Transcription de la vidéo
Une école organise une cérémonie en l’honneur des de l'équipe pédagogique, qui compte 25 enseignants et 15 directeurs. La cérémonie honorera 10 membres, et l'école doit choisir au moins cinq enseignants et au moins trois directeurs. Sachant que les enseignants se placeront à gauche de la scène et que les directeurs se placeront à droite de la scène, quel est le nombre total de configurations possibles sur scène pour les membres de l'équipe pédagogique ? Exprimez votre réponse en fonction de combinaisons ou d’arrangements.
Commençons par réfléchir à quoi cela pourrait ressembler. Nous allons choisir au moins cinq enseignants sur un total de 25 et au moins trois directeurs sur un total de 15. L’objectif est d’honorer exactement 10 membres. Alors, combien d’enseignants et combien de directeurs peut-on avoir ? Eh bien, nous ne pouvons pas avoir moins de cinq enseignants. Nous pourrions donc avoir exactement cinq enseignants, ce qui signifierait que nous aurions également exactement cinq directeurs. Nous pourrions avoir six enseignants et quatre directeurs. Et la dernière possibilité est d’avoir sept enseignants et trois directeurs. Nous savons qu’il n’y a pas d’autres possibilités car nous devons choisir au moins trois directeurs.
On nous dit également et comme représenté dans le schéma, que les enseignants se tiendront à gauche de la scène et que les directeurs se placeront à droite. Cela minimise le nombre total de façons de placer ces groupes de personnes. Nous avons en fait représenté les trois façons possibles de le faire. L’ordre dans lequel se situent les enseignants et celui dans lequel se situent les directeurs est important. Et ainsi, cela devrait nous indiquer si nous devons utiliser ici des combinaisons ou des arrangements. Le choix entre calculer des combinaisons ou des arrangements dépend de savoir si l’ordre compte. Avec les combinaisons, l’ordre dans lequel les gens se tiennent ici n’a pas d’importance. Avec les arrangements, l’ordre dans lequel les gens se placent est important. Nous allons donc utiliser les arrangements.
Et si nous voulons calculer le nombre de façons de choisir 𝑝 éléments sur un total de 𝑛 lorsque l’ordre est important, nous représentons ce nombre par 𝑛𝐴𝑟 comme indiqué. Ainsi, si nous regardons le nombre de façons de choisir les cinq enseignants, nous savons que nous allons le faire parmi un total de 25. Puisque l’ordre est important, alors le nombre de façons de choisir ces cinq enseignants est égal à 25 𝐴 cinq. De la même manière, nous choisissons cinq directeurs sur un total de 15 et l’ordre ayant une importance, le nombre de façons est donc égal à 15 𝐴 cinq. Ensuite, dans la possibilité suivante, il y a 25 𝐴 six façons de choisir six enseignants et 15 𝐴 quatre façons de choisir quatre directeurs. Enfin, le nombre de façons de choisir sept enseignants sur un total de 25 équivaut à 25 𝐴 sept. Et celui de choisir les trois directeurs est égal à 15 𝐴 trois.
Mais comment combiner ces possibilités ? Eh bien, voici où nous devons nous rappeler ce que la règle du produit pour le dénombrement nous dit. Elle nous indique que le nombre total de résultats pour deux événements ou plus est obtenu en multipliant ensemble le nombre de résultats de chaque événement. Ainsi, le nombre de façons de choisir cinq enseignants et cinq directeurs est 25 𝐴 cinq fois 15 𝐴 cinq. Ensuite, le nombre de façons de choisir six enseignants et quatre directeurs est 25 𝐴 six fois 15 𝐴 quatre. Et enfin, nous multiplions 25 𝐴 sept par 15 𝐴 trois pour trouver le nombre total de façons de choisir sept enseignants et trois directeurs. Nous n’avons bien sûr toujours pas terminé. Nous devons maintenant combiner chacune de ces trois possibilités.
C’est là que nous nous rappelons ce que nous voulions dire lorsqu’on parle de la règle d’addition. Parfois appelé principe fondamental de dénombrement, il nous dit que si nous avons un nombre 𝑎 de façons de faire quelque chose et un nombre 𝑏 de façons de faire autre chose et que nous ne pouvons pas faire les deux en même temps, alors il y a 𝑎 plus 𝑏 façons de choisir l’une des actions. En d’autres termes, pour trouver le nombre total de façons de choisir cinq enseignants et cinq directeurs ou six enseignants et quatre directeurs ou sept enseignants et trois directeurs, nous additionnons ensemble le nombre de façons pour chacune des trois possibilités. Et cela nous indique le nombre total de configurations possibles sur scène pour les membres de cette équipe pédagogique. Et c’est une réponse donnée avec des arrangements. Ce nombre est égal à 25 𝐴 cinq fois 15 𝐴 cinq plus 25 𝐴 six fois 15 𝐴 quatre plus 25 𝐴 sept fois 15 𝐴 trois.
