nous pouvons donc écrire 𝐹 c, la force centripète, est égale à 𝐹 g, la force gravitationnelle. Insérons maintenant les informations pertinentes de nos trois formules. Selon la deuxième loi de Newton, la force centripète est la masse multipliée par l’accélération centripète. En utilisant 𝑣 au carré sur 𝑟 comme définition de l’accélération centripète, nous pouvons écrire la masse fois l’accélération centripète en tant que masse fois la vitesse orbitale au carré sur le rayon orbital. De l’autre côté de l’équation, la force gravitationnelle est simplement donnée par l’expression que nous avons mentionnée précédemment.

Bon, maintenant, nous sommes vraiment proches de notre objectif parce que nous avons un terme sur le côté gauche de l’équation qui contient la vitesse orbitale que nous recherchons et le côté droit de l’équation constitue une information sur l’attraction gravitationnelle entre les deux corps. Nous commencerons par noter qu’il y a un facteur 𝑚 minuscule des deux côtés de l’équation. Il y a aussi au moins un facteur 𝑟 dans le dénominateur des deux côtés. Donc, multiplions les deux côtés par 𝑟 sur 𝑚 minuscule.

Du côté gauche et du côté droit, nous avons 𝑚 divisé par 𝑚, ce qui vaut un. Sur le côté gauche, 𝑟 divisé par 𝑟 vaut un. Et sur le côté droit, 𝑟 divisé par 𝑟 carré vaut un sur 𝑟. Cela nous laisse avec la vitesse au carré à gauche et la constante gravitationnelle universelle multipliée par la masse de la planète divisée par le rayon de l’orbite à droite.

Notre dernière étape sera de prendre la racine carrée des deux côtés de cette équation. La racine carrée de la vitesse orbitale au carré n’est que la vitesse orbitale. Et le côté droit est comme avant, la racine carrée de 𝐺 fois 𝑀 majuscule sur 𝑟. Nous avons ainsi réussi à trouver une formule pour la vitesse orbitale d’un objet en orbite circulaire. En termes de constante gravitationnelle universelle, la masse du corps autour duquel notre objet orbite, et le rayon de l’orbite. Il convient de souligner à nouveau que cette formule ne s’applique que dans le cas particulier d’une orbite circulaire où la vitesse orbitale est constante. Si l’orbite n’est pas un cercle, la vitesse orbitale ne sera pas constante et cette formule ne s’appliquera pas.

Notez également que 𝑚 minuscule, la masse de notre objet, n’apparaît pas dans cette formule. Cela signifie que tous les objets, quel que soit leur masse, qui se déplacent selon des orbites circulaires avec le même rayon orbital autour de planètes de même masse auront tous la même vitesse orbitale. Comme nous l’avons écrit, cette équation nous permet de trouver la vitesse orbitale, mais nous pouvons également réorganiser cette équation pour trouver la masse de la planète et le rayon de l’orbite. Nous allons commencer en élevant les deux côtés au carré.

Cela donne notre équation précédente 𝑣 au carré égale 𝐺𝑀 sur 𝑟. Pour calculer 𝑟, nous multiplions les deux côtés par 𝑟 sur 𝑣 au carré. Sur le côté gauche, 𝑟 sur 𝑣 fois 𝑣 au carré vaut juste 𝑟, la valeur que nous recherchions. Et sur le côté droit, 𝑟 au numérateur divisé par 𝑟 au dénominateur font un et nous nous retrouvons avec 𝐺𝑀 sur 𝑣 au carré. Sous cette forme, nous avons un rayon d’orbite exprimé en termes de la masse de la planète et de la vitesse orbitale.

Si nous multiplions les deux côtés de notre équation précédente par 𝑟 sur 𝐺 au lieu de 𝑟 sur 𝑣 au carré, alors à droite 𝑟 sur 𝐺 fois 𝐺 sur 𝑟 font un. Et il ne nous reste plus que la masse de la planète, que nous allons mettre à gauche dans notre résultat final, pour être cohérents. Et sur le côté gauche, nous avons 𝑟 fois 𝑣 au carré sur 𝐺. Et cela nous laisse avec 𝑀 est égal à 𝑟𝑣 au carré sur 𝐺. Ainsi, avec ces trois équations, nous pouvons trouver la vitesse orbitale ou le rayon orbital ou la masse de la planète tant que nous connaissons une valeur pour la constante gravitationnelle universelle et avons aussi des valeurs pour les deux autres quantités.

Avant de passer à quelques exemples d’application de ces équations, voyons une autre façon de les écrire. Si nous calculons l’une de ces équations en fonction de 𝐺, nous constatons que la constante gravitationnelle universelle est égale au rayon orbital multiplié par la vitesse orbitale au carré divisée par la masse de la planète. Cela signifie que si nous pouvions mesurer indépendamment le rayon orbital et la vitesse orbitale d’une orbite circulaire autour d’une planète, et que nous pourrions également mesurer la masse de cette planète. Nous pourrions trouver une valeur pour la constante gravitationnelle universelle que nous pourrions ensuite utiliser chaque fois que la gravité entre en jeu.

Nous pourrions également tester la validité de notre théorie de la gravité en comparant cette mesure de la constante gravitationnelle universelle à d’autres mesures de la constante gravitationnelle universelle. Quoi qu’il en soit, voyons maintenant quelques exemples d’application des formules que nous venons de dériver.

Pour qu’un satellite suive une orbite circulaire autour de la Terre avec un rayon de 10000 kilomètres, quelle vitesse orbitale doit-il avoir? Utilisez une valeur de 5,97 fois 10 puissance 24 kilogrammes pour la masse de la Terre et de 6,67 fois 10 puissance moins 11 mètres au cube par kilogramme par seconde au carré pour la valeur de la constante gravitationnelle universelle. Donnez votre réponse à trois chiffres significatifs.

D’accord, alors voici la Terre avec une masse de 5,97 fois 10 puissance 24 kilogrammes. Et voici l’orbite circulaire d’un rayon de 10 000 kilomètres, mesurée à partir du centre de la Terre. Enfin, voici un satellite se déplaçant le long de l’orbite avec une vitesse inconnue. Pour que le satellite maintienne une orbite circulaire constante, il doit subir une force centripète qui provient de la force de gravité exercée par la Terre sur le satellite.

Appelons la masse du satellite en 𝑚 minuscule, qui n’est pas une quantité donnée dans le problème. En utilisant 𝑚 minuscule, 𝑣, 𝑟, M majuscule et la constante gravitationnelle universelle. Nous pouvons écrire 𝐹 c, la force centripète, est égale à la masse du satellite multipliée par le carré de la vitesse orbitale divisé par le rayon orbital. De plus, 𝐹 g, la force de gravité que la Terre exerce sur le satellite, est égale à la constante gravitationnelle universelle étant donné le symbole majuscule 𝐺 fois la masse de la Terre multipliée par la masse du satellite divisée par le carré du rayon de l’orbite.

Puisque la force centripète est fournie par la force gravitationnelle, nous pouvons assimiler ces deux quantités et ensuite calculer la vitesse orbitale. Nous obtenons 𝑣 est égal à la racine carrée de 𝐺 fois 𝑀 majuscule divisé par 𝑟, alors que nous pouvons voir que la masse du satellite n’apparaît pas dans cette expression finale. Dans notre question, on nous donne une valeur pour la constante gravitationnelle universelle. Donc, en combinant cela avec nos valeurs connues pour le rayon orbital et la masse de la Terre, nous devrions pouvoir les substituer pour obtenir une valeur pour la vitesse orbitale.

Lorsque nous insérons effectivement ces valeurs, nous constatons que 𝑣 est égal à la racine carrée de 6,67 fois 10 puissance moins 11 mètres au cube par kilogramme par seconde au carré fois 5,97 fois 10 puissance 24 kilogrammes divisé par 10000 kilomètres. Commençons par deux simplifications concernant les unités. Nous avons un facteur par kilogrammes et un facteur de kilogrammes. Et par kilogramme fois kilogramme font un.

Deuxièmement, nous devrons convertir les kilomètres en mètres au dénominateur pour les faire correspondre aux mètres déjà présents au numérateur. Rappelons qu’un kilomètre est par définition 1000 mètres. Ainsi, 10000 kilomètres font 10000 fois 1000 mètres ou, en notation scientifique, 10 puissance sept mètres. Enfin, les mètres au cube au numérateur divisés par les mètres au dénominateur donnent des mètres carrés. Réécrivons cette expression en séparant les nombres, les puissances de 10 et les unités.

Écrit comme ceci, en utilisant la commutativité et l’associativité de la multiplication, nous pouvons maintenant calculer la valeur de chacun de ces termes séparément, prendre les racines carrées séparément et multiplier tous ceux-ci pour obtenir le résultat final. Commençons par les unités. Le mètre carré par seconde au carré correspond au mètre carré par seconde. Passons aux puissances de 10, notre résultat final aura une base de 10. Et pour obtenir l’exposant, nous ajoutons les exposants au numérateur et soustrayons les exposants au dénominateur. Moins 11 plus 24 vaut 13 moins sept qui vaut six. Donc, tout ce terme se réduit à 10 puissance 6.

Enfin, 6,67 fois 5,97 est égal à 39,8199. Pour terminer le calcul, nous rappelons que la racine carrée d’un produit de plusieurs termes est égale au produit de la racine carrée de ces termes. Donc, nous avons 𝑣 égal à la racine carrée de 39,8199 fois le carré de 10 puissance six fois la racine carrée de mètres par seconde au carré. Bon, alors calculons ces racines carrées.

Pour prendre la racine carrée d’une quantité au carré, eh bien, c’est juste la quantité elle-même. Ainsi, la racine carrée de mètres par seconde au carré est simplement égale à des mètres par seconde. C’est un bon résultat intermédiaire car les mètres par seconde sont une unité de vitesse. Donc, nous voyons que nous recherchons une vitesse, et notre réponse finale aura une unité de la vitesse. En général, pour prendre la racine carrée de toute quantité élevée à une puissance, il suffit de prendre la moitié de la puissance. Ainsi, la racine carrée de 10 puissance six vaut 10 puissance trois.

Enfin, nous avons la racine carrée de 39,8199. Pour cela, nous avons juste besoin d’une calculatrice. Les premiers chiffres de ce résultat sont 6,3103 et ainsi de suite. Maintenant, nous avons notre réponse comme un nombre fois une puissance de 10 fois certaines unités, ce qui est une forme très utile pour l’exprimer à trois chiffres significatifs. Pour exprimer notre réponse de cette façon, il suffit de trouver les trois chiffres significatifs de la partie numérique, puis de transposer la puissance de 10 et les unités à la réponse finale.

Pour identifier un certain nombre de chiffres significatifs, nous comptons autant de chiffres, en commençant par le premier chiffre non nul et en allant de gauche à droite. Pour notre nombre, le premier chiffre significatif est six et le second est trois. Pour trouver le troisième chiffre significatif, puisque c’est le dernier chiffre que nous recherchons, nous devons arrondir. Donc, nous regardons le quatrième chiffre, qui est zéro. Et comme zéro est inférieur à cinq, on arrondit le un à un. Donc, notre nombre à trois chiffres significatifs est 6,31.

Maintenant, terminons la multiplication. 6,31 fois 10 puissance trois font 6310 fois mètres par seconde nous donne une réponse finale de 6310 mètres par seconde à trois chiffres significatifs. Et c’est donc la vitesse orbitale qu’un satellite devrait maintenir pour avoir une orbite circulaire autour de la Terre avec un rayon de 10000 kilomètres.

Cet exemple était très focalisé sur les calculs. Voyons maintenant un exemple qui se concentre sur la relation qualitative entre la vitesse orbitale et le rayon orbital.

Quelle ligne sur le graphique montre la relation entre la vitesse orbitale et le rayon orbital pour les objets se déplaçant le long d’orbites circulaires en raison de la gravité?

La question nous demande d’identifier laquelle des courbes sur ce graphique, qui a un rayon orbital sur l’axe horizontal et une vitesse orbitale sur l’axe vertical, correspond à la relation correcte entre ces deux quantités. Rappelons qu’en assimilant la force centripète et la force gravitationnelle d’un objet en orbite circulaire. Nous trouvons que la vitesse orbitale est égale à la racine carrée de la constante de gravitation universelle multipliée par la masse du corps en orbite divisée par le rayon de l’orbite.

Puisque notre question concerne uniquement la relation entre la vitesse orbitale et le rayon orbital, nous pouvons traiter la masse du corps en orbite, c’est-à-dire M majuscule, comme constante. Ensuite, puisque M majuscule est également constante, nous pouvons réécrire notre formule car la vitesse orbitale est égale à la racine carrée d’une constante divisée par le rayon orbital, où nous avons utilisé le fait qu’une constante fois une constante n’est qu’une autre constante. Maintenant, en appliquant le fait que la racine carrée d’une constante est juste une autre constante, nous pouvons réécrire cette forme pour obtenir la vitesse orbitale égale à une constante divisée par la racine carrée du rayon orbital.

Nous ne nous soucions pas vraiment de l’identité de cette constante. Donc, nous pouvons réécrire cette équation comme une relation de proportionnalité qualitative. Et cette relation est que 𝑣 est proportionnelle à un sur la racine carrée de 𝑟. Nous avons écrit la relation de cette façon pour nous concentrer sur le lien entre la vitesse orbitale et le rayon orbital et éviter de confondre les constantes qui ne sont pas pertinentes pour cette question. Utilisons maintenant cette forme fonctionnelle pour faire des prédictions concernant la vitesse orbitale correspondant à de grands rayons orbitaux, c’est-à-dire le bord droit du graphique, et à de petits rayons orbitaux, c’est-à-dire le bord gauche du graphique.

Nous pouvons ensuite vérifier les correspondances entre ces prédictions et la droite appropriée. Voyons ce qui se passe lorsque 𝑟 augmente. À mesure que le rayon orbital augmente, la racine carrée du rayon orbital augmente aussi. Ainsi, un sur la racine carrée du rayon orbital devient diminue car à mesure que le dénominateur d’une fraction augmente, la grandeur de la fraction diminue. Ainsi, lorsque le rayon orbital augmente, nous nous attendons à ce que la vitesse orbitale diminue. Cependant, parce que le rayon orbital ne puisse jamais être infini, la vitesse orbitale ne peut jamais être nulle.

En regardant le schéma, clairement, la ligne verte n’est pas la bonne, car elle ne varie jamais, donc elle ne diminue pas avec un rayon croissant. Les lignes bleue, orange et rouge diminuent toutes avec un rayon croissant. Mais la ligne rouge ne peut pas être la bonne non plus car la ligne rouge atteint zéro. Et nous savons que la vitesse orbitale ne peut jamais être nulle. Voyons maintenant ce qui se passe lorsque le rayon orbital diminue.

Lorsque 𝑟 diminue, la racine carrée de 𝑟 diminue également. Ainsi, le dénominateur de notre fraction diminue. Et donc, la fraction elle-même augmente. Et comme la fraction est proportionnelle à la vitesse orbitale, la vitesse orbitale augmente également. Nous savons également que lorsque le dénominateur d’une fraction se rapproche de plus en plus de zéro, la valeur de cette fraction augmente sans limite. Donc, ici aussi, nous nous attendons à ce que la vitesse orbitale augmente sans limite à mesure que le rayon orbital se rapproche de zéro. La courbe orange a une valeur maximale lorsque le rayon se rapproche de zéro. Ainsi, la courbe orange n’est pas la bonne courbe car sa vitesse orbitale n’augmente pas sans limite.

Cela laisse la ligne bleue comme bonne réponse. En effet, la ligne bleue montre une vitesse orbitale qui devient de plus en plus petite à mesure que le rayon augmente et devient de plus en plus grande sans limite lorsque le rayon diminue. Ainsi, la réponse est que la ligne bleue montre la relation correcte entre la vitesse orbitale et le rayon orbital pour les objets se déplaçant sur des orbites circulaires sous l’influence de la gravité.

Maintenant que nous avons vu quelques exemples, résumons les points clés que nous avons appris dans cette leçon. Nous pouvons retrouver notre discussion sur les orbites circulaires causées par les champs gravitationnels. Dans un tel cas, nous avons constaté que nous pouvons assimiler la force centripète, qui maintient l’objet sur une trajectoire circulaire, à la force gravitationnelle agissant sur l’objet.

En appliquant la définition de la force centripète comme la masse de l’objet fois la vitesse au carré divisée par le rayon. Et la définition de la force gravitationnelle comme la constante gravitationnelle universelle multipliée par la masse de la planète multipliée par la masse de l’objet en orbite divisée par le rayon au carré. Nous dérivons l’équation de la vitesse orbitale comme étant 𝑣 égal à la racine carrée de la constante gravitationnelle universelle, 𝐺, fois la masse de la planète, 𝑀 majuscule, divisée par le rayon orbital, 𝑟.

Nous résolvons ensuite cette équation en fonction de 𝑀 et 𝑟 pour obtenir deux autres formules. Nous avons constaté que le rayon orbital est égal à 𝐺 fois la masse de la planète divisée par la vitesse orbitale au carré et que la masse de la planète est égale au rayon orbital multiplié par la vitesse orbitale au carré divisée par 𝐺. Enfin, nous avons noté que, étant donné une valeur appropriée de 𝐺, nous pouvons trouver la vitesse orbitale, le rayon orbital ou la masse de la planète à partir des valeurs des deux autres quantités.

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